轴向载荷下的应力与应变

用手拉一根短钢杆，肉眼几乎看不出它变长；但现代的试验机却能精确地记录下施加的力与微小的伸长量，甚至能完整描绘出材料从弹性、屈服到断裂的全历程。轴向问题研究的意义正体现在这里：它能将几近无法察觉的细微变形，通过物理量“应变”转换为可定量分析的指标，并借助材料本构关系进一步把应力与应变紧密联系起来。借助这些手段，我们不仅能够比较不同材料的性能，还能深入理解结构在实际受力下的变形与破坏过程，这对工程设计和安全评估都至关重要。

本章内容主要从以下三个方面展开：

1. 试样曲线（应力-应变曲线）

   • 反映材料在轴向载荷作用下的力学响应，包括弹性、屈服、强化、断裂等阶段。
   • 让我们能够理解材料的变形与破坏机理，掌握不同材料的特性。

2. 杆件模型

   • 分析长度、横截面积和弹性模量对杆件变形与内力的影响。
   • 揭示结构几何参数和材料性能如何共同决定构件的整体变形和承载能力。

3. 约束条件与温度效应

   • 解释温度变化作用下为什么有时只导致自由伸缩，有时却会诱发内力。
   • 进一步说明外部约束、连接方式对结构行为的重要影响。

另外，使用公式推导和计算时，需要注意以下几点：

• 明确各物理量的参考长度、参考横截面积及其定义方式。
• 指出每条公式的适用阶段（如弹性阶段、全程还是局部阶段）。
• 注意实际工程中参数变化对计算结果的影响。

通过以上几个角度，帮助大家系统理解轴向载荷作用下材料和杆件的基本力学行为。

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变形与应变

前章从外力追到内力和应力。本章再记录构件几何形状与尺寸的改变，这就是变形；用相对量描述局部或平均变形，则得到应变。

当一根钢筋受到拉力时，它不仅内部产生应力，长度也会增加，横截面积会减小。这种现象在工程实践中随处可见。桥梁的拉杆在车辆通过时会伸长，建筑物的立柱在承受上部荷载时会缩短。这些变形虽然微小，但对结构的安全和使用都有重要影响。

对于原标距为 $L$ 的均匀杆段，伸长 $\Delta L$ 时，工程平均线应变定义为：

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$$

应变无量纲，工程中常用微应变（$\mu\varepsilon$），$1\,\mu\varepsilon=10^{-6}$。例如，$2\,\mathrm{m}$ 标距伸长 $0.4\,\mathrm{mm}$，平均应变为 $$。若应变沿杆长不均匀，则要用局部应变并沿长度积分求总变形。

应变有正负之分。拉伸时杆件伸长，应变为正；压缩时杆件缩短，应变为负。这种规定与应力的正负规定是一致的，便于我们建立应力与应变之间的关系。

电阻应变片可把栅长范围内的表面应变转化为电阻变化。测量结果会受到粘贴方向、温度补偿、桥路与标定影响，它反映的是测点附近和栅长范围内的应变，不自动代表整个构件。

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材料的拉伸试验

单轴拉伸试验是认识材料力学响应的基础方法之一。试样形状、标距、加载速率和测量方法都要按相应试验标准控制，所得指标才可比较。

拉伸试验的基本过程是将标准试件安装在试验机上，逐渐施加拉力，同时测量试件的伸长量，直至试件被拉断。试验过程中，我们记录下载荷与变形的对应关系，然后换算成应力与应变的关系，绘制成应力-应变曲线。

典型低碳钢的工程应力—应变示意曲线常分为弹性、屈服、强化和颈缩阶段。这是便于学习的理想化描述，具体钢材未必都有清晰平台。

在线性弹性段，应力与应变近似成正比，卸载后变形近似恢复。比例极限与弹性极限概念相关但不完全相同，曲线上也未必容易分别识别；反复加载是否安全还涉及疲劳，不能由一次拉伸曲线保证。

当应力达到某一数值后，曲线出现水平段或略有下降，应变急剧增加而应力几乎不变，这就是屈服阶段。屈服阶段具有以下特点：

• 材料发生塑性变形：应变会快速增加，但应力几乎保持不变。
• 试件可能出现滑移线：其方向与应力状态和晶体滑移有关，不能把固定角度作为所有试样的判据。
• 屈服强度：屈服阶段对应的应力称为屈服强度（$\sigma_s$），是材料的重要性能指标。
• 工程设计参考：屈服或规定塑性延伸强度是重要材料指标，但实际设计使用相应的强度设计值和极限状态方法，不直接把试验屈服点当作唯一限值。

