运动的进阶描述

速度是描述物体运动状态的基本物理量，它不仅体现了运动的快慢，还指明了运动的方向。然而，在许多实际情境中，运动的速度并不是一成不变的。例如，一辆公共汽车从站台缓慢起步，逐渐加速到正常行驶速度；一架飞机降落时从高速滑行逐步减速直至停稳。在这些过程中，速度都在不断发生着变化。如果我们只用速度来描述运动，就难以全面揭示物体运动状态的变化。此时，我们便需要引入一个新的物理量——加速度。

加速度用于度量物体速度随时间变化的快慢，它不仅反映了速度改变的幅度，还能揭示速度改变的方向。加速度的存在，使我们能够更精确、更深入地分析诸如起步、刹车、抛掷等各种实际复杂运动情形。正因如此，加速度成为了研究和理解一切运动变化过程的核心工具和重要桥梁。

速度的变化与加速度

物体速度发生变化，说明它受到了合外力的作用。速度的变化有快有慢，为了准确描述这种快慢，物理学引入了加速度的概念。

设物体在时间 $t$ 内速度由 $v_0$ 变化为 $v$，速度的变化量为 $\Delta v = v - v_0$，则加速度定义为：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$

加速度的国际单位是 $\text{m/s}^2$（米每平方秒），表示速度每秒钟改变的量。

例1 一辆小轿车从红灯停止后重新出发，$5\,\text{s}$ 内速度从 $0$ 增大到 $15\,\text{m/s}$，其加速度为：

$a = \frac{15 - 0}{5} = 3\,\text{m/s}^2$

加速度方向向前，与速度方向一致，小轿车做加速运动。

例2 一辆货车以 $20\,\text{m/s}$ 的速度行驶，刹车后 $5\,\text{s}$ 内速度减为 $0$，其加速度为：

$a = \frac{0 - 20}{5} = -4\,\text{m/s}^2$

负号说明加速度方向与速度方向相反，货车做减速运动，加速度大小为 $4\,\text{m/s}^2$。

几种常见运动的加速度对比：

从表中可以看出：火车的末速度远大于小轿车，但加速度却只有小轿车的六分之一，说明加速度与速度大小并不等价。

匀变速直线运动

在某些运动中，加速度保持不变，这类运动称为匀变速直线运动。加速度方向与速度方向相同，是匀加速直线运动；方向与速度方向相反，是匀减速直线运动。

由加速度定义式出发，可以推导出描述匀变速直线运动的两个基本公式。

速度与时间的关系：

$v = v_0 + at$

位移与时间的关系：

$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

联立两式，消去时间 $t$，得到速度与位移的关系：

$v^2 = v_0^2 + 2as$

这三个公式共涉及 $v_0$、$v$、$a$、$t$、$s$ 五个物理量，已知其中任意三个，即可求出其余两个。

例3 一辆摩托车以 $3\,\text{m/s}^2$ 的加速度从静止开始匀加速，求：（1）$6\,\text{s}$ 末的速度；（2）前 $6\,\text{s}$ 内通过的位移。

$v = v_0 + at = 0 + 3 \times 6 = 18\,\text{m/s}$

$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 6^2 = 54\,\text{m}$

例4 一列火车以 $25\,\text{m/s}$ 的速度行驶，制动后做匀减速运动，加速度大小为 $0.5\,\text{m/s}^2$，求完全停止所需的时间及位移。

$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 25}{-0.5} = 50\,\text{s}$

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{0 - 625}{2 \times (-0.5)} = 625\,\text{m}$

匀变速直线运动还有一个实用结论：在某段时间内的平均速度，等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于初末速度的算术平均值：

$\bar{v} = \frac{v_0 + v}{2}$

v-t 图像的深入分析

$v$-$t$ 图像以时间 $t$ 为横轴、速度 $v$ 为纵轴，直观地反映速度随时间的变化规律。图像上任意一点，对应该时刻的速度；图线的斜率，等于该段的加速度：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \text{图线斜率}$

$v$-$t$ 图像与时间轴围成区域的面积，在数值上等于该段时间内的位移。

例5 某物体的运动分为三个阶段：$0 \sim 4\,\text{s}$ 内速度从 $0$ 均匀增大到 $8\,\text{m/s}$，$4 \sim 8\,\text{s}$ 内速度保持 $8\,\text{m/s}$ 不变， 内速度从 均匀减为 。

各阶段加速度计算：

全程总位移（利用面积法，分三段计算）：

$s = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 + 4 \times 8 + \frac{1}{2} \times 2 \times 8 = 16 + 32 + 8 = 56\,\text{m}$

自由落体运动

将一张纸和一枚硬币从同一高度同时释放，在空气中纸片落得慢，硬币落得快。将纸揉成紧实的小球后重复实验，两者落地时间已非常接近。在抽去空气的玻璃管内，羽毛与铁块同时释放，会同时到达底部。这说明空气阻力造成了落体速度的差异，排除空气阻力后，所有物体下落的规律完全相同。

只在重力作用下、从静止开始竖直下落的运动，称为自由落体运动。实验表明，自由落体运动是匀加速直线运动，其加速度称为重力加速度，用 $g$ 表示：

$g = 9.8\,\text{m/s}^2$

粗略计算时可取 $g = 10\,\text{m/s}^2$。由于初速度 $v_0 = 0$，将 $a = g$ 代入匀变速公式，得到自由落体运动的三个特殊公式：

$v = gt \qquad h = \frac{1}{2}gt^2 \qquad v^2 = 2gh$

其中 $h$ 为物体下落的高度。

例6 一颗石子从 $45\,\text{m}$ 高的悬崖顶端自由落下，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求落地时的速度和下落所用的时间。

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = \sqrt{900} = 30\,\text{m/s}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 45}{10}} = \sqrt{9} = 3\,\text{s}$

不同高度自由落体的数据对比：

观察表格规律：高度增大为原来的 4 倍，速度和时间各增大为原来的 2 倍，这正是 $h \propto t^2$ 与 $v \propto t$ 的直观体现。

自由落体运动中，连续相等时间段内下落的距离之比为 $1:3:5:7:\cdots$，这是初速度为零的匀加速直线运动的共同特征。

竖直上抛运动

将物体以初速度 $v_0$ 竖直向上抛出，物体在上升过程中受重力作用持续减速，到达最高点时速度降为零，随后转为自由落体向下加速。全程只受重力，加速度始终为 $g$，方向竖直向下。

取向上为正方向，则 $a = -g$，代入匀变速公式：

$v = v_0 - gt$

$h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

上升到最高点时 $v = 0$，由此可求最大高度和上升时间：

$t_{\text{升}} = \frac{v_0}{g} \qquad H = \frac{v_0^2}{2g}$

例7 以 $20\,\text{m/s}$ 的初速度竖直上抛一个小球，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求：（1）上升的最大高度；（2）到达最高点所需时间；（3）$3\,\text{s}$ 末小球的速度和位置。

（1）最大高度：

$H = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = 20\,\text{m}$

（2）上升时间：

$t_{\text{升}} = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2\,\text{s}$

（3）$3\,\text{s}$ 末的状态：

由于上升时间为 $2\,\text{s}$，$3\,\text{s}$ 时小球已下降 $1\,\text{s}$：

$v = v_0 - gt = 20 - 10 \times 3 = -10\,\text{m/s}$

负号表示速度方向向下，速度大小为 $10\,\text{m/s}$。

$h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 = 20 \times 3 - \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 60 - 45 = 15\,\text{m}$

即 $3\,\text{s}$ 末小球位于抛出点上方 $15\,\text{m}$ 处，正在向下运动。

练习题

选择题

第1题 一辆汽车在平直公路上行驶，速度从 $10\,\text{m/s}$ 增大到 $30\,\text{m/s}$，历时 $4\,\text{s}$。该汽车的加速度为（　　）

A. $2.5\,\text{m/s}^2$　　　B. $5\,\text{m/s}^2$　　　C. $7.5\,\text{m/s}^2$　　　D. $10\,\text{m/s}^2$

第2题 关于加速度，下列说法正确的是（　　）

A. 加速度越大，速度一定越大

B. 速度为零时，加速度也一定为零

C. 加速度方向与速度方向相反时，物体做减速运动

D. 加速度为正值时，物体速度一定在增大

第3题 一物体做匀加速直线运动，初速度为 $2\,\text{m/s}$，加速度为 $2\,\text{m/s}^2$，则第 $3\,\text{s}$ 末的速度为（　　）

A. $4\,\text{m/s}$　　　B. $6\,\text{m/s}$　　　C. $8\,\text{m/s}$　　　D. $10\,\text{m/s}$

第4题 一物体从某高处做自由落体运动，经 $3\,\text{s}$ 落地，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，则下落高度为（　　）

A. $30\,\text{m}$　　　B. $45\,\text{m}$　　　C. $60\,\text{m}$　　　D. $90\,\text{m}$

计算题

第5题 一辆货车以 $15\,\text{m/s}$ 的速度在平直公路上匀速行驶，司机发现前方 $100\,\text{m}$ 处有行人，立即制动，刹车加速度大小为 $3\,\text{m/s}^2$。请判断货车能否在行人前停下，并求出停车位置距行人的距离或到达行人处时的速度。

第6题 一名跳伞运动员从飞机上跳出后做自由落体运动，经过 $4\,\text{s}$ 打开降落伞，此后以大小为 $2\,\text{m/s}^2$ 的加速度做匀减速运动，再经过 $10\,\text{s}$ 后匀速下落至地面。取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求：（1）打开降落伞时的速度；（2）匀减速结束时的速度；（3）自由落体阶段和匀减速阶段各自下落的高度。

因为 $37.5\,\text{m} < 100\,\text{m}$，货车能在行人前停下。

停车位置距行人的距离：

$d = 100 - 37.5 = 62.5\,\text{m}$

结论：货车能在行人前停下，停车位置距行人 $62.5\,\text{m}$。

$h_1 = \frac{1}{2}g t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 = 80\,\text{m}$

第二阶段（匀减速，$a = -2\,\text{m/s}^2$，$t_2 = 10\,\text{s}$）：

$v_2 = v_1 + a t_2 = 40 + (-2) \times 10 = 20\,\text{m/s}$

$h_2 = v_1 t_2 + \frac{1}{2}a t_2^2 = 40 \times 10 + \frac{1}{2} \times (-2) \times 10^2 = 400 - 100 = 300\,\text{m}$

结论：

打开降落伞时速度为 $40\,\text{m/s}$；匀减速 $10\,\text{s}$ 后速度降为 $20\,\text{m/s}$；自由落体阶段下落 $80\,\text{m}$，匀减速阶段下落 $300\,\text{m}$。