扭转

用螺丝刀拧螺钉时，手柄转过的角度和手上感到的阻力，就是认识扭转的两个入口。传动轴、钻杆和某些紧固件都要把绕自身轴线的力矩传下去；构件能否传得动，既取决于应力是否可接受，也取决于转角是否影响使用。

扭转变形的最大特点是构件横截面之间发生相对转动，与拉伸或压缩形变截面平行移动不同。以圆柱钢棒为例，当在两端施加相反力偶时，棒的每个横截面会绕轴线发生转动，相邻截面产生相对角位移。可以通过在橡皮棒表面画一条纵向直线来观察：施加扭矩后，这条直线变为螺旋线，说明纵向纤维倾斜、材料内部产生了剪切变形——这是构件抵抗外力矩的根源。

机械传动轴常用圆截面，因为圆轴的弹性扭转规律清楚，也便于旋转加工。空心轴能把更多材料布置在离轴线较远的位置，但能否减重且满足强度、刚度、疲劳和制造要求，要通过尺寸比较判断，不能只凭“空心”二字下结论。

分析扭转问题时，先截开轴并用平衡求截面扭矩 $T$。正负号可以按右手定则统一规定，但同一截面的两侧法向相反，画图时必须标清观察方向。扭矩图能找出 $|T|$ 较大的区段；危险位置还受直径、孔洞、键槽、台阶和材料影响，不一定恰好就是扭矩最大处。

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圆轴扭转时的应力

圆形截面轴在扭转时，横截面上的应力分布具有明确的规律性。掌握这些规律，才能准确计算构件的强度和刚度。

平面假设与变形几何关系

在均匀圆轴的小变形圣维南扭转模型中，横截面可近似保持为平面，截面内的半径仍为直线，截面整体绕轴线转动。这个几何性质是圆截面的特殊优势，不能直接搬到矩形、槽形或其他非圆截面。

基于平面假设，可以推导出横截面上各点的剪应变与该点到圆心距离成正比。轴心处的剪应变为零，外表面处的剪应变最大。这种线性分布规律是理解扭转应力分布的基础。

剪应力的分布规律

根据材料的剪切胡克定律，剪应力与剪应变成正比。由于剪应变从轴心向外表面线性增加，剪应力也呈现同样的分布规律——轴心处剪应力为零，沿半径方向线性增大，外表面处达到最大值。

在上述线弹性圆轴模型中，这种分布带来三点直观认识：

• 圆心处的剪应力为零，越靠近外缘，剪应力越大；
• 同样一小块材料，布置得离轴线更远，对极惯性矩的贡献更大；
• 因而比较实心轴与空心轴时，要同时约定外径、面积或质量等条件，再比较 $I_p$、$W_p$ 与重量。

扭转剪应力公式

通过力矩平衡条件，可以建立截面上剪应力与扭矩的定量关系。对于圆形截面，任意点处的剪应力计算公式为 $\tau = \dfrac{T\rho}{I_p}$，其中 $T$ 为该截面上的扭矩，$\rho$ 为该点到圆心的距离， 为截面的极惯性矩。

极惯性矩 $I_p=\int_A\rho^2\,\mathrm dA$ 是截面几何量；在圆轴弹性扭转公式中，它与材料的 $G$ 一起形成抗扭刚度 $$。对于半径为 的实心圆截面，

$$I_p = \frac{\pi R^4}{2}$$

对于外半径 $R$、内半径 $r$ 的空心圆截面，

$$I_p = \frac{\pi (R^4 - r^4)}{2}$$

对同一外半径处的比较，$I_p$ 增大通常会降低给定扭矩产生的剪应力和单位长度转角。但尺寸变化也会改变外缘半径，因此强度比较最好直接看 $W_p=I_p/R$，刚度比较看 $$。

外表面处 $\rho = R$，此处剪应力达到最大值：

$$\tau_{\mathrm{max}} = \frac{T R}{I_p}$$

引入抗扭截面模量 $W_p = \dfrac{I_p}{R}$，可将最大剪应力公式简化为：

$$\tau_{\mathrm{max}} = \frac{T}{W_p}$$

这个公式在工程设计中应用最为广泛。

对于实心圆轴，

$$W_p = \frac{\pi R^3}{2} = \frac{\pi d^3}{16}$$

其中 $d$ 为直径；对于空心圆轴，

$$W_p = \frac{\pi (R^4 - r^4)}{2R} = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{16D}$$