屈服阶段过后，试样继续变形时工程应力重新上升，这一段称为强化阶段。工程应力曲线最高点对应抗拉强度 $R_m$（旧教材也常记作 $\sigma_b$）：它是最大拉力除以原始截面积，不等于材料点能够承受的一个与面积变化无关的“绝对最大应力”。

当应力达到抗拉强度后，试件某一局部截面显著收缩，形成“颈缩”现象。此后载荷下降，最终试件在颈缩处断裂。需要注意的是，虽然名义应力下降了，但由于截面积大幅减小，颈缩处的真实应力实际上是上升的。

不同材料的拉伸曲线差异很大。铸铁等材料可能没有明显屈服平台，断裂前塑性变形较小，但曲线也不必然是一条直线。混凝土抗拉能力明显低于抗压能力，钢筋混凝土通过钢筋、混凝土及其粘结共同传力；“钢筋承担拉力”是理解受弯开裂后工作的入门概括，不是所有阶段的完整描述。

对没有明显屈服平台的材料，试验标准可采用规定塑性延伸强度，例如以 $0.2\%$ 塑性应变偏移确定的指标。名称、符号和计算应与所采用标准保持一致。

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材料的力学性能

通过拉伸试验，我们可以得到材料的几个重要力学性能指标。这些指标是工程设计和选材的重要依据。

在一维线弹性范围内，应力与应变近似成正比，比例系数为弹性模量 $E$：

$$\sigma = E \cdot \varepsilon$$

弹性模量的单位与应力相同。$E$ 越大，在相同单轴应力和线弹性条件下应变越小。钢材、铝合金和混凝土的典型数量级不同，但具体取值受材料、温度、试验方法影响；混凝土还随强度、骨料、龄期与加载方式显著变化。热处理对金属弹性模量的影响通常小于对强度的影响，却不能说绝不改变。

胡克定律是材料力学中最基本的定律之一。它告诉我们，在弹性范围内，材料的应力和应变之间存在简单的线性关系。这个定律是我们分析结构变形的理论基础。当一根长度为$L$、横截面积为$A$的杆件受到轴向拉力$F$时，根据应力和应变的定义以及胡克定律，可以得到杆件的伸长量：

$$\Delta L = \frac{F L}{E A}$$

这个式子只适用于轴力、截面和弹性模量沿杆长不变的中心轴向、线弹性、小变形杆段。$EA$ 称为轴向刚度；若这些量随 $x$ 变化，应使用 $\Delta L=\int N(x)/[E(x)A(x)]\,dx$。

屈服强度或规定塑性延伸强度描述材料进入明显不可恢复变形的特征水平。牌号数值、板厚和交货状态会影响指标；设计采用的强度值应来自相应材料与结构标准，不把牌号数字直接当作所有构件的允许应力。

抗拉强度是材料所能承受的最大应力，它表示材料的极限承载能力。虽然抗拉强度很重要，但在实际设计中我们更关注屈服强度，因为一旦材料屈服，即使尚未达到抗拉强度，结构也可能因变形过大而无法正常使用。

断后伸长率和断面收缩率是拉伸试样塑性的指标，结果与标距和试样形式有关。较好的延性有利于变形能力与内力重分配，但构件是否出现可见“预警”还受结构体系、加载速度和失效模式影响。

下方列出了几种常用工程材料的主要力学性能指标：

这张表的意义是比较“该看哪些指标”，而不是给整类材料一个固定数值。工程选材还要考虑耐久、防火、连接、供应和全寿命条件。

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轴向变形的计算

在工程实际中，我们经常需要计算构件在轴向载荷作用下的变形量。这对于分析结构的刚度、解决超静定问题以及考虑温度应力都是必需的。

对于轴力、截面和弹性模量均为常量的等截面直杆，在中心轴向荷载、线弹性和小变形前提下：

$$\Delta L = \frac{FL}{EA}$$

式中更严谨地应以截面轴力 $N$ 代替笼统的外力 $F$；当全杆轴力等于端部荷载时二者数值相同。正负号由轴力和变形约定保持一致。

作为均匀轴压杆的课堂算例，设钢柱截面积为 $0.15\,\text{m}^2$，计算长度段为 $40\,\text{m}$，恒定轴力为 $30000\,\text{kN}$，并取 $E=200\,\text{GPa}$。这里只计算理想轴向弹性缩短，不代表真实高层柱设计。

将数据代入公式：

$$\Delta L = \frac{FL}{EA} = \frac{30000\times 10^3 \times 40}{200\times 10^9 \times 0.15} = 0.04\,\text{m} = 40\,\text{mm}$$

