组合变形

真实构件很少只对应一条内力：柱可能同时有轴力和弯矩，传动轴可能同时有两个方向的弯矩、扭矩与轴力。组合变形的入门方法，是先把截面内力拆成基本分量，分别求出它们在同一材料点、同一坐标系下产生的应力，再按模型允许的方式合成。

常见情形包括：

• 传动轴：在工作时，一方面传递扭矩产生扭转变形，另一方面由于自重或外载作用同时承受弯曲。
• 高层建筑的立柱：既承受建筑物自重等轴向压力，又因风荷载、地震力等侧向外力产生侧向弯曲，导致弯曲应力。
• 起重机的吊钩：吊运重物时既承受拉力，又因受力点偏心和钩体自重而发生弯曲。
• 桥梁支座、压力容器螺栓连接、悬臂梁等结构：可能同时发生多种基本变形的组合。

这些名称只是帮助识别主导分量。进入计算前仍要画完整自由体，避免因题目叫“弯扭组合”就漏掉实际存在的轴力或横向剪力。

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组合变形的概念

在线弹性、小变形且边界条件不随加载改变时，各载荷效应可以线性叠加。叠加的是带方向和符号的应力分量或位移分量，不是先把每一项取绝对值再相加。

在实际应用中，叠加原理的运用遵循一定的步骤。

1. 需要对构件进行受力分析，确定构件同时承受哪些载荷，这些载荷分别会引起什么类型的基本变形。

2. 将复杂的组合变形问题分解为若干个基本变形问题，针对每种基本变形单独计算其产生的应力或变形。

3. 根据应力或变形的性质进行合理的叠加，得到构件的最终应力状态。

组合变形的分类与特点

若暂不计横向剪力，轴向拉压与弯曲在任一点都只贡献同一轴向的正应力；弯曲与扭转则常在轴表面同时产生正应力和剪应力。这个分类基于所作简化，不意味着真实构件其他应力分量必然为零。

以下总结了常见组合变形的类型及其工程实例。

不要先认定一处“危险截面”再只算那里。应列出内力大、截面削弱、直径变化、键槽或连接附近等候选位置，在每处计算相关应力指标后比较。名义弯曲应力常在边缘较大，局部应力集中却可能改变控制点。

组合变形的分析步骤

解决组合变形问题的关键在于建立清晰的分析框架。一个完整的分析过程通常包含以下环节。

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拉伸（压缩）与弯曲的组合

偏心拉伸与压缩的概念

当轴向力的作用线与杆件的轴线不重合时，杆件将同时发生轴向拉伸（或压缩）和弯曲变形，这种情况称为偏心拉伸（或压缩）。偏心距是指外力作用线到杆件轴线的垂直距离，用e表示。偏心距的大小直接影响弯曲变形的程度，偏心距越大，弯曲效应越显著。

偏心可能来自荷载作用线本就不通过截面形心，也可能来自构件弯曲后的二阶效应、节点约束或制造偏差。细长柱不能把这些效应一律简化成一个固定的 $Pe$；吊钩等曲杆也可能需要曲梁理论，直梁公式只是概念入口。

偏心拉压的应力计算

以偏心压缩为例说明应力计算方法。设矩形截面杆件受到偏心压力P的作用，偏心距为e，截面宽度为b，高度为h。根据叠加原理，可以将偏心压力等效为通过截面形心的轴向压力P和作用于形心的弯矩M=P·e。

轴向压力P在横截面上产生均匀分布的正应力，其计算公式为：

$$\sigma_1 = -\frac{P}{A}$$

其中 $A = b \cdot h$ 为截面面积，负号表示压应力。

弯矩 $M$ 在横截面上产生线性分布的正应力，其计算公式为：

$$\sigma_2 = \frac{M \, y}{I} = \frac{P \, e \, y}{I}$$

其中 $I$ 为截面对中性轴的惯性矩，$y$ 为计算点到中性轴的距离。对于矩形截面，$I = \frac{b h^3}{12}$。

根据叠加原理，横截面上任意点的总正应力为：

$$\sigma = \sigma_1 + \sigma_2 = -\frac{P}{A} + \frac{P \, e \, y}{I}$$

对于矩形截面，当计算边缘纤维的应力时，$y = \pm \frac{h}{2}$，代入上式可得：

$$\sigma_{\max} = -\frac{P}{A} + \frac{P \, e \, (h/2)}{I} = -\frac{P}{b h} + \frac{6 P e}{b h^2}$$ $$\sigma_{\min} = -\frac{P}{A} - \frac{P \, e \, (h/2)}{I} = -\frac{P}{b h} - \frac{6 P e}{b h^2}$$