其中 $D$ 为外径，$d$ 为内径。这些公式是扭转强度计算的基础。

不同截面形状的比较

非圆截面扭转时通常会发生翘曲，剪应力也不再只由到形心的距离决定，因此不能用极惯性矩把圆轴公式照搬过去。矩形、开口薄壁和闭口薄壁截面各有相应模型；比较“谁更抗扭”必须先约定面积、外廓、壁厚和翘曲约束等条件。

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圆轴扭转时的变形

扭转变形的大小直接影响机械设备的工作精度。精密机床的主轴、测量仪器的传动轴等，对扭转变形都有严格的限制要求。

扭转角的概念

扭转角是衡量扭转变形的基本物理量。当轴受扭时，任意两个横截面会发生相对转动，这个相对转角就称为扭转角，用符号 $\varphi$ 表示，单位为弧度（rad）。扭转角的大小取决于扭矩、轴的长度、材料的剪切模量以及截面的几何特性。

对于受恒定扭矩 $T$ 作用的等截面圆轴，两个相距 $l$ 的截面之间的扭转角计算公式为：

$$\varphi = \frac{T l}{G I_p}$$

其中 $G$ 为材料的剪切模量，$I_p$ 为截面极惯性矩。这个公式表明，扭转角与扭矩和长度成正比，与截面极惯性矩和剪切模量成反比。

课堂估算中，钢的 $G$ 常取约 $80\,\text{GPa}$，铝合金约取 $26\,\text{GPa}$，具体值随材料和温度而变。$G$ 越大，在其余条件相同时转角越小；实际选材还要结合密度、强度、疲劳、阻尼、制造与成本，不能只凭剪切模量决定。

单位长度扭转角

工程中常用单位长度扭转角 $\theta$ 来描述轴的扭转程度。单位长度扭转角定义为单位长度上的扭转角，即

$$\theta = \frac{\varphi}{l} = \frac{T}{G I_p}$$

单位为 $\text{rad}/\text{m}$。在均匀轴段内它不随所选段长改变，但会随该段的扭矩、材料和截面改变。

对于承受多段不同扭矩的阶梯轴，总扭转角等于各段扭转角之和：

$$\varphi = \sum \frac{T_i l_i}{G I_{pi}}$$

计算时需要分段考虑，每段的扭矩、长度和截面尺寸可能都不相同。这种叠加计算方法在实际工程中经常遇到。

变形的测量与计算

轴表面的应变可用按特定方向布置的应变片或应变花测量，并在标定和模型成立时反算扭矩；两截面的相对转角还可用角度传感器测量。应变、扭矩和总转角之间需要材料参数与几何参数连接，不能由单个读数无条件互换。

短轴段的转角可能很小，但多个轴段的有符号转角会累积。深井钻杆或长传动链还可能出现扭转振动与动态放大，此时静力公式只是第一步。

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圆轴的强度与刚度条件

设计传动轴等扭转构件时，必须同时满足强度条件和刚度条件。强度条件保证构件不发生破坏，刚度条件保证构件的变形在允许范围内。

强度条件

强度条件要求轴横截面上的最大剪应力不超过材料的许用剪应力，即：

$$\tau_\text{max} = \frac{T}{W_p} \leq [\tau]$$

其中 $[\tau]$ 是本章许用应力法中的给定限值。它不能脱离材料状态、载荷性质、失效准则和采用的设计方法，仅凭材料类别套一个固定范围。

根据强度条件，可以进行三类强度计算。强度校核是已知轴径和扭矩，验算最大剪应力是否超过许用值。截面设计是已知扭矩和许用应力，计算所需的轴径。许用载荷计算是已知轴径和许用应力，确定轴能承受的最大扭矩。