结果为 $40\,\mathrm{mm}$。真实高层结构还要考虑轴力随楼层变化、截面分段、自重、施工顺序、材料非线性与相邻竖向构件的差异缩短，因此不能直接把本算例用于工程预测。

当 $N$、$E$ 或 $A$ 分段变化时，可在每段确为常量的前提下分别计算并代数相加；连续变化时则使用积分。拉伸贡献取正、压缩贡献取负，不能只把绝对值相加。

一根阶梯形钢杆，第一段长度 $L_1 = 2\,\text{m}$，截面积 $A_1 = 400\,\text{mm}^2$；第二段长度 ，截面积 。杆的顶端固定，底端受拉力 。钢材的弹性模量 。求杆的总伸长量。

第一段的伸长量：

$$\Delta L_1 = \frac{F L_1}{E A_1} = \frac{60\times 10^3 \times 2}{200\times 10^9 \times 400\times 10^{-6}} = 0.0015\,\text{m} = 1.5\,\text{mm}$$

第二段的伸长量：

$$\Delta L_2 = \frac{F L_2}{E A_2} = \frac{60\times 10^3 \times 3}{200\times 10^9 \times 600\times 10^{-6}} = 0.0015\,\text{m} = 1.5\,\text{mm}$$

总伸长量：

$$\Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 = 1.5 + 1.5 = 3.0\,\text{mm}$$

这个例子说明，虽然第二段更长，但由于其截面积更大，刚度更大，所以伸长量与第一段相同。在设计中，可以通过调整各段的截面积来控制变形分布。

变形叠加原理在材料力学中具有重要地位。该原理指出，当构件同时受到多个载荷作用时，总变形等于各载荷单独作用时产生的变形的代数和。这个原理的应用前提是材料处于线弹性范围内，且变形是微小的。利用叠加原理，可以将复杂的受力情况分解为若干简单情况的组合，分别计算后再相加，大大简化了计算过程。

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简单拉压静不定问题

如果未知约束力多于独立平衡方程，仅靠受力图还不能确定内力，这类问题称为静不定问题。缺少的不是另一条平衡式，而是构件之间“必须怎样一起变形”的条件。

先排除一个容易混淆的情形：刚性横梁由左右两根吊杆支承时，刚性只表示横梁自身不弯，并不表示它不能转动。若没有导向装置，横梁两端位移一般不必相等；而两根吊杆位置和荷载位置已知时，平面刚体的力与力矩平衡往往就能确定两杆内力，这并不是静不定问题。

下面改用一个真正需要协调条件的模型：两根直杆并联在上下两块刚性板之间，下板由导向装置限制转动，只能竖向平移，并承受轴向力 $P$。于是两根杆的伸长量必须相等。求解时要把三类关系接起来：整体平衡、材料与几何给出的物理关系，以及刚性板规定的变形协调关系。

若两杆完全相同，由对称性与平衡可知每根杆承担 $P/2$。更值得讨论的是两杆材料或截面不同的情况。设两杆长度均为 $L$，其截面积和弹性模量分别为 $A_1,E_1$ 与 $A_2,E_2$。

静力平衡方程：

$$N_1 + N_2 = P$$

变形协调条件来自“下刚性板只平移、不转动”，即 $\Delta L_1 = \Delta L_2$。

物理方程：

$$\Delta L_1 = \frac{N_1 L}{E_1 A_1}$$ $$\Delta L_2 = \frac{N_2 L}{E_2 A_2}$$

将物理方程代入变形协调条件：

$$\frac{N_1 L}{E_1 A_1} = \frac{N_2 L}{E_2 A_2}$$

简化得：

$$\frac{N_1}{E_1 A_1} = \frac{N_2}{E_2 A_2}$$

这个方程表明，在本模型中，两杆内力按各自的轴向刚度 $EA/L$ 分配。由于两杆长度相同，公式才可简写为与 $EA$ 成正比；长度不同就不能省去 $L$。

联立静力平衡方程和变形协调方程，可以解出：

$$N_1 = \frac{P E_1 A_1}{E_1 A_1 + E_2 A_2}$$ $$N_2 = \frac{P E_2 A_2}{E_1 A_1 + E_2 A_2}$$

若在课堂估算中取钢的 $E_1=200\,\text{GPa}$、铜的 $E_2=100\,\text{GPa}$，且两杆长度、截面积相同，则本线弹性模型给出 $N_1=2P/3$、。先核对两杆应力是否仍在线弹性范围内，再使用这个比例。

静不定体系通常具有多条传力路径，但不能因此直接断言“更安全”。是否允许屈服后的内力重分配，取决于材料延性、构件稳定、连接与所采用的分析设计方法；温度变化、支座位移和安装误差也可能因约束而产生附加内力。

