电场与电势

生活中电的应用随处可见：闪电、静电吸附、电视机显像管、心电图仪……这些现象的背后，都与电荷之间的相互作用密切相关。带电体不仅能对直接接触的物体产生力，即使两者相距一定距离，力的作用也依然存在。

物理学用“场”的思想来解释这一现象：带电体周围的空间中存在一种特殊的物质——电场，正是这个电场把力传递给了远处的其他带电体。理解电场的性质、掌握电场中能量的描述方式，是学习电学的重要基础。

电场与电场强度

带电体周围存在电场，其他电荷进入该区域后就会受到力的作用。为了定量描述电场的强弱，物理学引入了电场强度（简称场强）的概念。

在电场中某点放入一个电荷量为 $q$ 的正试探电荷，若它在该点受到的电场力为 $F$，则定义该点的电场强度为：

$E = \frac{F}{q}$

电场强度的单位是 $\text{N/C}$（牛每库），也可写作 $\text{V/m}$（伏每米），两者完全等价。

电场强度是矢量，其方向规定为正电荷在该点所受电场力的方向。

例1 在电场中某点，放入电荷量 $q = 2 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷，它受到 $F = 6 \times 10^{-4}\,\text{N}$ 的电场力，求该点的电场强度。若换成电荷量 的正电荷，受到的电场力是多少？

$E = \frac{F}{q} = \frac{6 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = 300\,\text{N/C}$

换用 $q'$ 后，电场强度不变，受到的力为：

$F' = q'E = 5 \times 10^{-6} \times 300 = 1.5 \times 10^{-3}\,\text{N}$

不同场强下电荷所受电场力的大小：

从表中可以看出：在相同电场中，电荷量越大，受到的电场力越大；在相同电荷量下，场强越强，受到的力也越大。

例2 在某电场中，已知场强大小 $E = 400\,\text{N/C}$，将电荷量 $q = 3 \times 10^{-5}\,\text{C}$ 的负电荷放入该点，它受到的电场力大小和方向如何？

电场力大小：

$F = qE = 3 \times 10^{-5} \times 400 = 1.2 \times 10^{-2}\,\text{N}$

由于是负电荷，受到的电场力方向与电场方向相反，大小为 $1.2 \times 10^{-2}\,\text{N}$。

电场线的画法与含义

为了直观地表示电场的分布情况，物理学引入了电场线的概念。电场线是在电场中画出的一组带方向的曲线，曲线上每一点的切线方向就是该点电场强度的方向。

电场线有几条核心规律，掌握这些规律可以帮助判断各种电场的分布情况：

几种典型电场的电场线特征：

例3 一个正点电荷附近某处，电场线密度是另一处的 3 倍，比较这两处的电场强度。

电场线越密，场强越大。密度是 3 倍处的场强也是另一处的 3 倍。设稀疏处场强为 $E_0$，则密集处场强为 $3E_0$。

例4 在两块间距为 $d = 0.05\,\text{m}$ 的平行金属板之间，存在均匀向右的匀强电场，场强 $E = 500\,\text{N/C}$。将一个电荷量 $q = 3 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷放入其中，受到的电场力大小和方向如何？

$F = qE = 3 \times 10^{-6} \times 500 = 1.5 \times 10^{-3}\,\text{N}$

正电荷受到的电场力方向与电场方向相同，即向右，大小为 $1.5 \times 10^{-3}\,\text{N}$。

若将同样大小的负电荷放入，所受电场力大小相同，但方向向左（与电场方向相反）。

电势与电势差

电荷在电场中具有势能，称为电势能，记作 $E_p$。与重力势能类似，电势能的大小与所选的参考零点有关，通常取无穷远处（或大地）作为电势能的零参考点。

电势是描述电场中某点特性的物理量，定义为单位正电荷在该点所具有的电势能：

$\varphi = \frac{E_p}{q}$

电势的单位是伏特（V），$1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}$，即将 1 C 的正电荷放在该点时，其电势能为 1 J。

电场中两点之间的电势之差，称为电势差，也就是通常所说的电压，用 $U_{AB}$ 表示：

$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$

电势差的单位同样是伏特（V）。

电荷 $q$ 从 A 点移动到 B 点，电场力所做的功为：

$W_{AB} = qU_{AB} = q(\varphi_A - \varphi_B)$

例5 将 $q = 2 \times 10^{-3}\,\text{C}$ 的正电荷从电场中 A 点移动到 B 点，A、B 之间的电势差 $U_{AB} = 100\,\text{V}$，求电场力做的功，并说明该过程中电荷的电势能如何变化。

$W_{AB} = qU_{AB} = 2 \times 10^{-3} \times 100 = 0.2\,\text{J}$

电场力做正功（$W > 0$），说明正电荷从高电势 A 点移向低电势 B 点，电势能减少了 $0.2\,\text{J}$。

不同情况下电荷移动时的功和能量变化规律：

从表中可以看出：正电荷沿电场线运动时，与重力做正功、重力势能减小的规律完全对应；负电荷的情况则恰好相反。

匀强电场中的简单计算

在两块平行金属板之间，若忽略边缘效应，内部各点的电场强度大小相等、方向一致，这种电场称为匀强电场。匀强电场是最简单、最常见的电场模型，也是各类计算问题的基础。

两板之间的电场强度 $E$、板间电压 $U$ 和板间距 $d$ 之间的关系为：

$E = \frac{U}{d}$

这个公式将电场强度与可直接测量的电压和几何尺寸联系在一起，是匀强电场计算的核心公式。

带电粒子在匀强电场中所受电场力为：

$F = qE = q\frac{U}{d}$

电荷从一个极板移动到另一个极板，电场力做的功为：

$W = Fd = qEd = qU$

例6 两块平行金属板相距 $d = 0.05\,\text{m}$，两板间电压 $U = 200\,\text{V}$，求：（1）两板之间的电场强度；（2）将电荷量 $q = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ 的电子放入其中，受到的电场力大小。