当 $e=0$ 时，两边缘应力都为 $-P/A$。为避免“最大”究竟按代数值还是绝对值理解不清，可把两边缘记成 $\sigma_+=-P/A+Pe(h/2)/I$ 与 ：偏心增大时，一侧变得不那么压，甚至转为受拉；另一侧压应力绝对值增大。

截面核心的概念

在偏心压缩构件中，存在一个特殊区域，当压力作用点位于该区域内时，整个横截面上都只出现压应力，不会产生拉应力。这个特殊区域称为截面核心，其边界称为截面核心边界。

对于矩形截面，当边缘纤维应力恰好为零时，可以确定截面核心的范围。令 $\sigma_{\max} = 0$，得到：

$$-\frac{P}{b h} + \frac{6 P e}{b h^2} = 0$$

解得偏心距的临界值为：

$$e = \frac{h}{6}$$

若偏心只沿高度方向，$|e_y|\leq h/6$ 时整个截面不出现拉应力。若同时存在两个方向的偏心，矩形截面核心为以形心为中心的菱形，其横、竖截距分别为 $b/6$、$h/6$，边界条件为 $6|e_x|/b+6|e_y|/h\leq1$。

下方给出了常见截面形状的截面核心尺寸：

偏心拉压的强度条件

在忽略横向剪力、局部应力和稳定效应的基本模型中，轴力与单向弯矩只叠加轴向正应力。拉压性能不同的材料应分别比较拉、压两侧；符号不能先取绝对值后再用同一个限值。

对于偏心拉伸，强度条件为：

$$\sigma_{\max} = \frac{P}{A} + \frac{P \, e \, y_{\max}}{I} \leq [\sigma]$$

对于偏心压缩，由于截面两侧的应力符号可能不同，需要分别校核：

$$|\sigma_{\max}| \leq [\sigma] \quad \text{和} \quad |\sigma_{\min}| \leq [\sigma]$$

在工程设计中，通常要求 $\sigma_{\max}$ 不超过材料的许用拉应力，压应力绝对值 $\max(0,-\sigma_{\min})$ 不超过材料的许用压应力。对于塑性材料，许用拉应力和许用压应力通常取相同的值。对于脆性材料，许用拉应力往往远小于许用压应力，设计时需特别注意拉应力的限制。

工程实例分析

下面把构件视为短而直的均质矩形杆，只检查一个截面的线弹性名义正应力。截面 $b=300\,\mathrm{mm}$、$h=400\,\mathrm{mm}$，承受压力 $P=200\,\mathrm{kN}$，偏心仅沿高度方向且 $e=50\,\mathrm{mm}$；题设比较限值为 。本算例不据此判断真实厂房钢柱，因为没有给出长度、支承、截面形式和稳定条件。

首先计算截面几何性质。截面面积为

$$A = b \cdot h = 300 \times 400 = 120000\,\text{mm}^2 = 1.2 \times 10^5\,\text{mm}^2$$

截面惯性矩为

$$I = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{300 \times 400^3}{12} = 1.6 \times 10^9\,\text{mm}^4$$

然后计算轴向压应力和弯曲正应力。轴向压应力为

$$\sigma_1 = -\frac{P}{A} = -\frac{200 \times 10^3}{1.2 \times 10^5} = -1.67\,\text{MPa}$$

弯矩为

$$M = P \cdot e = 200 \times 10^3 \times 50 = 1 \times 10^7\,\text{N} \cdot \text{mm}$$

边缘纤维处的弯曲正应力为

$$\sigma_2 = \pm \frac{M \cdot y}{I} = \pm \frac{1 \times 10^7 \times 200}{1.6 \times 10^9} = \pm 1.25\,\text{MPa}$$

根据叠加原理，两侧边缘应力分别为

$$\sigma_{\max} = -1.67 + 1.25 = -0.42\,\text{MPa}$$ $$\sigma_{\min} = -1.67 - 1.25 = -2.92\,\text{MPa}$$

两侧都受压，且较大的压应力绝对值为 $2.92\,\mathrm{MPa}$，小于题设限值。由 $e=50\,\mathrm{mm}<h/6\approx66.7\,\mathrm{mm}$ 也可预判全截面受压。这里只能说该截面的这一项名义应力比较通过，不能说整根柱已满足强度与稳定要求。

这个算例还给出一个快速比值：边缘弯曲应力与平均轴向应力之比为 $6e/h=0.75$。它直接反映偏心对矩形截面应力梯度的放大；至于调整截面、荷载路径还是支承体系，要结合稳定、空间和构造一起选择。

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扭转与弯曲的组合

传动轴的受力特点

传动轴是旋转机械中最常见的零件，用于传递动力和扭矩。在实际工作中，传动轴不仅要传递扭矩，还往往承受横向载荷的作用，因此既产生扭转变形又产生弯曲变形，属于典型的组合变形问题。