刚度条件

刚度条件要求轴单位长度的扭转角不超过许用值，即：

$$\theta = \frac{T}{G I_p} \leq [\theta]$$

其中 $[\theta]$ 为许用单位长度扭转角，根据设备对变形的要求确定。

允许转角应由设备功能、控制精度、传动链相位关系和相应技术要求确定。某台设备可接受的数值不应直接移作另一台设备的通用限值。扭转柔度过大可能影响传动响应、齿轮相位或动态性能，具体后果要结合系统分析。

某些情况下，刚度条件比强度条件更严格。特别是较长、较细的轴，可能应力满足而转角不满足。可考虑调整截面尺寸与形式、缩短有效传扭长度、改变布置或选用合适材料，方案仍要同时复核质量、强度和动力性能。

综合设计考虑

实际设计中，还需要考虑应力集中、疲劳强度等因素。轴上的键槽、过渡圆角、轴肩等部位都会产生应力集中，使局部应力远高于名义应力。疲劳破坏是传动轴最常见的失效形式，设计时必须进行疲劳强度校核。

增大外径对 $W_p$ 和 $I_p$ 都很有效，却会影响质量、空间和成本。空心化能提高单位质量的材料布置效率，但若外径保持不变，去除材料仍会降低绝对的 $W_p$ 和 $$。高强材料或表面强化可能改善强度与疲劳性能，却通常不会按同样幅度提高弹性剪切模量，因此不能用“强度提高”代替刚度复核。

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传动轴的设计

传动轴是工程中最典型、最常见的扭转构件之一，其结构形式多样、在机械设备中应用极为广泛。传动轴的设计过程不仅要求综合考虑扭转理论，还需要结合实际工况、材料特性以及制造工艺等多方面因素。

通过实际传动轴的设计，我们可以将前述的扭矩计算、剪应力分析、刚度验算等理论知识有机结合，全面体现扭转理论在工程中的实际应用。同时，传动轴的设计往往还涉及安全裕度、疲劳寿命、结构尺寸优化等内容，是理论与实践深度结合的典型例子。

功率与转速的关系

电动机或发动机的输出功率 $P$ 通过传动轴传递给工作机械。功率、扭矩和转速之间存在固定的关系：

$$P = T\omega = \frac{2\pi n T}{60}$$

其中 $P$ 的单位为瓦特（W），$T$ 的单位为牛·米（N·m），$\omega$ 为角速度（rad/s），$n$ 为转速（r/min）。

若 $P$ 以千瓦、$n$ 以转每分、$T$ 以牛·米计，单位换算后可写成：

$$T = \frac{9549 P}{n}$$

这个常数只服务于上述单位组合。与其死记 $9549$，不如先写 $P=T\omega$，再检查单位。

例如，一台 75 kW 的电动机，转速为 1450 r/min，传动轴需要传递的扭矩为

$$T = \frac{9549 \times 75}{1450} \approx 494\;\mathrm{N \cdot m}$$

知道了扭矩，就可以进行强度和刚度计算，确定轴的直径。

传动轴设计步骤

设计传动轴的基本步骤包括：

首先确定功率、转速及启动、制动、冲击和循环变化，得到能代表工况的设计扭矩；再结合强度、刚度、疲劳、热处理、制造与环境选材。45钢、40Cr只是常见候选材料，不能用“普通”或“高载”两个标签直接完成选材。

进行强度计算时，先由功率和转速算出扭矩，再根据强度条件 $\tau_\mathrm{max} = \dfrac{T}{W_p} \leq [\tau]$ 求出所需的抗扭截面模量，最终确定轴径。对于实心圆轴，，可得：

$$d \geq \sqrt[3]{\dfrac{16 T}{\pi [\tau]}}$$

刚度计算用于核对单位长度转角或两关键截面间的总转角。若不满足，需要回到截面、有效长度、材料和系统布置重新权衡；弯曲问题中的“悬伸长度”与这里的传扭长度不是同一个概念。

实际案例分析

下面做一次课堂初步尺寸估算。设稳定工况下传递功率为 $55\,\mathrm{kW}$、转速为 $960\,\mathrm{r/min}$，均匀实心轴段长 $1.5\,\mathrm m$；题设给定 $[\tau]=70\,\mathrm{MPa}$、$$，并取 。这些给定值只用于本算例，暂未计入冲击、键槽和疲劳。

