波的边界效应与多普勒效应

救护车呼啸而过，鸣笛声调先高后低；蝙蝠发出超声波后根据反射频率的变化判断猎物的位置和速度；雷达追踪飞机时，也依赖同样的原理。波在边界处发生反射与折射，以及波源与观测者相对运动引起的频率变化，是波动现象中与日常生活联系最紧密的内容。

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波脉冲的反射——固定端与自由端

一列脉冲沿弦传播到末端时会发生反射。反射波的形状与相位取决于末端的约束方式，分为固定端和自由端两种情况。

固定端的末端质点被牢牢固定，位移始终为零。入射脉冲到达时，弦对固定点施加一个向上的力，固定端以等大反向的力回应，使反射脉冲的相位翻转 $180^\circ$——即波形倒置，正脉冲变为负脉冲向回传播。

自由端的末端质点不受约束，可以自由运动（如绳端套在光滑环上）。自由端质点的受力为零，振幅可以达到入射振幅的两倍；反射脉冲与入射脉冲同相，波形不倒置。

例题 1： 一列形状为正脉冲的横波向右传播，遇到固定端。描述反射过程并判断反射波的形状。

入射脉冲在固定端反射后相位翻转 $180^\circ$，原来向上的正脉冲变为向下的负脉冲，向左传播。反射瞬间，入射脉冲与反射脉冲在固定端叠加，两者恰好相消，使固定端的位移始终保持为零，符合边界条件。

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阻抗与反射——无反射传输

波在界面的反射程度取决于两种介质的声阻抗（Acoustic Impedance）是否匹配。对于机械波，声阻抗定义为：

$Z = \rho v$

其中 $\rho$ 为介质密度（$\text{kg/m}^3$），$v$ 为波在该介质中的波速（$\text{m/s}$），声阻抗的单位为 $\text{Pa}{\cdot}\text{s/m}$（即 $\text{kg}{\cdot}\text{m}^{-2}{\cdot}\text{s}^{-1}$）。

两种介质的阻抗差异越大，反射越强；当两种介质阻抗完全相同时，波在界面处完全透射，没有任何反射。

反射系数（反射波振幅与入射波振幅之比）：

$r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}$

透射系数（透射波振幅与入射波振幅之比）：

$t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1}$

例题 2： 弦 1 的线密度 $\mu_1 = 0.01\ \text{kg/m}$，弦 2 的线密度 $\mu_2 = 0.04\ \text{kg/m}$，两弦张力均为 $T = 4\ \text{N}$。求反射系数和透射系数，并判断反射波与入射波的相位关系。

对于弦，阻抗等效量为 $Z = \mu v = \mu \cdot \sqrt{T/\mu} = \sqrt{T\mu}$：

$Z_1 = \sqrt{T\mu_1} = \sqrt{4 \times 0.01} = 0.20\ \text{kg/(m}{\cdot}\text{s)}$

$Z_2 = \sqrt{T\mu_2} = \sqrt{4 \times 0.04} = 0.40\ \text{kg/(m}{\cdot}\text{s)}$

$r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} = \frac{0.40 - 0.20}{0.40 + 0.20} = \frac{0.20}{0.60} \approx +0.33$

$t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} = \frac{2 \times 0.40}{0.60} = \frac{0.80}{0.60} \approx +1.33$

$r > 0$，说明反射波与入射波同相（从轻弦到重弦，无半波损失）；透射系数 $t > 1$ 表示透射波振幅大于入射波，但由于两端阻抗不同，能量仍守恒。

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平面波的折射——斯涅尔定律

平面波斜射到两种介质的界面时，除发生反射外，还会发生折射——波的传播方向在界面处发生偏转。折射遵循与光学完全一致的规律：

$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$

其中 $\theta_1$ 为入射角（入射波方向与界面法线的夹角），$\theta_2$ 为折射角，$v_1$、$v_2$ 分别为波在两种介质中的波速。

当第二种介质波速更大时，存在临界角 $\theta_c$，满足：

$\sin\theta_c = \frac{v_1}{v_2}$

入射角大于临界角时，波不能进入第二种介质，全部反射回来。

例题 3： 声波在空气中的波速为 $v_1 = 340\ \text{m/s}$，在水中的波速为 $v_2 = 1480\ \text{m/s}$。（1）声波以 $10^\circ$ 的入射角从空气射向水面，求折射角。（2）求空气到水的全反射临界角。

