阻尼振动——振动的衰减

现实中的振动从不会永远持续。拨动吉他弦，声音逐渐消失；推动秋千，它越摆越低；松手后的弹簧，物体慢慢静止。振动幅度随时间减弱的现象，称为阻尼振动（damped oscillation）。理解阻尼，能解释为什么有些振动消失得极快，有些却能持续很久，也能解释为什么汽车悬挂系统的设计如此讲究——太“软”会颠簸不止，太“硬”又让人难受。

振动为什么会停下来

在理想的简谐运动中，能量守恒，振幅永远不变。然而现实世界中，任何振动系统都不可避免地与外界发生能量交换，振动的能量逐渐耗散，这就是阻尼的根本来源。

阻碍振动的力统称为阻尼力，根据物理来源不同，主要分为三类：

在绝大多数分析中，最常用的是粘性阻尼模型——阻尼力与速度成正比：

$F_{\text{阻}} = -b\dot{x}$

其中 $b$ 是阻尼系数（单位：$\mathrm{N\,s/m}$），负号表示阻尼力始终与运动方向相反。$b$ 越大，阻碍越强，振动消失越快。

例题 1： 一个物体在粘稠液体中振动，当速度为 $v = 0.2\,\mathrm{m/s}$ 时，测得阻尼力大小为 $F = 0.6\,\mathrm{N}$，求该液体对物体的阻尼系数 $b$。

由 $F = b \cdot v$：

$b = \frac{F}{v} = \frac{0.6}{0.2} = 3.0\,\mathrm{N{\cdot}s/m}$

阻尼振动方程

将阻尼力引入弹簧-质量系统，质量为 $m$ 的物体同时受弹力 $-kx$ 和阻尼力 $-b\dot{x}$，由牛顿第二定律：

$m\ddot{x} = -kx - b\dot{x}$

两边除以 $m$，整理得到标准形式的阻尼振动方程：

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

其中两个关键参数为：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \text{（无阻尼固有角频率）}$

$\gamma = \frac{b}{2m} \qquad \text{（阻尼系数，单位 rad/s）}$

$\gamma$ 的大小决定了振动衰减的快慢：$\gamma$ 越大，振动消失越快。

欠阻尼时的运动解

当阻尼不太强，满足 $\gamma < \omega_0$ 时，称为欠阻尼（underdamped）。此时方程的解为：

$x(t) = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega' t + \phi)$

这是阻尼振动最重要的公式，其中：

• $Ae^{-\gamma t}$ 是随时间指数衰减的振幅包络，$\gamma$ 越大包络收缩越快。
• $\omega'$ 是有阻尼时的实际振动角频率，满足：

$\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$

由于 $\omega' < \omega_0$，阻尼使振动频率略有降低，周期略有增大。阻尼越强，频率下降越明显。

下表展示了阻尼系数 $\gamma$ 对振动频率和振幅半衰期的影响（设 $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$）：

（振幅减半时间由 $e^{-\gamma t_{1/2}} = 1/2$ 解得：$t_{1/2} = \ln 2/\gamma \approx 0.693/\gamma$）

例题 2： 一个弹簧-质量系统，$m = 0.1\,\mathrm{kg}$，$k = 10\,\mathrm{N/m}$，阻尼系数 $b = 0.4\,\mathrm{N{\cdotp}s/m}$。求：（1）无阻尼固有角频率 $$；（2）阻尼参数 ；（3）有阻尼角频率 ；（4）初始振幅 时，经过 后振幅为多少？

经过 $t = 1\,\mathrm{s}$ 后的振幅：

振幅约减小到初始值的 $13.5\%$，而振动频率仅从 $10\,\mathrm{rad/s}$ 略降为 $9.80\,\mathrm{rad/s}$，几乎不变。

三种阻尼状态

阻尼强弱的判断依据是 $\gamma$ 与 $\omega_0$ 的大小关系，三种情形对应完全不同的物理行为：

欠阻尼

$\gamma < \omega_0$ 时，系统来回振荡，振幅越来越小。生活中大多数振动属于这种状态——弹簧秤的指针摆动、音叉的振动、单摆在空气中的摆动。振幅按 $Ae^{-\gamma t}$ 指数衰减。

