受迫振动与共振

秋千越荡越高，需要在正确的时机施加推力；大桥在风中发生灾难性振动，并非因为风力过大，而是因为风的周期与桥的固有频率恰好吻合；收音机能精准锁定某个电台，靠的是电路的共振选频。这些现象背后，都是受迫振动与共振在起作用。

受迫振动的运动方程

前面学过的自由振动和阻尼振动，系统都是靠自身的弹性恢复力运动。现在加入一个持续作用的周期性驱动力 $F(t) = F_0\cos(\omega t)$，系统就进入了受迫振动的状态。

对一个弹簧-质量系统（固有角频率 $\omega_0$、阻尼系数 $\gamma$），加上驱动力后，根据牛顿第二定律，运动方程变为：

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$

方程右边的 $\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$ 是驱动项，正是它使系统持续振动。下表汇总了各参数含义：

方程的完整解由两部分叠加而成：一部分是按 $e^{-\gamma t}$ 衰减的暂态解，以接近固有频率振动；另一部分是以驱动频率 $\omega$ 振动、不随时间衰减的稳态解。经过足够长的时间，暂态部分消失，系统便以驱动频率 $\omega$ 做稳定振动，稳态解的形式为：

$x(t) = A\cos(\omega t - \phi)$

稳态振动与驱动力同频率，但存在一个相位差 $\phi$（振动滞后于驱动力）。

无阻尼受迫振动

先考虑无阻尼（$\gamma = 0$）的理想情形。此时稳态振幅为：

$A = \frac{F_0/m}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

当驱动频率远小于固有频率（$\omega \ll \omega_0$）时，$A \approx F_0/k$，振幅仅由弹簧硬度决定，与驱动频率无关，系统准静态地跟随外力运动。

当驱动频率接近固有频率时，分母趋近于零，振幅急剧增大。理论上当 $\omega = \omega_0$ 时振幅趋于无穷大——这就是共振。

当驱动频率 $\omega$ 与固有频率 $\omega_0$ 的比值 $\omega/\omega_0$ 不同时，振幅放大倍数（以 $F_0/k$ 为单位）会有如下规律：

可见，振幅在驱动频率接近固有频率时迅速增大，远离固有频率时则减小。

驱动频率越接近固有频率，振幅越大，呈非线性增长。

例题 1： 一个弹簧-质量系统，$k = 400\ \text{N/m}$，$m = 0.1\ \text{kg}$，受到幅值 $F_0 = 2\ \text{N}$ 的驱动力。不计阻尼，驱动频率 $$，求稳态振幅。

固有角频率：$\omega_0 = \sqrt{400/0.1} = \sqrt{4000} \approx 63.2\ \text{rad/s}$

$A = \frac{F_0/m}{|\omega_0^2 - \omega^2|} = \frac{2/0.1}{|4000 - 1600|} = \frac{20}{2400} \approx 8.3 \times 10^{-3}\ \text{m} = 8.3\ \text{mm}$

有阻尼受迫振动的稳态响应

实际系统总有阻尼。有阻尼时，稳态振幅公式为：

$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$

振动滞后驱动力的相位角 $\phi$ 满足：

$\tan\phi = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}$

三个典型的驱动频率区间，相位差各有其物理含义：

使稳态振幅最大的驱动频率称为共振频率 $\omega_r$：

$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$

当阻尼较小（$\gamma \ll \omega_0$）时，$\omega_r \approx \omega_0$；阻尼越大，共振频率越低于固有频率。共振时的最大振幅为：

$A_{\max} \approx \frac{F_0}{2m\gamma\omega_0} \quad (\gamma \ll \omega_0)$

引入品质因数 $Q = \dfrac{\omega_0}{2\gamma}$，则：

$A_{\max} = Q \cdot \frac{F_0}{m\omega_0^2} = Q \cdot \frac{F_0}{k}$

• $Q$ 值越大，阻尼越小，共振时振幅放大倍数越大，共振峰越尖锐。

例题 2： 某振动系统固有频率 $f_0 = 10\ \text{Hz}$，品质因数 $Q = 20$，弹簧劲度系数 $k = 1000\ \text{N/m}$，驱动力幅值 $F_0=$。驱动频率等于固有频率时，稳态振幅是多少？

$A_{\max} = Q \cdot \frac{F_0}{k} = 20 \times \frac{1}{1000} = 0.02\ \text{m} = 2\ \text{cm}$