（1）由斯涅尔定律：

$\sin\theta_2 = \frac{v_2}{v_1}\sin\theta_1 = \frac{1480}{340}\sin 10^\circ = 4.35 \times 0.174 \approx 0.757$

$\theta_2 \approx \arcsin(0.757) \approx 49.2^\circ$

（2）临界角：

$\sin\theta_c = \frac{v_1}{v_2} = \frac{340}{1480} \approx 0.230 \quad \Rightarrow \quad \theta_c \approx 13.3^\circ$

入射角只要超过 $13.3^\circ$，声波便无法从空气进入水中，全部被反射回去。

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多普勒效应——运动改变频率

多普勒效应是指：当波源或观测者相对于介质运动时，观测者接收到的频率与波源发出的固有频率不同。

以声波为例，约定：

• $f_0$：波源固有频率（$\text{Hz}$）
• $v$：声速（$\text{m/s}$）
• $v_s$：波源速度，向观测者方向运动取正值
• $v_o$：观测者速度，向波源方向运动取正值

多普勒频率公式：

$\boxed{f' = f_0 \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}}$

例题 4： 救护车鸣笛固有频率为 $f_0 = 800\ \text{Hz}$，以 $v_s = 20\ \text{m/s}$ 的速度向路边静止的行人驶来，声速 $v = 340\ \text{m/s}$。求：（1）救护车驶近时行人听到的频率；（2）救护车驶过后远离时行人听到的频率。

（1）波源靠近，观测者静止（$v_o = 0$，$v_s = 20\ \text{m/s}$）：

$f'_{\text{近}} = 800 \times \frac{340 + 0}{340 - 20} = 800 \times \frac{340}{320} = 850\ \text{Hz}$

（2）波源远离，$v_s$ 反向，分母变为 $v + v_s$：

$f'_{\text{远}} = 800 \times \frac{340}{340 + 20} = 800 \times \frac{340}{360} \approx 756\ \text{Hz}$

行人先听到 $850\ \text{Hz}$ 的较高音调，救护车驶过后听到 $756\ \text{Hz}$ 的较低音调，音调骤降约 $94\ \text{Hz}$——这一感知十分明显，每次听到救护车经过都可以亲身验证。

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多普勒效应的应用

多普勒效应在现代技术中有广泛的实际应用。

• 雷达测速：雷达发射固定频率的微波，被运动目标（汽车、飞机）反射后，由于目标运动产生多普勒频移。测量发射频率与接收频率的差值，即可计算目标速度。对于速度远小于光速的目标，频移近似为：

$\Delta f \approx \frac{2v_t}{c} f_0$

其中 $v_t$ 为目标速度，$c$ 为光速，$f_0$ 为雷达发射频率。因为目标既是「接收者」又是「反射源」，所以出现系数 2。

• 医学彩超：心脏超声（彩色多普勒）利用血流产生的多普勒频移来判断血流方向和速度。向探头方向流动的血液使反射频率升高，通常用红色显示；背离探头的血液使频率降低，用蓝色显示。

例题 5： 交通测速雷达发射频率为 $f_0 = 10.0\ \text{GHz}$，测得某辆汽车反射回来的频率比发射频率高 $\Delta f = 1400\ \text{Hz}$，光速 $c = 3.0 \times 10^8\ \text{m/s}$。求该汽车的行驶速度。

由雷达多普勒频移公式：

$v_t = \frac{\Delta f \cdot c}{2 f_0} = \frac{1400 \times 3.0 \times 10^8}{2 \times 10.0 \times 10^9} = \frac{4.2 \times 10^{11}}{2.0 \times 10^{10}} = 21\ \text{m/s} \approx 75.6\ \text{km/h}$