临界阻尼

$\gamma = \omega_0$ 时，系统恰好不振荡，并以最短时间回到平衡位置。这是工程设计的”黄金标准“：汽车减振器、仪表指针的阻尼都以此为目标。阻尼太弱（欠阻尼）则车身上下颠簸；阻尼太强（过阻尼）则回复过慢，效果变差。

过阻尼

$\gamma > \omega_0$ 时，系统受到极强阻力，缓慢单调地回到平衡，所需时间比临界阻尼更长。门的液压缓冲器通常设计为轻度过阻尼，确保门缓缓关闭而不反弹。

例题 3： 某弹簧-质量系统 $m = 1\,\mathrm{kg}$，$k = 9\,\mathrm{N/m}$（$\omega_0 = 3\,\mathrm{rad/s}$）。分别判断以下三种阻尼系数对应的阻尼状态：（a）；（b）；（c）。

$\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{b}{2 \times 1} = \frac{b}{2}$

品质因数

对于欠阻尼系统，振动能持续多久取决于系统储存能量的能力与每周期耗散能量的比值。物理学中用品质因数（Quality Factor）$Q$ 来定量描述这一”品质“：

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{\omega_0 m}{b}$

$Q$ 值越大，能量散失越慢，振动持续越久，系统的”品质“越高。$Q$ 还有一个直观含义：振幅衰减到初始值的 $1/e$（约 $37\%$）时，系统已经完成了约 $Q/\pi$ 次完整振动。

下表列出了常见振动系统的典型 $Q$ 值：

例题 4： 一根音叉固有频率 $f_0 = 440\ \text{Hz}$，从敲击开始经过 $t = 5.0\ \text{s}$ 后，振幅衰减为初始值的 $e^{-1} \approx 37\%$。求该音叉的品质因数 。

由振幅公式 $A = A_0 e^{-\gamma t}$，当 $A/A_0 = e^{-1}$ 时，，故：

$\gamma = \frac{1}{t} = \frac{1}{5.0} = 0.2\ \text{rad/s}$

$\omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi \times 440 \approx 2765\ \text{rad/s}$

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{2765}{2 \times 0.2} \approx 6900$

该音叉的 $Q$ 值约为 $6900$，属于高品质振动系统，与实际音叉的测量结果一致。

能量的衰减

阻尼振动的振幅按 $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$ 减小。振动的机械能正比于振幅的平方，因此能量随时间的衰减规律为：

$E(t) = \frac{1}{2}kA^2(t) = \frac{1}{2}k\bigl(A_0 e^{-\gamma t}\bigr)^2 = E_0 e^{-2\gamma t}$

• 能量衰减的速率是振幅衰减速率的两倍：振幅减半时，能量只剩四分之一。

定义能量衰减时间常数 $\tau$（能量降到初始值的 $1/e$ 所需时间）：

$\tau = \frac{1}{2\gamma}$

品质因数与衰减时间常数的关系为：

$Q = \omega_0 \tau = \frac{\omega_0}{2\gamma}$

以下展示了三种阻尼强度下，能量随时间的变化情况（$\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$，$E_0 = 1\ \text{J}$）：

例题 5： 一个阻尼振动系统，初始能量 $E_0 = 0.5\ \text{J}$，阻尼参数 $\gamma = 1.0\ \text{rad/s}$。经过多长时间，系统能量减小到初始值的 $10\%$？

由 $E(t) = E_0 e^{-2\gamma t}$，令 $E(t)/E_0 = 0.10$：

$e^{-2\gamma t} = 0.10$

$-2\gamma t = \ln(0.10) = -2.303$

$t = \frac{2.303}{2\gamma} = \frac{2.303}{2 \times 1.0} \approx 1.15\ \text{s}$

练习题

选择题

1. 一个弹簧-质量系统，$m = 0.5\ \text{kg}$，弹簧劲度系数 $k = 50\ \mathrm{N}/\mathrm{m}$，阻尼系数 $b = 2\ \mathrm{N\,s/m}$。该系统的阻尼参数 $\gamma$ 为多少？（知识点：阻尼参数的计算）

A. $\gamma = 0.5\ \text{rad/s}$

B. $\gamma = 1.0\ \text{rad/s}$

C. $\gamma = 2.0\ \text{rad/s}$

D. $\gamma = 4.0\ \text{rad/s}$

2. 某弹簧-质量系统的无阻尼固有角频率 $\omega_0 = 5\ \text{rad/s}$，阻尼参数 $\gamma = 5\ \text{rad/s}$，该系统处于什么阻尼状态？（知识点：三种阻尼状态的判断）