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温度应力

温度变化会引起构件的变形。当构件可以自由伸缩时，温度变化只产生变形而不产生应力；但如果构件的变形受到约束，温度变化就会产生应力，这种应力称为温度应力。

线膨胀系数 $\alpha$ 描述单位长度随温度变化的自由伸缩量。在温度近似均匀且系数可视为常量时，长度为 $L$ 的杆件发生温差 $\Delta T$ 后，自由热变形为：

$$\Delta L_t = \alpha L \Delta T$$

课堂估算常取钢材约 $12\times10^{-6}/\degree\mathrm{C}$、混凝土约 $10\times10^{-6}/\degree\mathrm{C}$、铝约 $23\times {10}^{-6}\mathrm{/}\mathrm{°}$。这些不是所有牌号和温度区间的固定值，实际计算应采用与材料和工况相符的数据。

一根钢杆在温度为$20\degree\mathrm{C}$时安装在两个固定支座之间，长度$L=10\,\mathrm{m}$，横截面积$A=1000\,\mathrm{mm}^2$。温度升高到$50\degree\mathrm{C}$时，求杆内的温度应力。

如果杆可以自由伸长，其伸长量为：

$$\Delta L_t = \alpha L \Delta T = 12 \times 10^{-6} \times 10 \times 10^3 \times (50-20) = 3.6\,\mathrm{mm}$$

但由于杆的两端被固定，无法自由伸长，这个伸长量被约束住了。可以理解为先让杆自由伸长，然后再施加一个压力将其压回原长，这个压力所产生的应力就是温度应力。

要将杆压回原长，需要的压缩量正好等于自由伸长量$\Delta L_t$。根据变形计算公式：

$$\Delta L_t = \frac{N L}{EA}$$

解出内力：

$$N = EA \frac{\Delta L_t}{L} = EA \alpha \Delta T$$

在完全轴向约束、均匀温升、线弹性且忽略支座变形的假定下，温度应力为压应力。若以拉应力为正，应写成：

$$\sigma_t = -\frac{N}{A} = -E \alpha \Delta T = -200 \times 10^9 \times 12 \times 10^{-6} \times 30 = -72 \times 10^6\,\mathrm{Pa} = -72\,\mathrm{MPa}$$

这个结果说明，$30\degree\mathrm{C}$ 的均匀温升在理想完全约束下可产生 $72\,\mathrm{MPa}$ 压应力。实际结构的支座、连接和构件本身都有有限刚度，约束程度必须由体系分析确定；桥梁和管道可采用伸缩装置、可移动支承、柔性布置或其他经设计的位移释放方式，不是所有结构都只能设置同一种“伸缩缝”。

在大体积混凝土中，胶凝材料水化放热会形成温升，随后降温收缩若受到内部或外部约束，就可能产生拉应力并诱发裂缝。温控、保温、配合比、浇筑分层与缝的设置需要结合尺寸、环境和施工方案综合确定。

桥梁的伸缩装置和支座共同服务于位移与传力需求：有的支座允许某一方向移动，有的承担固定点作用。布置时还要兼顾制动力、地震作用、耐久和行车平顺性，不能只用一个温差算式决定间距。

输油、供暖等管道也要区分自由热位移和受约束热应力。工程上可通过走向形成的柔性、补偿器与支吊架布置吸收位移，同时校核压力、疲劳、稳定和连接；补偿装置本身也有适用范围与维护要求。

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泊松比

各向同性材料在单轴、线弹性范围内受拉时，通常一边伸长、一边横向收缩。横向应变与轴向应变之比定义为泊松比，本章沿用符号 $\mu$（也常写作 $\nu$）：

$$\mu = -\frac{\varepsilon'}{\varepsilon}$$

其中$\varepsilon$是轴向应变，$\varepsilon'$是横向应变。负号表示横向应变与轴向应变符号相反。

泊松比反映轴向变形与横向变形的耦合程度。稳定的各向同性线弹性模型允许 $-1<\mu<0.5$；许多常见致密工程材料的数值为正，钢材常见约 $0.3$，混凝土常见约 $0.2$，近似不可压缩的橡胶态材料可接近 $0.5$。具体数值仍要对应材料状态和试验条件。

在线弹性小应变近似下，$\mu\to0.5$ 对应体积变化趋近于零。塑性流动和橡胶大变形虽然也常近似不可压缩，却不能不加说明地沿用这里的线弹性公式。

例如，一根圆形截面的钢杆，直径$d = 20\,\mathrm{mm}$，长度$L = 2\,\mathrm{m}$，受拉力$F = 50\,\mathrm{kN}$。钢材的弹性模量$E = 200\,\mathrm{GPa}$，泊松比。求杆的伸长量和直径的变化量。

