波的干涉与衍射

两列水波在水面相遇，有些地方水面平静得出奇，有些地方却波涛汹涌——这就是波的干涉。一束光透过一条极细的缝，在屏幕上出现的不是一条细线，而是一系列明暗相间的条纹——这就是衍射。干涉与衍射都是波叠加原理的直接体现，也是波动与粒子行为的根本区别之一。

波脉冲的反射与叠加

把一根绳子的一端固定在墙上，用手抖动另一端产生一个波脉冲，脉冲到达固定端后会反射回来。观察反射回来的脉冲，会发现它与入射脉冲的形状相同，但上下翻转了——这就是固定端反射的特征：反射时有半个波长的相位突变，即反射脉冲与入射脉冲反相。

若绳端自由悬挂（自由端），反射脉冲则与入射脉冲同相，没有相位突变。

两列波相遇时，合位移等于各列波位移的叠加，叠加之后各波继续独立传播，互不影响。

例题 1： 一根绳子左端固定，右端由手产生向左传播的波脉冲，振幅为 $A$，到达固定端后反射。若在某时刻，入射脉冲和反射脉冲的波峰恰好在绳中点处重叠，该处的位移为多少？

固定端反射为反相反射，反射脉冲振幅仍为 $A$，但方向相反（下方）。入射脉冲向上为 $+A$，反射脉冲向下为 $-A$，叠加结果为 $+A + (-A) = 0$。两脉冲完全相消，该处位移为零。

惠更斯原理的直观描述

波在传播过程中遇到障碍物或小孔，会绕过障碍物继续传播，这种现象称为衍射。解释这一现象最直观的方法是惠更斯原理：

• 惠更斯原理：波前（波阵面）上的每一个点，都可以看作新的次级波源，各点向前发出球形次级波（惠更斯子波）；下一时刻的新波前，是所有次级波的包络面。

这一原理解释了波为何能绕过障碍物——障碍物边缘附近的波前各点成为新的波源，向障碍物的几何阴影区发射次级波，使波能进入本应是「黑暗」的区域。

例题 2： 声波的频率为 $340\ \text{Hz}$，在空气中速度 $v = 340\ \text{m/s}$，波长为多少？能否明显绕过宽度为 $1\ \text{m}$ 的门洞？

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1.0\ \text{m}$

门洞宽度与波长相当，衍射效果明显——走廊里的声音能轻松绕过门口传入室内。光的波长约为 $500\ \text{nm} = 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$，远小于日常障碍物的尺寸，衍射效果极不明显，表现为近似直线传播。

双缝干涉

1801年，托马斯·杨用一个简单的实验证明了光的波动性：让一束光通过两条相距很近的平行细缝，在后方屏幕上得到了明暗相间的干涉条纹，而不是几何光学预测的两条亮线。

干涉条件的推导

设双缝间距为 $d$，缝到屏幕的距离为 $L$（$L \gg d$），光的波长为 $\lambda$。屏幕上某点 $P$ 到两缝的路程差为 $\Delta r$：

$\Delta r = d \sin\theta \approx \frac{dy}{L}$

其中 $y$ 是 $P$ 点到屏幕中心的距离，$\theta$ 是衍射角（近似条件 $\sin\theta \approx \tan\theta = y/L$）。

加强干涉（明纹）条件： 路程差等于波长的整数倍

$\Delta r = n\lambda, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

相消干涉（暗纹）条件： 路程差等于半波长的奇数倍

$\Delta r = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

相邻明纹（或暗纹）之间的间距为：

$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$

例题 3： 用波长 $\lambda = 589\ \text{nm}$ 的黄光照射双缝，双缝间距 $d = 0.20\ \text{mm}$，缝到屏幕距离 $L = 1.0\ \text{m}$。求相邻明纹的间距，以及第三级明纹（$n = 3$）到中心的距离。

$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{589 \times 10^{-9} \times 1.0}{0.20 \times 10^{-3}} = \frac{5.89 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-4}} = 2.94 \times 10^{-3}\ \text{m} \approx 2.94\ \text{mm}$