A. 欠阻尼，系统来回振荡后逐渐静止

B. 临界阻尼，系统以最快速度回到平衡位置

C. 过阻尼，系统缓慢单调地回到平衡位置

D. 无阻尼，系统永远振动

3. 一个阻尼振动系统，品质因数 $Q = 100$，固有频率 $f_0 = 100\ \text{Hz}$，则其阻尼参数 $\gamma$ 约为多少？（知识点：品质因数与阻尼的关系）

A. $\gamma \approx 1.0\ \text{rad/s}$

B. $\gamma \approx 3.14\ \text{rad/s}$

C. $\gamma \approx 6.28\ \text{rad/s}$

D. $\gamma \approx 100\ \text{rad/s}$

4. 一个阻尼弹簧振子，初始振幅为 $A_0$，经过 3 个完整振动周期后，振幅变为 $A_0/e$（约为初始值的 $37\%$）。则此时系统能量约为初始能量的多少？（知识点：能量与振幅的衰减关系）

A. $37\%$

B. $13.5\%$

C. $50\%$

D. $25\%$

计算题

5. （知识点：由振幅衰减数据反推阻尼系数与品质因数）一个弹簧-质量系统做阻尼振动，$m = 0.2\ \text{kg}$，$k = 45\ \text{N/m}$。实验测得：初始振幅 $A_0 = 0.10\ \text{m}$，经过 $$ 后振幅减小为 （约为 倍）。

（1）由实验数据求阻尼参数 $\gamma$。

（2）求该系统的阻尼系数 $b$。

（3）判断该系统的阻尼状态（欠阻尼/临界/过阻尼）。

（4）求该系统的品质因数 $Q$。

6. （知识点：$Q$ 值与振动衰减的实际计算）一根音叉固有频率 $f_0 = 256\ \text{Hz}$，品质因数 $Q = 5000$。

（1）求该音叉的阻尼参数 $\gamma$。

（2）求能量衰减时间常数 $\tau$（能量衰减到初始值的 $1/e$ 所需时间）。

（3）从敲击开始，经过多少秒后，振幅减小到初始值的 $1\%$？

选 C。

$\gamma = \omega_0$，为临界阻尼状态，系统以最快速度回到平衡位置，不发生振荡。选 B。

$\gamma = \frac{\omega_0}{2Q} = \frac{628}{2 \times 100} = 3.14\ \text{rad/s}$

选 B。

经过 3 个周期后 $A = A_0 e^{-1}$，此时能量为：

$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}k\bigl(A_0 e^{-1}\bigr)^2 = E_0 e^{-2} \approx 0.135\, E_0$

即能量约为初始值的 $13.5\%$。振幅减小到 $37\%$，能量减小到 $13.5\%$，能量衰减远比振幅衰减剧烈。选 B。

$\gamma = \frac{1}{t} = \frac{1}{2.0} = 0.5\ \text{rad/s}$

（2）求阻尼系数 $b$：

$b = 2m\gamma = 2 \times 0.2 \times 0.5 = 0.2\ \mathrm{N \cdot s/m}$

（3）判断阻尼状态：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{45}{0.2}} = \sqrt{225} = 15\ \text{rad/s}$

因为 $\gamma = 0.5\ \text{rad/s} \ll \omega_0 = 15\ \text{rad/s}$，该系统为欠阻尼状态，振动衰减很慢，能持续较长时间。

（4）品质因数：

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{15}{2 \times 0.5} = 15$

$Q = 15$ 属于中等品质，振动约经过 $Q/\pi \approx 4.8$ 次完整振动后，振幅衰减到初始值的 $37\%$。

（2）能量衰减时间常数：

能量 $E \propto e^{-2\gamma t}$，令 $e^{-2\gamma\tau} = e^{-1}$，解得：

$\tau = \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{2 \times 0.161} \approx 3.11\ \text{s}$

（3）振幅衰减到 $1\%$：

$e^{-\gamma t} = \frac{1}{100} \quad \Rightarrow \quad \gamma t = \ln 100 = 4.605$

$t = \frac{4.605}{\gamma} = \frac{4.605}{0.161} \approx 28.6\ \text{s}$

该音叉需约 $28.6\ \text{s}$ 振幅才衰减到初始值的 $1\%$，与日常经验一致：敲击音叉后，声音能持续数十秒才消失。