传动轴上的载荷主要来源于安装在轴上的齿轮、皮带轮或链轮等传动零件。这些零件一方面通过键连接向轴施加扭矩，使轴产生扭转；另一方面，传动件在啮合或传动过程中受到的切向力、径向力等横向载荷也会传递给轴，使轴产生弯曲。此外，齿轮啮合还可能产生轴向力，使轴承受轴向拉伸或压缩。

轴向力能否忽略，应由齿轮类型、联轴器、预紧、热伸长约束和推力轴承布置决定，与“轴直径较大”没有直接的充分关系。本节为突出弯扭组合，明确假定轴向力和横向剪应力对候选表面点的影响可忽略。

扭转与弯曲组合时的应力分析

在扭转与弯曲组合的情况下，横截面上既有正应力又有剪应力，属于二向应力状态或平面应力状态。为了进行强度计算,需要首先确定危险截面和危险点的位置。

候选截面应同时看合成弯矩、扭矩、直径、台阶、键槽和配合处。齿轮附近可能控制，也可能是邻近轴肩的小直径圆角控制，因此至少比较若干候选截面。

对均匀实心圆轴的名义应力，弯曲正应力绝对值在沿合成弯矩方向的两侧边缘最大，扭转剪应力则在整个圆周外缘等大。于是这两个弯曲边缘点是先检查的候选点；存在缺口时还要另作局部评估。

在弯曲最外缘，$|y|=\rho=r$，名义应力绝对值可写为：

正应力：

$$\sigma = \frac{M}{W_z} = \frac{32M}{\pi d^3}$$

剪应力：

$$\tau = \frac{T}{W_p} = \frac{16T}{\pi d^3}$$

其中 $W_z$ 为抗弯截面模量，$W_p$ 为抗扭截面模量，$d$ 为轴的直径。

由于截面上同时存在正应力和剪应力，需要运用强度理论来建立强度条件。对于塑性材料制成的传动轴，通常采用第三强度理论或第四强度理论。

强度理论的应用

对“一个正应力 $\sigma$ 与一个剪应力 $\tau$”构成的平面应力状态，Tresca 相当应力为：

$$\sigma_{r3} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2}$$

对于圆形截面传动轴，代入应力公式得：

$$\sigma_{r3} = \sqrt{\left(\frac{32M}{\pi d^3}\right)^2 + 4\left(\frac{16T}{\pi d^3}\right)^2} = \frac{32}{\pi d^3} \sqrt{M^2 + T^2}$$

可为这个特定公式定义相当弯矩 $M_e^{(T)}=\sqrt{M^2+T^2}$，则：

$$\sigma_{r3} = \frac{M_e}{W_z} = \frac{32M_e}{\pi d^3}$$

第三强度理论的强度条件为：

$$\sigma_{r3} \leq [\sigma]$$

同一平面应力状态的 von Mises 相当应力为：

$$\sigma_{r4} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$$

对于圆形截面传动轴，代入应力公式得：

$$\sigma_{r4} = \sqrt{\left(\frac{32M}{\pi d^3}\right)^2 + 3\left(\frac{16T}{\pi d^3}\right)^2} = \frac{32}{\pi d^3} \sqrt{M^2 + 0.75T^2}$$

这里相应定义 $M_e^{(M)}=\sqrt{M^2+0.75T^2}$，则：

$$\sigma_{r4} = \frac{M_e}{W_z} = \frac{32M_e}{\pi d^3}$$

第四强度理论的强度条件为：

$$\sigma_{r4} \leq [\sigma]$$

传动轴的强度计算步骤

传动轴的强度计算是一个系统的过程，通常按照以下步骤进行。

传动轴工程算例

下面做均匀实心圆轴的课堂初步尺寸计算。齿轮位于两简支的跨中，$F_t=4000\,\mathrm N$、$F_r=1500\,\mathrm N$ 分别作用在两个互相垂直的平面，支座间距 $L=800\mathrm{m}$。分度圆直径 ，故 ，与题设扭矩一致。题设给 von Mises 相当应力比较限值 ，暂不计冲击、疲劳与应力集中。

首先分析受力。切向力 $F_t$ 在竖直平面内产生弯矩，径向力 $F_r$ 在水平平面内产生弯矩。由于齿轮位于跨中，两个平面内的最大弯矩都发生在齿轮处。

竖直平面内的最大弯矩：

$$M_v = F_t \cdot \frac{L}{4} = 4000 \times \frac{800}{4} = 800{,}000\,\mathrm{N\cdot mm} = 800\,\mathrm{N\cdot m}$$

水平平面内的最大弯矩：

$$M_h = F_r \cdot \frac{L}{4} = 1500 \times \frac{800}{4} = 300{,}000\,\mathrm{N\cdot mm} = 300\,\mathrm{N\cdot m}$$