该汽车行驶速度约为 $75.6\ \text{km/h}$。

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冲击波与马赫数

当波源的运动速度 $v_s$ 等于或超过波在介质中的传播速度 $v$ 时，会出现普通多普勒效应无法描述的特殊情况。

当 $v_s = v$ 时，波源追上了自己刚刚发出的波，所有波阵面在波源前方叠加成一堵密集的「波墙」，这就是音障现象。

当 $v_s > v$ 时（超声速），波源超越了它发出的所有波，在波源后方形成一个以波源为顶点的圆锥形冲击波面，称为马赫锥。马赫锥的半锥角 $\alpha$ 满足：

$\sin\alpha = \frac{v}{v_s} = \frac{1}{M}$

其中 $M = v_s / v$ 称为马赫数（Mach number），是衡量运动速度超过声速程度的无量纲参数。

• 马赫数越大，马赫锥越尖，半锥角越小：$M = 2$ 时 $\alpha = 30^\circ$，$M = 10$ 时 $\alpha \approx 5.7^\circ$。

例题 6： 一架战斗机以马赫数 $M = 2.0$ 在高度 $H = 10000\ \text{m}$ 飞行，声速 $v = 340\ \text{m/s}$。（1）求马赫锥的半锥角。（2）当飞机恰好飞越地面观测者头顶时，观测者需等多久才能听到冲击波？

（1）马赫锥半锥角：

$\sin\alpha = \frac{1}{M} = \frac{1}{2.0} = 0.500 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 30^\circ$

（2）马赫锥的锥面以飞机为顶点，冲击波沿锥面向外传播。当飞机在观测者头顶上方时，锥面与地面的交点在飞机正前方 $d = H / \tan\alpha$ 处——换言之，冲击波需等到飞机飞过观测者头顶后，再继续飞行距离 $d$ 才能让锥面扫过观测者的位置。

$d = \frac{H}{\tan\alpha} = \frac{10000}{\tan 30^\circ} = \frac{10000}{0.577} \approx 17321\ \text{m}$

飞机速度 $v_s = M \cdot v = 2.0 \times 340 = 680\ \text{m/s}$，等待时间：

$t = \frac{d}{v_s} = \frac{17321}{680} \approx 25.5\ \text{s}$

飞机飞越头顶约 $25.5\ \text{s}$ 后，地面观测者才能听到冲击波（一声震耳的爆音）。

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练习题

1. 一列横波脉冲沿绳子向右传播，到达绳子的自由端（末端可自由上下运动）后发生反射。关于反射波，以下说法正确的是

（A）反射波向左传播，波形倒置（反相）

（B）反射波向左传播，波形不变（同相）

（C）反射波向右传播，波形倒置

（D）反射波向右传播，波形不变

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答案：（B）。自由端反射时，末端受力为零，反射波与入射波同相，波形不倒置，向来波方向反向传播（即向左）。固定端才会产生反相（倒置）反射。

2. 两种介质的声阻抗分别为 $Z_1 = 400\ \text{Pa}{\cdot}\text{s/m}$ 和 $Z_2 = 1200\ \text{Pa}{\cdot}\text{s/m}$，波从介质 1 垂直射入介质 2，反射系数 $r$ 为

（A）$+0.25$

（B）$+0.50$

（C）$-0.50$

（D）$-0.25$

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答案：（B）。$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1) = (1200 - 400)/(1200 + 400) = 800/1600 = 0.50$。$r > 0$ 说明从轻介质到重介质，反射波同相，无半波损失。

3. 一辆汽车鸣笛（固有频率 $f_0$）向静止的墙壁驶近，司机听到墙壁反射的鸣笛声。与原始鸣笛声相比，反射声的频率

（A）与 $f_0$ 相同，因为反射不改变频率

（B）高于 $f_0$，因为汽车相对于反射声是靠近的

（C）低于 $f_0$，因为汽车是声源，反射是次级声源

（D）取决于汽车速度与声速之比

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答案：（B）。汽车靠近墙壁时，墙壁「接收」到的频率已因多普勒效应升高；墙壁将此升高的频率反射出去，反射声对于向墙壁驶近的汽车（观测者）来说，又再次发生多普勒频升。两次叠加，司机听到的频率高于 $f_0$。速度影响升高幅度，但方向（升高）始终不变。