第三级明纹到中心的距离：

$y_3 = 3\Delta y = 3 \times 2.94\ \text{mm} = 8.83\ \text{mm}$

多缝干涉与衍射光栅

双缝干涉的明纹虽然位置确定，但条纹较宽、亮度较低、不够锐利。若将缝的数量增加到 $N$ 条，每条缝的间距均为 $d$（称为衍射光栅），则各缝发出的波同时叠加，产生更窄更亮的主极大。

光栅方程

衍射光栅的主极大（最亮明纹）出现的条件与双缝相同，称为光栅方程：

$d\sin\theta = n\lambda, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

$n$ 称为衍射级次，$d$ 称为光栅常数（相邻缝的间距）。主极大之间存在 $N-2$ 条次极大和 $N-1$ 个极小，缝数越多，主极大越窄越亮，分辨不同波长的能力越强。

例题 4： 一块衍射光栅的光栅常数 $d = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$（即每毫米 500 条缝），用波长 $\lambda = 500\ \text{nm}$ 的绿光照射。求一级主极大（$n = 1$）和二级主极大（）的衍射角。

由光栅方程 $d\sin\theta = n\lambda$：

一级主极大（$n = 1$）：

$\sin\theta_1 = \frac{n\lambda}{d} = \frac{1 \times 500 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.25 \implies \theta_1 = 14.5°$

二级主极大（$n = 2$）：

$\sin\theta_2 = \frac{2 \times 500 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.50 \implies \theta_2 = 30.0°$

单缝衍射

单缝衍射是理解所有衍射现象的基础。让平面光波垂直入射到宽度为 $a$ 的单缝上，根据惠更斯原理，缝内每个点都向前发出次级波，这些次级波在不同方向上叠加，产生特征明显的单缝衍射图样。

暗纹条件

对于衍射角 $\theta$ 方向上的光，可以将单缝等分为若干对，每对子波恰好路程差为 $\lambda/2$，完全相消。第 $m$ 级暗纹（极小值）满足：

$a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$

• 中央主极大位于 $\theta = 0$ 处，宽度为两侧第一暗纹角距离的两倍，是最亮最宽的亮纹。
• 两侧次极大（次亮纹）的亮度逐级迅速降低，宽度约为中央主极大的一半。

例题 5： 用波长 $\lambda = 600\ \text{nm}$ 的红光照射宽度 $a = 0.30\ \text{mm}$ 的单缝，缝后屏幕距离 $L = 2.0\ \text{m}$。求：（1）第一暗纹到中心的距离；（2）中央主极大的宽度。

第一暗纹的衍射角：

$\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{600 \times 10^{-9}}{0.30 \times 10^{-3}} = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{rad}$

近似 $\tan\theta_1 \approx \sin\theta_1$，第一暗纹到中心的距离：

$y_1 = L\tan\theta_1 \approx 2.0 \times 2.0 \times 10^{-3} = 4.0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 4.0\ \text{mm}$

中央主极大宽度为两侧第一暗纹距离之和：

$W = 2y_1 = 2 \times 4.0\ \text{mm} = 8.0\ \text{mm}$

• 单缝越窄（$a$ 越小），中央主极大越宽，衍射越明显；单缝越宽，中央主极大越窄，趋向几何光学的直线传播。

单缝衍射对多缝干涉的调制

实际的双缝或多缝实验中，每条缝本身都有一定宽度，因此每条缝都会产生单缝衍射。最终的衍射图样，是多缝干涉条纹叠加在单缝衍射包络之内的结果：单缝衍射决定各区域的整体亮度分布（包络），多缝干涉决定包络内部明纹的具体位置。

当多缝干涉的某级主极大恰好落在单缝衍射的暗纹位置，该级主极大将消失，称为缺级现象。

缺级条件：多缝干涉主极大条件 $d\sin\theta = n\lambda$ 与单缝衍射暗纹条件 $a\sin\theta = m\lambda$ 同时成立，则：

$\frac{n}{m} = \frac{d}{a}$

若 $d/a$ 为整数，则 $n = m \cdot (d/a)$ 对应的干涉级次缺失。

例题 6： 双缝实验中，缝宽 $a = 0.10\ \text{mm}$，缝间距 $d = 0.40\ \text{mm}$，$d/a = 4$。哪些干涉级次会缺级？

