力的分解与合成

在实际生活中，物体往往同时受到多个力的作用。搬运一个重箱子时，两个人分别用绳索从不同方向拉动，合力决定了箱子的运动状态；吊桥的钢索在斜拉方向上产生的张力，需要分解为水平和竖直两个分量才能进行结构设计。力与力之间的叠加与分解，是力学分析的核心工具。

理解如何把多个力“合并”成一个等效的力，或者把一个力“拆开”成沿不同方向的分量，能够大大简化复杂问题的求解过程。平行四边形定则正是描述这种合成关系的基本法则，它贯穿于力学的各类分析中。

力的合成与平行四边形定则

两个力共同作用在同一个物体上，若存在一个单独的力，其作用效果与这两个力共同作用的效果完全相同，则这个力就称为那两个力的合力，求合力的过程叫做力的合成。

实验表明，两个力的合力遵循平行四边形定则：以两个力 $\vec{F_1}$、$\vec{F_2}$ 为邻边作平行四边形，对角线所代表的向量就是合力 $\vec{F}$。

对于两个互相垂直的力，合力大小可由勾股定理直接求得：

$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$

合力方向与 $F_1$ 的夹角 $\theta$ 满足：

$\tan\theta = \frac{F_2}{F_1}$

对于两个方向相同的力，合力大小为两力之和；方向相反时，合力大小为两力之差，方向与较大力一致。

例1 两人搬动一个沉重的铁箱，甲用力 $F_1 = 40\,\text{N}$，乙用力 $F_2 = 30\,\text{N}$，两力方向互相垂直，求合力的大小和方向。

$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,\text{N}$

$\tan\theta = \frac{F_2}{F_1} = \frac{30}{40} = 0.75 \implies \theta \approx 36.9°$

合力大小为 $50\,\text{N}$，方向偏向乙的用力方向，与甲的力成约 $36.9°$ 角。

不同夹角下两个大小为 $F$ 的等大力的合力大小对比：

从表中可以看出：合力大小随两力夹角增大而减小，夹角从 $0°$ 增大到 $180°$ 时，合力从最大值 $2F$ 减小到 $0$。

力的分解

力的分解是力的合成的逆过程：将一个力分解为两个分力，使得这两个分力的合力恰好等于原来的力。根据平行四边形定则，将已知力作为对角线，按照实际需要画出平行四边形，两邻边即为两个分力。

分解时必须依据实际物理情境确定分解方向，最常用的是沿水平和竖直方向分解，或沿斜面方向和垂直斜面方向分解。

若已知力 $F$ 与水平方向成角 $\theta$，则水平分量和竖直分量分别为：

$F_x = F\cos\theta \qquad F_y = F\sin\theta$

例2 工人用绳子拖动地面上的货物，绳子与水平方向成 $30°$ 角，绳的拉力 $F = 60\,\text{N}$，求水平方向和竖直方向的分力。

$F_x = F\cos30° = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 52\,\text{N}$

$F_y = F\sin30° = 60 \times \frac{1}{2} = 30\,\text{N}$

水平分力 $F_x \approx 52\,\text{N}$ 用于克服摩擦力推动货物前进，竖直分力 $F_y = 30\,\text{N}$ 向上，相当于减小了货物对地面的压力。

例3 一根电线杆的斜拉绳与地面成 $60°$ 角，绳的张力为 $T = 200\,\text{N}$，将张力分解为水平拉力（拉住电线杆）和竖直压力（压向地面）。

$T_水平 = T\cos60° = 200 \times 0.5 = 100\,\text{N}$

$T_竖直 = T\sin60° = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173\,\text{N}$

这两个分力分别代表绳子在水平和竖直方向上对电线杆底座的作用效果。

常用角度的三角函数值参考：

斜面上的力分析

放在光滑斜面上的物体受到重力 $G$ 和斜面对它的支持力 $N$。重力竖直向下，支持力垂直于斜面向上，这两个力不在同一直线上，因此需要将重力分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分量来进行分析。

设斜面倾角为 $\theta$，将重力 $G$ 分解：

$G_{\parallel} = G\sin\theta \quad \text{（沿斜面向下）}$

$G_{\perp} = G\cos\theta \quad \text{（垂直斜面向下）}$

支持力 $N$ 与 $G_{\perp}$ 平衡：

$N = G\cos\theta$

沿斜面方向的分力 $G_{\parallel} = G\sin\theta$ 使物体沿斜面加速下滑。

例4 一个质量为 $5\,\text{kg}$ 的物体放在倾角为 $30°$ 的光滑斜面上，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求：（1）斜面对物体的支持力；（2）物体沿斜面的加速度。

重力 $G = mg = 5 \times 10 = 50\,\text{N}$

$N = G\cos30° = 50 \times 0.866 = 43.3\,\text{N}$

$G_{\parallel} = G\sin30° = 50 \times 0.5 = 25\,\text{N}$

由牛顿第二定律：

$a = \frac{G_{\parallel}}{m} = \frac{25}{5} = 5\,\text{m/s}^2$

物体以 $5\,\text{m/s}^2$ 的加速度沿斜面向下加速运动。

不同倾角下光滑斜面上的力分析（设物体质量 $m = 2\,\text{kg}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$）：