4. 一架飞机以马赫数 $M = \sqrt{2}$ 做超声速飞行，其马赫锥的半锥角 $\alpha$ 为

（A）$30^\circ$

（B）$45^\circ$

（C）$60^\circ$

（D）$90^\circ$

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答案：（B）。$\sin\alpha = 1/M = 1/\sqrt{2}$，故 $\alpha = 45^\circ$。马赫数 $M = \sqrt{2} \approx 1.41$ 对应 $\alpha = 45^\circ$；$M = 2$ 时 $\alpha = 30^\circ$，$M = 1$ 时 $\alpha = 90^\circ$（音障，锥变为平面）。

5. 一列火车以 $v_s = 30\ \text{m/s}$ 的速度向站台驶来，鸣笛固有频率为 $f_0 = 500\ \text{Hz}$，声速为 $v = 340\ \text{m/s}$。

（1）站台上静止的旅客听到的鸣笛频率是多少？

（2）火车驶过后远离时，旅客听到的频率是多少？

（3）这两种情况下感知频率相差多少？

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（1）波源靠近，观测者静止（$v_o = 0$，$v_s = 30\ \text{m/s}$）：

$f'_{\text{近}} = f_0 \cdot \frac{v}{v - v_s} = 500 \times \frac{340}{340 - 30} = 500 \times \frac{340}{310} \approx 548\ \text{Hz}$

（2）波源远离，分母变为 $v + v_s$：

$f'_{\text{远}} = f_0 \cdot \frac{v}{v + v_s} = 500 \times \frac{340}{340 + 30} = 500 \times \frac{340}{370} \approx 459\ \text{Hz}$

（3）频率差：

$\Delta f = f'_{\text{近}} - f'_{\text{远}} \approx 548 - 459 = 89\ \text{Hz}$

两种情况下感知频率相差约 $89\ \text{Hz}$，约为固有频率的 $17.8\%$，这一变化在听觉上十分明显，足以清晰感知音调的骤然下降。

6. 两种弦并排连接：弦 A 的线密度 $\mu_A = 0.025\ \text{kg/m}$，弦 B 的线密度 $\mu_B = 0.100\ \text{kg/m}$，两弦张力均为 $T = 25\ \text{N}$。

（1）求两弦中横波的波速 $v_A$ 和 $v_B$。

（2）求等效阻抗 $Z_A$ 和 $Z_B$（用 $Z = \sqrt{T\mu}$ 计算）。

（3）求弦 A 到弦 B 界面处的反射系数和透射系数，并判断反射波与入射波的相位关系。

显示答案

（1）弦上波速 $v = \sqrt{T/\mu}$：

$v_A = \sqrt{\frac{25}{0.025}} = \sqrt{1000} \approx 31.6\ \text{m/s}$

$v_B = \sqrt{\frac{25}{0.100}} = \sqrt{250} \approx 15.8\ \text{m/s}$

（2）等效阻抗 $Z = \sqrt{T\mu}$：

$Z_A = \sqrt{25 \times 0.025} = \sqrt{0.625} \approx 0.791\ \text{kg/(m}{\cdot}\text{s)}$

$Z_B = \sqrt{25 \times 0.100} = \sqrt{2.500} \approx 1.581\ \text{kg/(m}{\cdot}\text{s)}$

（3）从弦 A（$Z_A$）到弦 B（$Z_B$）：

$r = \frac{Z_B - Z_A}{Z_B + Z_A} = \frac{1.581 - 0.791}{1.581 + 0.791} = \frac{0.790}{2.372} \approx +0.333$

$t = \frac{2Z_B}{Z_B + Z_A} = \frac{2 \times 1.581}{2.372} \approx \frac{3.162}{2.372} \approx +1.333$

$r \approx +0.333 > 0$，反射波与入射波同相，无半波损失（从轻弦进入重弦）。约 $33\%$ 的振幅被反射，$133\%$ 的振幅透射进入弦 B（能量仍守恒，因阻抗不同）。