功与能的深入

功是力学中联系力与运动的核心概念，也是衡量能量变化的直接度量。工人推动小车前进、起重机吊起货物、弹弓弹出石子，这些过程中都有力在做功，能量也随之发生转化。

能量有多种形式：运动中的物体具有动能，高处的物体具有重力势能，被压缩或拉伸的弹簧储存着弹性势能。各种形式的能量可以相互转化，但总量保持不变，这就是能量守恒定律的核心内容。

功的概念与正负

力学中“做功”有严格的定义：一个力对物体做功，需要同时满足两个条件——物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移。

当力 $F$ 与位移 $s$ 之间的夹角为 $\theta$ 时，功的计算公式为：

$W = Fs\cos\theta$

功的国际单位是焦耳（J），$1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}$。根据夹角 $\theta$ 的大小，功可以分为三种情况：

例1 工人用 $40\,\text{N}$ 的水平力推动箱子沿水平地面前进 $5\,\text{m}$，夹角 $\theta = 0°$：

$W = Fs\cos0° = 40 \times 5 \times 1 = 200\,\text{J}$

推力做正功，箱子获得能量。

例2 工人用绳子斜向上拉动货物，绳与水平方向成 $37°$，拉力 $F = 50\,\text{N}$，位移 $s = 8\,\text{m}$：

$W = Fs\cos37° = 50 \times 8 \times 0.8 = 320\,\text{J}$

例3 搬运工竖直举起质量 $10\,\text{kg}$ 的货物后水平走了 $5\,\text{m}$，重力 $G = 100\,\text{N}$，方向竖直向下，位移水平，夹角 $\theta = 90°$：

$W_G = G \cdot s \cdot \cos90° = 0$

水平运动时重力不做功，这说明支持力、垂直于运动方向的力，对物体均不做功。

动能与动能定理

运动中的物体具有做功的能力，这种能量称为动能，用 $E_k$ 表示。质量为 $m$、速度为 $v$ 的物体，动能为：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

动能的单位与功相同，也是焦耳（J）。从公式可以看出，动能与质量成正比，与速度的平方成正比——速度增大一倍，动能增大四倍。

不同物体的动能比较：

动能定理揭示了合外力做的功与动能变化之间的关系：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量。

$W_{\text{合}} = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k$

其中 $E_{k1}$ 是初动能，$E_{k2}$ 是末动能。

例4 一辆质量 $1000\,\text{kg}$ 的小轿车，以 $10\,\text{m/s}$ 的速度行驶，经过发动机做功后速度增大到 $20\,\text{m/s}$，求合外力做的功。

$W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 - \frac{1}{2} \times 1000 \times 10^2$

$W_{\text{合}} = 200000 - 50000 = 1.5 \times 10^5\,\text{J}$

例5 质量 $2\,\text{kg}$ 的物体，在水平面上受 $10\,\text{N}$ 的水平推力，同时受 $4\,\text{N}$ 的摩擦力，经过 $3\,\text{m}$ 后求末速度（初速度为零）。

合外力做的总功：

$W_{\text{合}} = (10 - 4) \times 3 = 18\,\text{J}$

由动能定理 $W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv^2 - 0$：

$v = \sqrt{\frac{2W_{\text{合}}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 18}{2}} = \sqrt{18} \approx 4.2\,\text{m/s}$

重力势能

物体由于处于高处而具有的能量，称为重力势能，用 $E_p$ 表示。质量为 $m$、距参考平面高度为 $h$ 的物体，重力势能为：

$E_p = mgh$

重力势能的大小与所选参考平面（零势能面）有关，通常选取地面或某一水平面作为参考平面。重力势能可以为负值，例如物体位于参考平面以下时。

重力做功与重力势能变化的关系：

$W_{\text{重力}} = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2}$

重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。

不同高度物体重力势能的计算（质量 $m = 2\,\text{kg}$，$g = 10\,\text{m/s}^2$，以地面为参考平面）：

从表中可以看出，物体位于地面以上时重力势能为正，位于地面以下时重力势能为负，高度越大重力势能越大。

动能与势能的相互转化

在只有重力做功的系统中，动能和重力势能会不断地相互转化，但二者之和——机械能——保持不变。

$E_{\text{机械}} = E_k + E_p = \text{常量}$

这就是机械能守恒定律：当只有重力（或弹力）做功时，物体的机械能守恒。

例6 质量为 $0.5\,\text{kg}$ 的小球，从距地面 $5\,\text{m}$ 高处由静止自由落下，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，以地面为参考平面，分析下落过程中各时刻的能量分配。

初始状态（$h = 5\,\text{m}$，$v = 0$）：

$E_p = mgh = 0.5 \times 10 \times 5 = 25\,\text{J}, \quad E_k = 0, \quad E_{\text{总}} = 25\,\text{J}$

下落到 $h = 2\,\text{m}$ 时：

$E_p = 0.5 \times 10 \times 2 = 10\,\text{J}, \quad E_k = 25 - 10 = 15\,\text{J}, \quad E_{\text{总}} = 25\,\text{J}$