从表中可以看出：倾角越大，沿斜面方向的分力越大，加速度越大；当倾角达到 $90°$ 时，支持力为零，物体做自由落体运动。

平衡问题的受力分析

当物体处于静止状态或做匀速直线运动时，合力为零，这种状态称为平衡状态。对于受到两个力的物体，平衡条件是两力等大、反向、共线；对于受到三个力的物体，平衡条件是任意两力的合力与第三力等大反向。

解决平衡问题的基本步骤：首先画出受力分析图，标出全部力；然后选定坐标系，将各力分解到坐标轴方向；最后在两个方向分别列方程，令合力为零求解。

水平方向：$\sum F_x = 0$

竖直方向：$\sum F_y = 0$

例5 一盏路灯挂在两根钢丝绳上，两绳分别与竖直方向成 $30°$ 角（左右对称），灯的重力 $G = 60\,\text{N}$，求每根绳子的拉力。

由对称性，两绳拉力大小相等，设每根绳拉力为 $T$。

竖直方向平衡：

$2T\cos30° = G$

$T = \frac{G}{2\cos30°} = \frac{60}{2 \times 0.866} = \frac{60}{1.732} \approx 34.6\,\text{N}$

每根绳子的拉力约为 $34.6\,\text{N}$，远小于路灯的重力 $60\,\text{N}$，这正是斜拉分担重量的效果。

例6 一个重 $G = 50\,\text{N}$ 的物体，静止在倾角为 $37°$ 的粗糙斜面上，求斜面对物体的支持力和摩擦力。

物体静止，受重力 $G$、支持力 $N$、摩擦力 $f$ 三力平衡。

垂直斜面方向：

$N = G\cos37° = 50 \times 0.8 = 40\,\text{N}$

沿斜面方向：

$f = G\sin37° = 50 \times 0.6 = 30\,\text{N}$

摩擦力方向沿斜面向上，大小为 $30\,\text{N}$；支持力垂直斜面向上，大小为 $40\,\text{N}$。

用矢量三角形可以验证：$\sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50\,\text{N} = G$，三力平衡条件满足。

平衡问题中常见受力情况汇总：

练习题

选择题

第1题 两个力 $F_1 = 6\,\text{N}$、$F_2 = 8\,\text{N}$，方向互相垂直，它们的合力大小为（　　）

A. $2\,\text{N}$　　　B. $7\,\text{N}$　　　C. $10\,\text{N}$　　　D. $14\,\text{N}$

第2题 一个力 $F = 100\,\text{N}$，与水平方向成 $37°$ 角斜向右上方。该力的水平分力和竖直分力分别为（　　）

A. $60\,\text{N}$ 和 $80\,\text{N}$　　　B. $80\,\text{N}$ 和 $60\,\text{N}$　　　C. $50\,\text{N}$ 和 $50\,\text{N}$　　　D. 和

第3题 一个物体静止在斜面上，下列说法正确的是（　　）

A. 物体受到重力和支持力，合力为零

B. 物体只受到重力和摩擦力两个力

C. 物体受到重力、支持力和摩擦力，三力合力为零

D. 支持力的方向竖直向上

第4题 关于合力与分力的大小关系，下列说法正确的是（　　）

A. 合力一定大于每一个分力

B. 合力一定大于较小的那个分力

C. 合力可以等于零

D. 两个力合力的范围是 $F_1 + F_2$ 到 $|F_1 - F_2|$，合力不可能等于零

计算题

第5题 一辆质量为 $1000\,\text{kg}$ 的小轿车停在倾角为 $30°$ 的坡道上，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求：（1）坡面对小轿车的支持力；（2）坡面对小轿车的摩擦力。

第6题 一盏装饰灯重 $G = 40\,\text{N}$，用两根绳子悬挂。绳 A 水平连接到墙壁，绳 B 斜向连接到墙壁，绳 B 与竖直方向成 $45°$ 角，求绳 A 和绳 B 各自的拉力大小。

水平分力为 $80\,\text{N}$，竖直分力为 $60\,\text{N}$，选 B。

（2）摩擦力（沿斜面方向平衡）：

$f = G\sin30° = 10000 \times 0.5 = 5000\,\text{N}$

摩擦力方向沿斜面向上，大小为 $5000\,\text{N}$；支持力垂直斜面向上，大小为 $8660\,\text{N}$。

验证：$\sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{8660^2 + 5000^2} \approx 10000\,\text{N} = G$，结果正确。

$T_{Bx} = T_B\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}T_B \quad \text{（水平向右）}$

$T_{By} = T_B\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}T_B \quad \text{（竖直向上）}$

竖直方向平衡：

$T_{By} = G \implies \frac{\sqrt{2}}{2}T_B = 40 \implies T_B = \frac{40 \times 2}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \approx 28.3\,\text{N}$

水平方向平衡：

$T_A = T_{Bx} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 20\sqrt{2} = 20\,\text{N}$

结论：绳 A 的拉力为 $20\,\text{N}$，绳 B 的拉力约为 $28.3\,\text{N}$。