（1）场强：

$E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0.05} = 4000\,\text{V/m}$

（2）电场力：

$F = qE = 1.6 \times 10^{-19} \times 4000 = 6.4 \times 10^{-16}\,\text{N}$

不同电压和板间距对应的场强对比：

从表中可以看出：相同电压下板间距越小，场强越大；相同板间距下电压越高，场强越大。两块板靠得越近，或施加的电压越高，电场越强，对放入的电荷产生的力也越大。

例7 在匀强电场中，两点 A、B 沿电场方向相距 $d = 0.2\,\text{m}$，场强 $E = 600\,\text{V/m}$。将电荷量 $q = 4 \times 10^{-4}\,\text{C}$ 的正电荷从 A 移动到 B（A 在高电势侧），求：（1）A、B 之间的电势差；（2）电场力做的功；（3）电荷电势能的变化。

（1）A、B 间的电势差：

$U_{AB} = Ed = 600 \times 0.2 = 120\,\text{V}$

（2）电场力做的功：

$W = qU_{AB} = 4 \times 10^{-4} \times 120 = 0.048\,\text{J}$

（3）电势能的变化：

电场力做正功，电势能减小，减少量为：

$\Delta E_p = -W = -0.048\,\text{J}$

练习题

选择题

第1题 在电场中某点放入电荷量 $q = 4 \times 10^{-6}\,\text{C}$ 的正电荷，它受到的电场力为 $F = 8 \times 10^{-4}\,\text{N}$，则该点的电场强度为（　　）

A. $100\,\text{N/C}$　　　B. $200\,\text{N/C}$　　　C. $300\,\text{N/C}$　　　D. $400\,\text{N/C}$

第2题 关于电场线，下列说法正确的是（　　）

A. 电场线是带电粒子在电场中运动的实际轨迹

B. 电场线越密集的地方，该处电场强度越大

C. 静电场中的电场线是封闭曲线

D. 两条电场线可以在某点相交

第3题 两块平行金属板间距 $d = 0.02\,\text{m}$，板间电压 $U = 60\,\text{V}$，则两板之间的电场强度为（　　）

A. $1000\,\text{V/m}$　　　B. $2000\,\text{V/m}$　　　C. $3000\,\text{V/m}$　　　D. $4000\,\text{V/m}$

第4题 将 $q = 3 \times 10^{-3}\,\text{C}$ 的正电荷从 A 点移动到 B 点，已知 $U_{AB} = 50\,\text{V}$，则电场力做的功为（　　）

A. $0.05\,\text{J}$　　　B. $0.10\,\text{J}$　　　C. $0.15\,\text{J}$　　　D. $0.20\,\text{J}$

计算题

第5题 在匀强电场中，A、B 两点之间的距离为 $d = 0.4\,\text{m}$，AB 连线方向与电场方向平行，A 点电势高于 B 点，$U_{AB} = 400\,\text{V}$。一个电荷量 $q = 2 \times 10^{-4}\,\text{C}$ 的正电荷从 A 点沿电场方向移动到 B 点，求：（1）匀强电场的场强 ；（2）电场力做的功 ；（3）粒子电势能的变化量 。

第6题 两块平行金属板水平放置，上板带负电，下板带正电，板间距 $d = 0.1\,\text{m}$，板间电压 $U = 500\,\text{V}$。一个质量 $m = 2 \times 10^{-3}\,\text{kg}$、带正电量 的小物块静止悬浮在两板之间，取 ，求：（1）板间电场强度 ；（2）小物块受到的电场力大小；（3）验证悬浮条件是否成立（电场力与重力是否平衡）。

电场力做正功（$W > 0$），说明正电荷从高电势 A 点移向低电势 B 点，电势能减小了 $0.15\,\text{J}$。

（2）电场力做的功：

$W = qU_{AB} = 2 \times 10^{-4} \times 400 = 0.08\,\text{J}$

正电荷从高电势 A 沿电场方向移向低电势 B，电场力做正功。

（3）电势能的变化量：

电场力做正功，电势能减小，减少量等于电场力做的功：

$\Delta E_p = -W = -0.08\,\text{J}$

即粒子电势能减少了 $0.08\,\text{J}$。

结论： 场强为 $1000\,\text{V/m}$，电场力做功 $0.08\,\text{J}$，粒子电势能减少 $0.08\,\text{J}$。

（2）小物块受到的电场力：

由于下板带正电、上板带负电，电场方向由下极板（正）指向上极板（负），即方向竖直向上。正电荷受到的电场力方向与电场方向相同，也是竖直向上。

$F_{电} = qE = 4 \times 10^{-6} \times 5000 = 2 \times 10^{-2}\,\text{N}$

（3）验证悬浮条件：

重力大小（方向竖直向下）：

$G = mg = 2 \times 10^{-3} \times 10 = 2 \times 10^{-2}\,\text{N}$

比较两力：

$F_{电} = 2 \times 10^{-2}\,\text{N} = G = 2 \times 10^{-2}\,\text{N}$

电场力（向上）与重力（向下）大小相等、方向相反，合力为零，小物块满足悬浮的平衡条件。

结论： 板间场强为 $5000\,\text{V/m}$，电场力大小为 $0.02\,\text{N}$，恰好与重力 $0.02\,\text{N}$ 大小相等、方向相反，小物块处于受力平衡状态，能够悬浮在两板之间。