落地瞬间（$h = 0$）：

$E_p = 0, \quad E_k = 25\,\text{J}, \quad E_{\text{总}} = 25\,\text{J}$

各阶段能量汇总：

机械能始终保持 $25\,\text{J}$ 不变，势能减少的量恰好等于动能增加的量。

能量守恒的定量计算

当存在摩擦力等非重力做功时，机械能不再守恒，但总能量仍然守恒。摩擦力做的负功，等于系统损失的机械能，这部分能量转化为了热能（内能）。

$W_{\text{摩擦}} = -(E_{\text{机械末}} - E_{\text{机械初}}) = E_{\text{机械初}} - E_{\text{机械末}}$

也可以写成：

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} + Q$

其中 $Q$ 为克服摩擦力产生的热量，$Q > 0$。

例7 质量 $2\,\text{kg}$ 的物体从高 $3\,\text{m}$ 的斜面顶端由静止开始滑下，到达底端时速度为 $6\,\text{m/s}$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求克服摩擦力产生的热量。

以斜面底端为参考平面，初始机械能：

$E_{\text{初}} = mgh + 0 = 2 \times 10 \times 3 = 60\,\text{J}$

末态机械能：

$E_{\text{末}} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 6^2 = 36\,\text{J}$

产生的热量：

$Q = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = 60 - 36 = 24\,\text{J}$

不同情形下的能量守恒分析对比：

练习题

选择题

第1题 下列关于做功的说法，正确的是（　　）

A. 力越大，做的功就越多

B. 位移越大，做的功就越多

C. 力与位移方向相同时，该力对物体做正功

D. 力与位移方向垂直时，该力对物体也做功

第2题 质量为 $2\,\text{kg}$ 的物体以 $4\,\text{m/s}$ 的速度运动，其动能为（　　）

A. $4\,\text{J}$　　　B. $8\,\text{J}$　　　C. $16\,\text{J}$　　　D. $32\,\text{J}$

第3题 一个物体从高处自由落下，在只有重力做功的过程中，下列说法正确的是（　　）

A. 动能增大，势能增大，机械能增大

B. 动能减小，势能增大，机械能不变

C. 动能增大，势能减小，机械能不变

D. 动能减小，势能减小，机械能减小

第4题 一物体以初速度 $v_0$ 在水平面上做匀减速运动直至静止，摩擦力为 $f$，位移为 $s$，则下列关系正确的是（　　）

A. $\frac{1}{2}mv_0^2 = fs$

B. $\frac{1}{2}mv_0^2 > fs$

C. $\frac{1}{2}mv_0^2 < fs$

D. 无法确定

计算题

第5题 质量为 $3\,\text{kg}$ 的物体从距地面 $20\,\text{m}$ 高处由静止自由落下，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，以地面为参考平面，求：（1）物体在起始位置的机械能；（2）物体下落到距地面 $8\,\text{m}$ 处时的速度；（3）物体落地时的速度。

第6题 质量为 $4\,\text{kg}$ 的滑块从斜面顶端由静止开始下滑，斜面高度为 $5\,\text{m}$，斜面长度为 $10\,\text{m}$，滑块到达底端时速度为 $6\,\text{m/s}$，取 $g = 10\,\text{m/s}^2$，求：（1）滑块在下滑过程中克服摩擦力所做的功；（2）斜面对滑块的摩擦力大小。

因此 $\frac{1}{2}mv_0^2 = fs$，选 A。

（2）下落到 $h_2 = 8\,\text{m}$ 处时的速度：

只有重力做功，机械能守恒：

$E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2}$

$600 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = 3 \times 10 \times 8 + \frac{1}{2} \times 3 \times v_2^2$

$600 = 240 + 1.5v_2^2 \implies v_2^2 = 240$

$v_2 = \sqrt{240} \approx 15.5\,\text{m/s}$

（3）落地时（$h = 0$）的速度：

$E_{\text{机械}} = \frac{1}{2}mv_3^2 \implies \frac{1}{2} \times 3 \times v_3^2 = 600$

$v_3 = \sqrt{\frac{2 \times 600}{3}} = \sqrt{400} = 20\,\text{m/s}$

结论：起始机械能为 $600\,\text{J}$；下落到 $8\,\text{m}$ 处时速度约为 $15.5\,\text{m/s}$；落地速度为 $20\,\text{m/s}$。

末态机械能：

$E_{\text{末}} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 6^2 = 72\,\text{J}$

克服摩擦力做的功：

$W_f = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = 200 - 72 = 128\,\text{J}$

（2）摩擦力大小：

摩擦力沿斜面方向做功，$W_f = f \cdot L$，斜面长度 $L = 10\,\text{m}$：

$f = \frac{W_f}{L} = \frac{128}{10} = 12.8\,\text{N}$

结论：克服摩擦力做的功为 $128\,\text{J}$；斜面对滑块的摩擦力大小为 $12.8\,\text{N}$。