缺级的干涉级次为：

$n = m \cdot \frac{d}{a} = 4m, \qquad m = \pm 1, \pm 2, \ldots$

即 $n = \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots$ 这些级次的干涉主极大恰好落在单缝衍射的第 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ 级暗纹处，因此在实验屏幕上完全看不到这些级次的亮纹。

练习题

1. 在双缝干涉实验中，用波长 $\lambda = 500\ \text{nm}$ 的绿光，双缝间距 $d = 0.25\ \text{mm}$，屏幕距缝 $L = 1.5\ \text{m}$，则相邻明纹间距为

（A）$2.0\ \text{mm}$

（B）$3.0\ \text{mm}$

（C）$4.0\ \text{mm}$

（D）$1.0\ \text{mm}$

2. 用衍射光栅（光栅常数 $d = 2.5 \times 10^{-6}\ \text{m}$）观察某单色光，发现二级主极大（$n=2$）的衍射角 $\theta = 23.6°$（$$），该光的波长为

（A）$400\ \text{nm}$

（B）$450\ \text{nm}$

（C）$500\ \text{nm}$

（D）$550\ \text{nm}$

3. 单缝衍射实验中，缝宽 $a$ 不变，将入射光波长从 $\lambda$ 换为 $2\lambda$，则中央主极大的宽度

（A）不变

（B）变为原来的 $2$ 倍

（C）变为原来的 $1/2$

（D）变为原来的 $4$ 倍

4. 双缝实验中缝宽 $a = 0.10\ \text{mm}$，缝间距 $d = 0.30\ \text{mm}$，则以下哪个干涉级次会因缺级而消失？

（A）$n = \pm 2$

（B）$n = \pm 3$

（C）$n = \pm 4$

（D）$n = \pm 5$

5. 在杨氏双缝实验中，双缝间距 $d = 0.40\ \text{mm}$，屏幕距缝距离 $L = 1.2\ \text{m}$，用波长 $\lambda = 600\ \text{nm}$ 的红光照射。（1）求相邻明纹间距；（2）若将屏幕移到 $L' = 2.4\ \text{m}$ 处，条纹间距如何变化？（3）保持 不变，将双缝间距增大为 ，条纹间距又如何变化？

6. 光栅常数 $d = 1.6 \times 10^{-6}\ \text{m}$ 的衍射光栅，用白光（波长范围 $400\ \text{nm}$ 至 $700\ \text{nm}$）照射。（1）求一级衍射（$n = 1$）时，红光（）和紫光（）的衍射角；（2）判断三级衍射（）中，红光能否出现？（3）若缝宽 （即 ），哪些级次会缺级？

（2）屏幕距离增大为 $L' = 2.4\ \text{m}$（为原来的 2 倍），由 $\Delta y \propto L$，条纹间距变为：

$\Delta y' = \frac{\lambda L'}{d} = 2 \times 1.8\ \text{mm} = 3.6\ \text{mm}$

（3）双缝间距增大为 $d' = 0.80\ \text{mm}$（为原来的 2 倍），由 $\Delta y \propto 1/d$，条纹间距变为：

$\Delta y'' = \frac{\lambda L}{d'} = \frac{1.8\ \text{mm}}{2} = 0.9\ \text{mm}$

红光： $\sin\theta_r = \frac{\lambda_r}{d} = \frac{700 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6}} = 0.4375 \implies \theta_r \approx 25.9°$

一级衍射谱中，紫光偏角最小，红光偏角最大，白光被展开为彩色光谱。

（2）检验三级红光能否出现：

$\sin\theta = \frac{3\lambda_r}{d} = \frac{3 \times 700 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6}} = \frac{2.1 \times 10^{-6}}{1.6 \times 10^{-6}} = 1.3125 > 1$

$\sin\theta > 1$ 在物理上不可能，因此三级衍射中红光不能出现。最高可出现级次为：

$n_{\max} = \left\lfloor \frac{d}{\lambda_r} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1.6 \times 10^{-6}}{700 \times 10^{-9}} \right\rfloor = \lfloor 2.29 \rfloor = 2$

（3）$d/a = 4$，缺级条件 $n = 4m$，缺级级次为 $n = \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots$