应力状态分析

在一根轴表面的同一点上，通常既可能受到由于弯矩引起的纵向正应力，也可能受到扭矩所引起的剪应力。如果你想知道“这里的应力是多少”，其实还需要补充一个信息——你关心的是沿哪个方向的截面。因为在同一个点上，随着截面方向的不同，正应力和剪应力分量的大小与方向都会发生变化，但它们都是描述这一点整体应力状态的不同“视角”。

应力状态是指在材料内部某一点，任意取向的截面上所表现出来的全部应力分量。也就是说，通过这一点可以假想无数个方向的截面，在每一个截面上都能分解出正应力和剪应力。各个方向的应力分量虽各不相同，但它们共同决定了材料该点的整体力学环境。例如，在结构构件上，轴向拉伸、弯矩和扭矩会共同作用于材料的某个点，使其同时承受不同性质的应力。这也是力学分析中必须准确定义截面方向和对应应力分量的原因——只有明确方向，才能准确讨论应力的实际大小和性质。

---

应力状态的概念

一点处的应力状态

当我们在构件中任意取一点进行分析时，会发现通过该点可以截取无数个不同方位的截面，而每个截面上的应力一般都不相同。通过该点所有截面上的应力情况，就称为这一点的应力状态。理解应力状态的关键在于认识到，构件内部任意一点的应力分布是一个完整的体系，而不是孤立的某个数值。

例如，一根柱同时承受轴力、弯矩和剪力。先由构件分析得到某一点在既定坐标系下的应力分量，再改变截面方向考察该点，分量会重新组合。应力状态描述的是材料点，而轴力、弯矩和剪力描述的是整个截面的内力合量。

主平面与主应力

对通常的对称应力张量，可以找到三组彼此正交的主方向；法向沿这些方向的截面上剪应力为零，相应正应力称为主应力。常按代数值写成 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$。主应力是同一应力张量的特征值，不是额外产生的三股力。

根据主应力的取值情况，应力状态可以分为以下几种类型：

• 单向应力状态：只有一个主应力不为零，其余均为零。
  例：轴向拉伸或压缩的杆件。

• 二向应力状态：有两个主应力不为零，另一个为零。
  例：薄壁圆筒在内压作用下的筒壁。

• 三向应力状态：三个主应力均不为零。
  例：深埋地下的厚壁容器。

平面应力状态的特点

当某一坐标方向的正应力及两个相关剪应力都可忽略时，可按平面应力处理。薄板远离边缘、孔洞和集中载荷处，在主要承受板面内荷载时常可采用这一近似。它是三维状态的简化，不等于物体或外力真的只有二维。

在梁的自由表面，表面法向截面上的牵引为零；梁内部或靠近局部荷载处则不能仅凭“薄”或“表面”二字忽略某些分量。采用平面应力前，应先说明坐标方向、所考察位置和被忽略分量的数量级。

---

平面应力状态分析

平面应力状态的数学描述

在平面应力状态下，我们通常选取一个与第三主应力方向垂直的平面进行分析。在这个平面内建立直角坐标系，设某一微元体在x、y方向上的正应力分别为σₓ和σᵧ，剪应力为τₓᵧ。根据材料力学的基本假设，剪应力互等定理告诉我们τₓᵧ = τᵧₓ，因此平面应力状态可以用三个独立的应力分量来完整描述。

角度必须说明是“截面本身的角度”还是“截面法线的角度”。下式约定截面外法线从 $x$ 轴逆时针转过 $\alpha$，拉应力为正，并采用与图示一致的正剪应力约定；换一种约定，剪应力项的符号会相应改变。

斜截面上的应力计算

在上述约定下，法线方向为 $\alpha$ 的截面上，正应力与剪应力为：

$$σₐ = \frac{σₓ + σᵧ}{2} + \frac{σₓ - σᵧ}{2}\cos(2α) + τₓᵧ \sin(2α)$$

剪应力的计算公式为：

$$τₐ = -\frac{σₓ - σᵧ}{2}\sin(2α) + τₓᵧ \cos(2α)$$

式中出现 $2\alpha$，所以法线转过 $180^\circ$ 后回到同一几何截面，正应力重复而剪应力方向随所选截面正面一致处理。代入 $\alpha=0$ 应恢复 $\sigma_x,\tau_{xy}$，这是最简单的符号自检。

主应力的计算方法

要确定主应力的大小和方向，需要找到使剪应力为零的截面。令τₐ = 0，可以得到主平面与x轴的夹角α₀。将这个角度代入正应力公式，就能求出主应力的数值。主应力的计算公式为：

$$σ₁,₂ = \frac{σₓ + σᵧ}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{σₓ - σᵧ}{2}\right)^2 + τ²ₓᵧ}$$

这里 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 是两个面内主应力。主平面方向可由下式确定：

$$\tan(2α₀) = \frac{2τₓᵧ}{σₓ - σᵧ}$$

只用反正切可能丢失象限，计算时宜用能同时读取分子、分母符号的 $\operatorname{atan2}(2\tau_{xy},\sigma_x-\sigma_y)$，再取相差 的两组主方向。