若系统阻尼极大（$Q = 1$），相同驱动力只能产生 $F_0/k = 1\ \text{mm}$ 的位移。高 $Q$ 值使共振振幅放大了整整 $20$ 倍。

阻尼对共振曲线的影响

不同 $Q$ 值（即不同阻尼程度）下，共振峰的高度和宽度截然不同。以下内容给出了系统的共振放大倍数与共振峰宽度随 $Q$ 值的变化（振幅以 $F_0/k$ 为单位）：

从上面的内容可以总结两条规律：$Q$ 值越大，最大振幅放大倍数越接近 $Q$ 值本身；$Q$ 值越大，共振峰越窄，系统对频率越敏感——驱动频率只要稍微偏离固有频率，振幅便大幅下降。

暂态过程

以上分析的都是稳态振动。刚开始施加驱动力时，系统不会立刻进入稳定振幅，而是经历一段暂态过程：驱动频率 $\omega$ 的稳态振动与固有频率 $\omega_0$ 的衰减振动同时存在，两者叠加产生振幅忽大忽小的起伏，随着固有频率分量因阻尼而衰减，振幅最终稳定在稳态值。

暂态消失所需的时间约为：

$t_{\text{暂态}} \approx \frac{1}{\gamma} = \frac{2Q}{\omega_0}$

$Q$ 值越大、阻尼越小，达到稳态所需的时间越长。

例题 3： 标准音叉（A 音，$f_0 = 440\ \text{Hz}$）的品质因数 $Q = 50$。估算它从受击到振幅稳定大约需要多长时间。

$\omega_0 = 2\pi \times 440 \approx 2765\ \text{rad/s}$

$\gamma = \frac{\omega_0}{2Q} = \frac{2765}{100} = 27.65\ \text{s}^{-1}$

$t_{\text{暂态}} \approx \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{27.65} \approx 0.036\ \text{s} = 36\ \text{ms}$

大约 $36$ 毫秒，听起来几乎是立刻发声，与音叉的使用体验完全吻合。

驱动力做的功与功率吸收

稳态振动中，阻尼持续耗散能量，驱动力必须不断补充能量，系统才能维持振动。驱动力对系统做功的平均功率为：

$\bar{P} = \frac{F_0^2 \gamma \omega^2 / m}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}$

当 $\omega = \omega_0$（共振，$\phi = 90°$）时，平均功率取得最大值：

$\bar{P}_{\max} = \frac{F_0^2}{4m\gamma} = \frac{F_0^2 Q}{2m\omega_0}$

下面列出了不同驱动频率下平均功率的相对大小（以 $\bar{P}_{\max}$ 为单位，$Q = 5$）：

功率吸收同样在共振频率处取极大，向两侧对称衰减。功率峰的半高宽也由 $Q$ 值决定，与振幅共振曲线完全一致。

共振的实际应用与危害

机械共振——塔科马海峡大桥

1940年11月7日，美国华盛顿州的塔科马海峡大桥（Tacoma Narrows Bridge）在建成仅四个月后发生坍塌，成为工程史上最著名的共振事故。当日风速约 $19\ \text{m/s}$，风绕桥体产生周期性漩涡脱落，脱落频率恰好接近大桥的扭转固有频率，振幅不断累积，最终大桥在剧烈扭转振动中撕裂。

这次事故直接推动了桥梁设计中气动稳定性分析的发展。此后所有大型桥梁和高层建筑的设计都必须经过风洞试验，确保其固有频率远离可能出现的激励频率。

电共振——LC 电路

在电学中，由电感 $L$ 和电容 $C$ 组成的 LC 回路，其固有频率为：

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

LC 回路与弹簧-质量系统在数学结构上完全相同，两者形成完美的类比：

例题 4： 一台收音机的调谐 LC 电路，电感 $L = 1\ \text{mH} = 10^{-3}\ \text{H}$，要接收频率 $f = 1000\ \text{kHz}$ 的 AM 广播信号，需将电容调至多大？

由 $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 解出 ：

$C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 10^6)^2 \times 10^{-3}} = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^9} \approx \frac{1}{3.948 \times 10^{10}} \approx 25.3\ \text{pF}$

调谐电容约为 $25.3\ \text{pF}$。收音机旋钮的作用正是改变电容，使 LC 回路固有频率与目标电台信号频率共振，从而在众多信号中选出该电台。

练习题

选择题

1. 一个受迫振动系统，驱动频率 $\omega$ 从零逐渐增大到远超固有频率 $\omega_0$。在此过程中，稳态振动与驱动力的相位差 $\phi$ 如何变化？（知识点：受迫振动相频特性）