首先计算轴向应力和应变：

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3}{\pi \times 0.01^2} = 159.2 \times 10^6\,\mathrm{Pa} = 159.2\,\mathrm{MPa}$$ $$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{159.2 \times 10^6}{200 \times 10^9} = 0.000796$$

杆的伸长量：$\Delta L = \varepsilon \cdot L = 0.000796 \times 2 = 0.001592\,\mathrm{m} = 1.592\,\mathrm{mm}$

横向应变：$\varepsilon' = -\mu \cdot \varepsilon = -0.3 \times 0.000796 = -0.0002388$

直径的变化量：$\Delta d = \varepsilon' \cdot d = -0.0002388 \times 20 = -0.004776\,\mathrm{mm} \approx -0.0048\,\mathrm{mm}$

这个计算表明，杆在所作线弹性假定下伸长约 $1.6\,\mathrm{mm}$，直径减小约 $0.005\,\mathrm{mm}$。这里比较的是两个不同方向的尺寸变化量；它们还分别乘了原长度与原直径，不能仅凭数值大小判断泊松效应是否重要。

泊松比在三维应力状态分析中有重要应用。当材料同时受到多个方向的应力作用时，每个方向的应变都与所有方向的应力有关。通过弹性模量和泊松比，可以建立三维应力-应变关系，这是更复杂结构分析的基础。

在受压混凝土中，材料损伤发展会伴随横向变形。闭合箍筋或螺旋筋只有在横向膨胀使其被动受拉后才形成有效侧向约束，约束效果取决于配箍形式、间距、强度与核心区几何，不能简单归因于钢筋和混凝土泊松比不同。

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曲线的解读

轴向拉压问题通常从名义应力和名义应变开始，但它们都依赖清楚的参考量：应力以原始截面积为基准，应变以原始标距为基准。这样定义便于比较试验和建立入门模型；当变形很大、截面明显变化时，实际状态会更复杂，不能把简单曲线不加判断地用于所有材料、所有加载过程。

先区分三个层次

胡克定律需要适用条件

在线弹性范围内，常用应力与应变成比例的关系来估算变形。它描述的是一种近似行为，不是任何材料在任何阶段都遵守的永恒规则。加载卸载路径、温度、材料非均质性、时间效应和大变形都可能改变响应。做题时应明确题设是否允许使用线弹性、小变形和均匀截面的假定。

温度与约束的思考

构件在温度变化作用下，其变形和内力的产生主要取决于约束情况：

• 自由伸缩时：构件可随温度升高或降低自由伸长或收缩，此时通常只表现为长度的变化，不会在构件内部产生额外应力。
• 受约束时：如果构件的两端或部分受到约束，无法自由伸缩，温度变化会被约束所“抵抗”，这时就会在构件内产生温度应力甚至附加内力，可能影响安全或导致损伤。
• 约束的关键问题：分析温度效应时，要关注：
  1. 约束是否存在？约束位置在哪里？
  2. 约束是完全固定还是部分限制？构件能否在约束处滑移或允许少量变形？
  3. 不同材料或构件交界是否允许相对滑动？

其实，不要机械记忆“温度一定产生应力”，而应首先判断：在实际结构中哪部分变形是被允许的，哪部分是被禁止的。只有被约束的变形才会发展为内力或应力。

这种分析思路同样适用于：

• 材料自收缩（如混凝土干缩）或湿胀
• 施工安装误差的补偿与释放
• 支座位移或地基沉降等结构变形

把握约束与变形之间的关系，才能正确分析温度及其它外部因素带来的影响。

应力—应变曲线阅读

下方交互以抽象的工程应力—应变示意曲线呈现弹性、屈服、强化、颈缩与断裂等阶段。拖动或点击曲线位置，先说明试样发生了什么变化，再完成即时判断。它用于建立概念，不能替代任何具体材料的试验数据、材料选型或结构安全计算。

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总结

轴向问题可以用一条完整的推理链串起来：先由平衡求轴力，再由截面求应力，在适用范围内借助材料关系得到应变，最后把应变沿杆长累积为变形。遇到分段、变截面或多根杆共同工作时，不能只套 $FL/(EA)$，还要检查每段参数和位移协调条件。

温度变化本身给出的是自由热应变，约束才把其中不能实现的部分转化为内力；泊松比则提醒我们，轴向加载还伴随横向响应。两者都说明，边界条件和材料假定与公式本身同样重要。