首先计算扭矩：

$$T = \dfrac{9549 \times 55}{960} \approx 547\ \mathrm{N \cdot m} = 547000\ \mathrm{N \cdot mm}$$

按强度条件设计：

$$W_p \geq \dfrac{T}{[\tau]} = \dfrac{547000}{70} \approx 7814\ \mathrm{mm}^3$$

由 $W_p = \dfrac{\pi d^3}{16}$ 得：

$$d \geq \sqrt[3]{\dfrac{16 \times 7814}{\pi}} \approx 34.1\ \mathrm{mm}$$

为继续校核，暂取 $d=55\,\mathrm{mm}$；实际采用的标准尺寸还要结合轴承、联轴器和加工系列确定。

校核刚度：

$$I_p = \dfrac{\pi d^4}{32} = \dfrac{\pi \times 55^4}{32} \approx 898000\ \mathrm{mm}^4$$ $$\theta = \dfrac{T}{G I_p} = \dfrac{547000}{80000 \times 898000}\times1000 \approx 0.00761\ \mathrm{rad}/\mathrm{m} = 0.436^\circ/\mathrm{m} < [\theta] = 1.0^\circ/\mathrm{m}$$

式中的 $1000$ 把每毫米转角换算为每米转角。按题设限值，刚度满足要求。

因此，$55\,\mathrm{mm}$ 只通过了本算例的名义扭转强度与刚度校核，还不能称为最终轴径。下一步应结合设计扭矩、应力集中、疲劳、弯矩、连接、临界转速和构造尺寸复核。

优化设计思路

优化不是默认把初算轴径减小，而是在约束明确后比较方案。变截面可让尺寸随内力和构造需要变化，空心轴可改善单位质量效率；台阶和孔洞同时会带来应力集中、加工与连接问题，必须一起计入。

高速轴还要分析转子—支承系统的临界转速、动平衡与稳定性。临界转速不是把转速与一个不分振型的“轴固有频率”直接比较；轴承刚度、盘件质量、陀螺效应和工作转速范围都会参与判断。

设计中的常见问题

初学者在进行传动轴设计时，容易出现一些典型错误。有的只计算强度不验算刚度，导致轴在使用中变形过大。有的忽略应力集中的影响，在键槽等部位发生疲劳断裂。有的选材不当，要么过于保守造成浪费，要么强度不足导致失效。

相同稳定功率下，转速越低，平均扭矩越大；但轴径还受载荷波动、弯扭组合、疲劳和构造限制，不能由平均扭矩单独决定。高速方案即使平均扭矩较小，也可能受临界转速、动平衡和热问题控制。

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先辨截面与边界

进行扭转分析时，第一步必须辨认并确认构件的截面形式与边界条件，确保使用的理论模型适用。不同类型的轴和构件在纯扭转下的行为存在显著差异：

• 圆截面实心轴：受力和变形规律最为清晰，剪应力沿半径线性分布，教材常用的公式大多适用于此情形。
• 非圆截面（如矩形、椭圆等）：扭转时不仅剪应力分布不均，还可能出现截面翘曲、局部变形，简单的圆轴公式已不再适用。
• 薄壁截面（开口或闭口截面）：如槽钢、方管等，可能发生翘曲或内力复杂分布，常需采用不同理论分析。
• 存在复杂连接、切口或孔洞的构件：应力集中显著，局部变形显著上升，标准公式需慎用。

因此，在套用教材公式前，应重点核查下列事项：

1. 本构件的截面形状属于哪一类？
2. 对应的理论假设（如纯扭转、剪切流分布等）是否成立？
3. 构件两端的支撑、连接条件是否会影响扭转变形模式？

选对模型只能提高计算的可信度；结构是否安全，还要结合载荷取值、材料数据、局部细节和相应设计要求复核。

用“半径—剪应力—转角”串起概念

在理想圆轴的弹性扭转示意中，截面上距离中心越远的位置，剪切变形与剪应力趋势通常越显著；扭矩增大、构件变长或抗扭刚度减小时，转角会增大。这个定性链条有助于检查计算结果：若外缘应力反而比中心小，或加长杆件却得到更小转角，就应回头检查模型、单位和符号。