以 $\sigma_x=60\,\mathrm{MPa}$、$\sigma_y=20\,\mathrm{MPa}$、$$ 为例。平均正应力为 ，莫尔圆半径为：

$$\sqrt{\left(\frac{60-20}{2}\right)^2 + 30^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} \approx 36.06\ \text{MPa}$$

因此主应力为：

$$σ₁ = 40 + 36.06 = 76.06\ \text{MPa} \\ σ₂ = 40 - 36.06 = 3.94\ \text{MPa}$$

面内正应力达到极值时，面内剪应力为零；面内剪应力绝对值达到最大时，正应力等于两个面内主应力的平均值。若要找三维意义下的绝对最大剪应力，还必须把第三主应力一起排序。

最大剪应力

从面内主平面的法线转过 $45^\circ$，可得到面内剪应力的极值：

$$\tau_{\max,\mathrm{in\text{-}plane}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

平面应力下第三主应力为零，因此三维绝对最大剪应力应把 $\{\sigma_1,\sigma_2,0\}$ 排序后，用最大值与最小值之差的一半计算。最大剪应力理论可用于某些延性金属的屈服判断，但不表示所有塑性材料的“破坏”只由剪应力控制；铸铁受压断裂也不能仅凭裂面角度归因于这一公式。

---

应力莫尔圆

莫尔圆的基本原理

莫尔圆把应力变换公式整理成几何图形。它尤其适合检查平均正应力、主应力差和剪应力极值，也能暴露符号或角度错误；精确数值计算仍应与解析式互相核对。

莫尔圆的建立基于应力转换公式的几何意义。在以正应力σ为横坐标、剪应力τ为纵坐标的平面内，平面应力状态下任意截面上的应力(σₐ, τₐ)对应平面上的一个点。当截面方位角α在0°到180°之间变化时，这些点的轨迹恰好形成一个圆，这就是莫尔圆。

莫尔圆的绘制步骤

下方交互展示三个主应力对应的三组莫尔圆。可调整 $\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$，观察圆心与半径如何变化。请把它当作几何关系演示，不把界面中的风险标签当成材料或结构安全结论。

• 主应力显示：面板动态显示当前主应力 σ₁、σ₂、σ₃ 以及最大剪应力 τₘₐₓ＝(σ₁-σ₃)/2。
• 三环结构：最外层大圆对应 σ₁ 与 σ₃ 的极差，代表整体应力包络区；内部两个次级圆由 σ₁-σ₂、σ₂-σ₃ 构成，反映中间主应力 σ₂ 在结构中的调节作用。
• 组合调节意义：$\sigma_1-\sigma_3$ 增大时，外圆半径和绝对最大剪应力增大；三个主应力接近时，偏应力减小而平均应力仍可能很大。
• 安全边界：静水应力下 Tresca 与 von Mises 等效应力可为零，但多孔、脆性或压力敏感材料仍可能受高静水压力影响。没有材料参数和失效准则，仅凭莫尔圆不能宣布“安全”。

你可以通过滑动条自由设定主应力大小，观察三维应力场的莫尔圆变化，以及主应力主控下最大剪应力的实时响应规律。

利用莫尔圆求解应力

莫尔圆能读取任意斜截面上的应力，但转动方向取决于剪应力纵轴和实体角度的符号约定。可靠做法是先在圆上标出互相垂直的 $x$ 面与 $y$ 面，再按本章约定转过 $2\alpha$；用 $\alpha=0$ 和 $90^\circ$ 检查是否回到正确端点。

实体角 $\alpha$ 在圆上对应圆心角 $2\alpha$，源于应力变换式中的二倍角。手工作图适合建立直觉，方向角和数值仍可由解析公式复核。

莫尔圆的工程应用价值

莫尔圆可以整理压力容器壁、梁腹板或受弯扭轴表面的已知应力状态。它给出的是某个材料点的应力变换与极值，不负责寻找全结构哪个点最危险，也不能单独决定裂纹方向或配筋方案。

例如轴同时承受弯矩与扭矩时，可先在表面候选点求正应力和剪应力，再由莫尔圆得到主应力与面内剪应力极值，最后依据材料和工况选取强度准则。这里每一步回答的问题都不同。

---

强度理论简介

强度理论的必要性

在简单受力情况下，如轴向拉伸或压缩，材料的强度条件很容易建立：只需让工作应力不超过材料的许用应力即可。但在复杂应力状态下，材料受到多个主应力的共同作用，如何判断材料是否会发生破坏？这就需要建立适用于复杂应力状态的强度条件，这正是强度理论要解决的核心问题。

强度理论用某个标量指标概括多轴应力状态，再与单轴试验或材料模型的限值比较。每个准则都省略了一部分真实机理，选择时要说明材料延性、压力敏感性、载荷性质与目标失效模式。

