周期测量连接振动与波动

振动实验考察物体如何随时间往复运动，声速实验还要测量扰动在空间中的传播。两类实验都要识别周期，但“经过同一位置”不一定意味着完成一次振动，“图形再次变成直线”也不一定意味着传播距离增加一个波长。测量前先规定重复事件的判据。

气垫导轨上的弹簧振动

滑块在平衡位置附近沿水平方向运动，若恢复力为 $F=-k_{\rm eff}x$，有效运动质量为 $M_{\rm eff}$，摩擦和其他阻尼对周期的影响可忽略，则

$$M_{\rm eff}\ddot x+k_{\rm eff}x=0,\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{M_{\rm eff}}{k_{\rm eff}}}.$$

若滑块两侧各接一根弹簧，两弹簧在整个运动范围内均处于适用的线性受力状态，小位移引起的恢复力共同作用，$k_{\rm eff}=k_1+k_2$。不能只因图中有两根弹簧就任意使用串联公式。弹簧松弛、过度拉伸或连接点移动，都会改变模型。

先通气并按装置规程调平导轨，再放置滑块、连接弹簧与附加质量。确保滑块在规定振幅内运动，不碰到端挡，也不使弹簧超过允许伸长。光电门应可靠检测标记，读数时核对计时仪记录的是过门间隔还是完整周期。

人工计时可从某一位置沿指定方向通过的瞬间开始，在再次以相同方向通过时计一个周期；测 $N$ 个周期的总时间 $t_N$，得到 $T=t_N/N$。每组重复计时，并观察振幅是否衰减及周期是否随振幅改变。多周期计时减少起止定位对单个周期的相对影响，但不能消除周期数计错、漂移和阻尼模型误差。

用质量变化检验模型

保持弹簧和附件状态不变，逐级增加质量 $m$。若其余有效质量可视为常量 $M_0$，则

$$T^2=\frac{4\pi^2}{k_{\rm eff}}m+\frac{4\pi^2M_0}{k_{\rm eff}}.$$

绘制 $T^2$ 对 $m$ 的图线，通过斜率 $b$ 求 $k_{\rm eff}=4\pi^2/b$。截距反映滑块、附件及在模型中计入的其他有效质量，不能未经分析就强制过原点。弹簧本身参与运动时，其贡献取决于弹簧形状和运动分布；没有适用模型时，不应给所有装置统一添加某个固定质量分数。

对每个周期读数，一阶近似有 $u(T^2)=2T u(T)$。拟合时考虑各点不确定度及质量测量的影响，检查残差是否显示曲率或系统变化，再判断线性模型是否适用。

超声波测声速的基本关系

换能器把电信号转换为超声波，再由另一换能器把接收的声信号转换为电信号。对频率为 $f$、波长为 $\lambda$ 的稳定简谐波，相速度为

$$v=f\lambda.$$

频率来自实际测量或已确认的信号源示值，波长来自移动接收器时观察到的重复空间特征。应记录介质和温度等实验条件，因为声速随介质状态改变；不把某个固定声速数值当成所有室温条件下的“真值”。

按本机指导书连接发射器、接收器、信号源与示波器，确认端面平行、轴线对准和接收信号未削顶。在允许频率范围内调整到信号清楚、可重复的工作条件，随后保持频率不变。移动机构按规定方向逼近测量点，以减小回程间隙的影响；若改变方向，应重新建立一致的逼近条件。

共振干涉法：测相邻峰的位置差

在两换能器之间存在反射时，声场由入射波与反射波叠加。适用的共振干涉装置中，逐渐改变间距，可观察到接收振幅交替增强和减弱；相邻共振极大位置间隔近似为 $\lambda/2$。这一规律需要稳定的频率、反射条件与几何对准，不能把接收端始终当作固定在某个绝对坐标的理想波腹。

沿同一方向连续寻找极大值，记录位置 $x_1,x_2,\ldots$，避免漏峰。跨越 $q$ 个相邻峰间隔，得到

$$\lambda=\frac{2(x_{n+q}-x_n)}{q}.$$

也可拟合 $x_n=a+bn$，用 $\lambda=2b$ 求波长。峰的位置差可以减小固定位置零点的影响，但刻度比例误差和找峰偏差仍在。幅度峰较宽时，应保持一致的定位判据，并将定位分散计入不确定度。

相位比较法：先分清半个波长与一个波长

将参考信号和接收信号分别作为示波器 X、Y 输入。在同频且近似正弦的条件下，屏幕形成李萨如图形。若两通道均未反相，零相位差对应正斜率直线，相差 $\pi$ 对应负斜率直线；其他相位差一般形成椭圆。电缆、换能器和电路可附加相位，因此测量使用位置变化引起的相位变化，而不要求某个绝对间距时必为零相位。

在传播和仪器状态稳定、相位随位置近似线性变化的条件下，接收器移动一个波长，对应相位变化 $2\pi$。连续的正斜率、负斜率直线之间对应半个波长；再次出现相同斜率直线才对应一个完整波长。记录位置时必须同时记下图形类别。

若记录的是连续同斜率直线位置，跨 $q$ 个间隔有 $\lambda=(x_{n+q}-x_n)/q$；若记录正负斜率交替出现的所有直线位置，则应使用 $$。不要混用两个编号体系。实际声场中的多次反射可能使相位变化偏离简单行波模型，应比较方法间的差异并检查装置适用条件。

声速结果的不确定度与比较

将得到的波长换算为米、频率换算为赫兹后计算声速。若 $f$ 与 $\lambda$ 可视为不相关，且一阶传播成立，

$$\frac{u(v)}{v}=\sqrt{\left[\frac{u(f)}{f}\right]^2+\left[\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right]^2}.$$

波长的不确定度应包含位置读数、峰或相位判据的重复性、刻度校准等影响。多个位置差若共享端点，就并非独立数据；不能把大量重叠差值当作独立重复测量来人为缩小不确定度。拟合完整位置序列通常便于保留原始信息，但仍需检查编号和拟合假设。

比较两种方法时，应报告各自的频率、位置序列、计算过程和不确定度，并讨论它们共享的频率及位置刻度误差。两种结果接近可以支持一致性判断，但共有的系统影响可能使二者同时偏离参考值。

检查理解

相位比较实验连续记录了正斜率、负斜率、正斜率三次直线图形的位置。第一处与第三处相距 $8.60\,\mathrm{mm}$，信号频率为 $40.0\,\mathrm{kHz}$。在本章模型下声速是多少？

显示答案

第一处和第三处是相同斜率的连续重复，间距为一个波长，所以 $\lambda=8.60\times10^{-3}\,\mathrm m$，$v=f\lambda=344\,\mathrm{m/s}$。这些数值是演算示例；实际报告还需给出频率和位置测量的不确定度。