合成弯矩：

$$M = \sqrt{M_v^2 + M_h^2} = \sqrt{800^2 + 300^2} = \sqrt{640000 + 90000} = \sqrt{730000} \approx 854\,\mathrm{N\cdot m}$$

扭矩：

$$T = 800\,\mathrm{N\cdot m}$$

采用第四强度理论计算相当弯矩：

$$M_e = \sqrt{M^2 + 0.75T^2} = \sqrt{854^2 + 0.75 \times 800^2} = \sqrt{729316 + 480000} = \sqrt{1209316} \approx 1100\,\mathrm{N\cdot m}$$

根据强度条件 $\sigma_{r4} = \frac{32M_e}{\pi d^3} \leq [\sigma]$，可得：

$$d^3 \geq \frac{32M_e}{\pi [\sigma]} = \frac{32\times1100\times10^3}{\pi\times60} = 187380\,\mathrm{mm}^3$$ $$d \geq \sqrt[3]{187380} \approx 57.2\,\mathrm{mm}$$

初算得到 $d\geq57.2\,\mathrm{mm}$。为演示复算，暂选候选直径 $d=65\,\mathrm{mm}$；不能只以“考虑键槽”为由任意放大，因为键槽影响应由具体几何、载荷性质和相应方法量化。候选轴径的名义相当应力为：

$$\sigma_{r4} = \frac{32\times1100\times10^3}{\pi\times65^3} = 40.8\,\mathrm{MPa} < [\sigma] = 60\,\mathrm{MPa}$$

因此 $65\,\mathrm{mm}$ 在给定模型下通过名义相当应力比较。最终尺寸还要复核两方向弯矩图、轴肩与键槽应力集中、疲劳、刚度、临界转速、轴承与配合尺寸。

上方演示帮助观察两个平面弯矩如何合成为随轴向变化的弯矩矢量。它适合寻找候选截面，但没有呈现直径变化、键槽、圆角和疲劳，因此不能单独完成轴的合理性校核。

提高传动轴强度的措施

常见的提高传动轴强度的方法包括以下两大类：

1. 结构优化与尺寸调整

   • 调整直径与过渡：增大直径可显著降低名义弯扭应力，但会增加质量、转动惯量、空间与材料成本；合理的轴肩圆角和直径过渡还能减小局部应力集中。
   • 优化传动件布置：把齿轮或皮带轮靠近支承，可缩短横向力的力臂；是否改变支座间距是另一项系统决策。布置还要兼顾装配、轴承载荷和维护。
   • 比较空心轴方案：外径固定时，开孔必然降低绝对的抗弯、抗扭能力，同时减轻质量；在等质量或允许增大外径的条件下，空心轴可能具有更高的材料利用效率。先说清比较条件，才谈“损失很小”。

2. 材料与表面性能提升

   • 材料与热处理：材料和热处理状态会影响屈服、韧性、淬透性与疲劳性能；强度提高通常不会同比提高弹性模量，刚度仍需另算。
   • 表面处理与制造质量：渗碳、感应淬火、滚压或喷丸等方法各有适用材料、有效层和残余应力特征，可能改善耐磨或疲劳表现，但不能代替心部强度、缺口与质量控制。

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叠加之前先确认能否叠加

组合变形问题提醒我们：实际构件往往同时受轴力、弯矩、剪力和扭矩影响。把各单独作用下的应力或变形相加，是一种依赖条件的线性叠加方法。它通常要求材料与几何响应近似线性、变形较小、边界条件不因加载而改变，并且各荷载效应能够在同一坐标和符号体系下描述。

建立组合问题的核对清单

1. 列出所有内力分量：轴力、两个方向的弯矩、剪力、扭矩分别是否存在？
2. 统一坐标与正号：截面坐标轴、拉压正号和弯矩方向必须一致。
3. 分别求解再合成：先理解每一项在哪些位置产生拉、压或剪，再进行代数相加。
4. 寻找控制点：最大组合应力常出现在截面边缘或几何突变附近，但要基于实际分布判断。
5. 检查适用范围：若出现明显塑性、接触、屈曲、大位移或材料非线性，简单叠加可能不再可靠。

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总结

组合变形的问题，难点往往不在于“推公式”，而在于能否把所有影响因素统一到同一个对象中：必须明确同一候选截面、同一材料点、同一坐标与符号系统，以及处于同一加载阶段进行分析。这样，才便于各类应力或变形的线性叠加和判断临界工况。

对于实际计算，偏心受力可以分解为形心轴力与作用于截面的力偶，这样便于分开计算和理解；而对于既受弯矩又受扭矩的轴，通常需将两个方向的弯矩先按矢量法叠加，再将表面上各点的正应力和扭转剪应力合成后，与材料的屈服准则进行对比，从而判断危险断面和校核安全性。