A. 从 $0°$ 单调增大到 $180°$ B. 从 $180°$ 单调减小到 $0°$ C. 先增大后减小，在 $\omega_0$ 处取最大值 $180°$ D. 始终保持

2. 两个弹簧-质量系统 A 和 B，固有频率相同，但 A 的阻尼比 B 小。两者都受到相同驱动力。当驱动频率等于固有频率时，以下说法正确的是？（知识点：阻尼对共振振幅的影响）

A. A 和 B 的振幅相同 B. A 的振幅大于 B C. B 的振幅大于 A D. 无法判断，取决于初始条件

3. 关于 LC 共振电路，下列说法错误的是？（知识点：电共振与机械共振类比）

A. 增大电感 $L$，固有频率降低 B. 增大电容 $C$，固有频率降低 C. LC 回路的共振与弹簧-质量系统的共振在数学形式上完全相同 D. LC 回路中，电阻越大，共振时的电流峰值越高

4. 关于暂态过程，以下说法正确的是？（知识点：暂态过程与品质因数）

A. 系统的品质因数 $Q$ 越大，从启动到稳态所需时间越短 B. 系统的品质因数 $Q$ 越大，从启动到稳态所需时间越长 C. 暂态时间与 $Q$ 值无关，只与驱动频率有关 D. $Q$ 值越大，暂态过程中振幅的起伏越小

计算题

5. （知识点：有阻尼受迫振动的稳态振幅与品质因数）一个弹簧-质量系统，弹簧劲度系数 $k = 800\ \text{N/m}$，质量 $m = 0.2\ \text{kg}$，阻尼系数 $\gamma = 5\ \text{s}^{-1}$，受到幅值 $$ 的驱动力。

（1）求系统的固有角频率 $\omega_0$ 和品质因数 $Q$。

（2）求在共振频率处的稳态振幅 $A_{\max}$（使用近似公式，条件 $\gamma \ll \omega_0$）。

（3）若驱动角频率变为 $\omega = 40\ \text{rad/s}$，求此时稳态振幅 $A$。

6. （知识点：LC 电路共振频率的计算与调谐）一个 LC 振荡电路，电感 $L = 2\ \text{mH} = 2\times10^{-3}\ \text{H}$，电容 $C = 50\ \text{pF} = 50\times10^{-12}\ \text{F}$，电阻可忽略（ 值很高）。

（1）求该 LC 回路的共振频率 $f_0$。

（2）若将电容增大为 $C' = 200\ \text{pF}$（原来的 $4$ 倍），共振频率变为多少？

（3）若要接收频率 $f = 800\ \text{kHz}$ 的广播信号，电感 $L = 2\ \text{mH}$ 不变，应将电容调至多少？

$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{63.2}{2 \times 5} = 6.32$

验证：$\gamma = 5 \ll \omega_0 = 63.2$，近似条件成立。

（2）共振振幅：

$A_{\max} = Q \cdot \frac{F_0}{k} = 6.32 \times \frac{4}{800} = 0.0316\ \text{m} \approx 3.2\ \text{cm}$

（3）$\omega = 40\ \text{rad/s}$ 时的稳态振幅：

$\omega_0^2 = 4000,\quad \omega^2 = 1600,\quad \omega_0^2 - \omega^2 = 2400$

$(\omega_0^2 - \omega^2)^2 = 2400^2 = 5\,760\,000$

$4\gamma^2\omega^2 = 4 \times 25 \times 1600 = 160\,000$

$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}} = \frac{4/0.2}{\sqrt{5\,760\,000 + 160\,000}} = \frac{20}{\sqrt{5\,920\,000}} \approx \frac{20}{2433} \approx 8.2 \times 10^{-3}\ \text{m} = 8.2\ \text{mm}$

（2）电容增大 $4$ 倍后：

由 $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$，电容增大 $4$ 倍，频率变为原来的 $1/2$：

$f_0' = \frac{503}{2} \approx 251.5\ \text{kHz}$

（3）调谐到 $800\ \text{kHz}$：

$C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 8\times10^5)^2 \times 2\times10^{-3}}$

$= \frac{1}{(5.027\times10^6)^2 \times 2\times10^{-3}} = \frac{1}{2.527\times10^{13} \times 2\times10^{-3}} = \frac{1}{5.054\times10^{10}} \approx 19.8\ \text{pF}$

应将电容调至约 $19.8\ \text{pF}$。