四种常用强度理论

工程中最常用的有四种强度理论，每种理论都有其特定的适用范围和物理意义。

第一强度理论通常称最大正应力理论，以主应力的极值与相应单轴拉、压限值比较。对拉压强度明显不同的材料，拉侧与压侧必须分别处理；混凝土、岩石等压力敏感材料的真实破坏包络通常不能由 $\sigma_1\leq[\sigma]$ 一式完整描述。

第二强度理论是最大正应变理论。在线性各向同性弹性假定下，其一个表达为 $\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)$。它是经典理论体系的一部分，但适用性有限，不应仅凭“脆性材料”标签直接采用。

第三强度理论即 Tresca 最大剪应力屈服准则。若 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，相当应力为 $\sigma_1-\sigma_3$。它常用于延性金属的初始屈服判断，结果相对 von Mises 准则更保守的程度随应力路径而变。

第四强度理论即 von Mises 畸变能屈服准则，其相当应力为 $\sqrt{[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]/2}$。它常用于近似各向同性延性金属的屈服分析；各向异性、压力敏感、损伤或循环塑性问题可能需要其他模型。

相当应力的概念

为了将复杂应力状态下的强度问题与简单拉伸联系起来，引入了相当应力（等效应力）的概念。相当应力是指与复杂应力状态等效的单向拉伸应力，用σᵣ表示。不同的强度理论对应不同的相当应力表达式。建立强度条件时，只需让相当应力不超过许用应力即可，即σᵣ ≤ [σ]。

根据第三强度理论，相当应力 $\sigma_r^{(3)} = \sigma_1 - \sigma_3$；根据第四强度理论，相当应力

$$\sigma_r^{(4)} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}}$$

在平面应力状态下，两个面内主应力外还要加入零主应力。Tresca 相当应力最稳妥的写法是

$$\sigma_r^{(3)}=\max\left(|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2|,|\sigma_1|\right)$$

其中 $\sigma_1,\sigma_2$ 此处指两个面内主应力，不预先假定它们与零的排序。von Mises 相当应力简化为：

$$\sigma_r^{(4)} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2}$$

强度理论的选择原则

延性金属的初始屈服常用 Tresca 或 von Mises；拉压性能不对称、压力敏感或明显各向异性的材料则要采用能反映相应特征的准则。材料名称本身不足以完成选择，还要看温度、制造状态、静载或循环载荷，以及所依据标准规定的计算方法。

工程实例分析

下面用一个理想薄壁圆筒表面点演示准则差异。题设直接给出三个主应力 $120\,\mathrm{MPa}$、$60\,\mathrm{MPa}$、$0$，并给出与本算例匹配的比较限值 $160\,\mathrm{MPa}$。这里不把该限值当作某个钢号或所有压力容器的通用设计值。

Tresca 相当应力为 $120-0=120\,\mathrm{MPa}$；von Mises 相当应力为 $\sqrt{120^2-120\times60+60^2}\approx103.9\,\mathrm{MPa}$。二者在题设比较方式下都小于 。von Mises 数值较小只说明两个准则的屈服面不同，不能据此说实际安全裕度必然更大；工程结论还取决于各准则匹配的限值、壁厚应力、焊接与开孔、压力组合和制造检验。

---

不同截面上的应力分量

在应力状态分析中，核心问题在于：同一材料点上，若取不同方向的微小截面，截面上可分解得到不同的正应力和剪应力分量。这意味着，应力本质上是与截面方向密切相关的二阶张量，而不是一个简单数字。

通过改变观察截面的取向，我们虽然并没有改变外部加载方式，但却改变了分析内部力学状态的坐标系描述方法。研究不同取向下的应力变换关系，有助于寻找材料受力的极端情况。

在这一背景下，主应力概念用于确定某些特殊面（主平面）上仅存在正应力、无剪应力；最大剪应力则提示最易发生剪切滑移的方向。莫尔圆则作为解析和图解应力变换、极值应力的有力工具，帮助我们系统梳理不同方向上的应力分布。需要特别指出，这些分析方法只是描述和归纳已有应力状态的方式，实际“新”的力并没有凭空产生。

画微元体前先统一约定

符号约定必须在题目开头写清：正面如何定义、正应力拉压取何号、剪应力正向如何规定。不同教材或软件可能采用不同约定；最重要的是在一个推导或计算中保持前后一致，并用平衡条件检查对面剪应力是否成对出现。

让微元转到“最安静”的方向

取本内容算例 $\sigma_x=60\,\mathrm{MPa}$、$\sigma_y=20\,\mathrm{MPa}$、$$。先在微元上明确正面和正剪应力，再用 求一组主方向；把微元真的转到该方向，验证剪应力接近零。随后再转 ，比较面内最大剪应力与三维绝对最大剪应力。最后给三个正应力分量 同时加上 ，保持剪应力不变，即叠加静水拉应力，观察主方向、莫尔圆半径和 von Mises 相当应力中哪些量改变、哪些不变。