剪力图与弯矩图

剪力图和弯矩图不是两幅需要背下来的图，而是把“在梁的不同位置截一刀”这件事连续记录下来。横坐标是截面位置，纵坐标分别是截面剪力与弯矩；图线的跳跃、斜率和面积都能回到外荷载与平衡关系解释。

剪力图（SFD）展示梁沿长度方向的剪力分布，本章把剪力记为 $Q$，有些教材记为 $V$。集中力会使剪力发生跳跃，分布荷载则使它在一段长度内连续变化。

弯矩图（BMD）记录截面弯矩 $M$。图线在某处数值大，只说明该处弯矩大；若截面或材料沿梁变化，最大弯曲应力未必出现在 $|M|$ 最大处。

在图线光滑的区段内，$Q=0$ 是弯矩取得局部极值的候选条件；在集中力矩处、端点或分段边界，还要单独比较左右值。掌握这一点，比把“剪力为零就一定是最大弯矩”当口诀更可靠。

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剪力与弯矩

当平面梁主要承受横向荷载时，截面内力通常以剪力和弯矩为主。若还有轴向荷载、偏心作用或扭转载荷，截面也可能同时存在轴力或扭矩。

常见的梁构件包括楼板下的支撑梁、桥梁的主梁以及高层建筑的框架梁等。理解剪力和弯矩的基本概念，是分析梁构件强度与刚度的基础。

剪力的定义与正负号规定

把梁截开后，截面上剪应力分布对面积的合力称为剪力。它是截面内力合量，不是某一点的剪应力；二者要通过下一章的应力分布公式连接。

剪力正负方向规定如下：

这种规定不仅便于规范地定量分析剪力的方向与大小，也在后续作图、计算甚至编程求解时提供了统一的判据。通过明确的正负号约定，我们可以在遇到各类复杂受力情况时，系统地判断剪力分布变化，为后续的弯矩分析和结构设计打下基础。

例如，简支梁跨中受向下集中力时，按本章约定，荷载左侧剪力可为正、右侧为负。这首先反映的是平衡与符号约定，不是材料“抵抗能力”的空间分布。

弯矩的定义与正负号规定

弯矩是导致梁发生弯曲的内力矩。当梁受横向载荷时，梁内部纤维有的拉伸、有的压缩。为了维持变形平衡，截面上存在着一对内力偶矩，这就是弯矩。

本章采用“下缘受拉为正”的弯矩约定：

• 当弯矩使梁下部纤维受拉，上部受压，即梁向下弯曲时，弯矩为正。
• 相反，若梁向上弯曲，则弯矩为负。

其他教材可能采用不同的内力正号与画图方向。只要在自由体、方程和图中始终一致，物理结果不会因约定而改变。

内力的计算方法

计算梁任意截面上的剪力与弯矩，最基本的方法是截面法，其步骤如下：

无论选取左段或右段作为分离体都可，但一般选择受力较简单的一端。分离体的竖向力平衡可得剪力，而取力矩平衡可求弯矩。这两个方程是理论基础。

取左段时，剪力和弯矩可由该分离体的力与力矩平衡求得。所谓“竖向力代数和”必须和截面内力的正号对应；所谓“对截面取矩”还要保留顺、逆时针符号。先画自由体再列式，通常比背一句口算规则更少出错。

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剪力方程和弯矩方程

剪力方程和弯矩方程用数学表达式，描述梁上剪力和弯矩沿轴线$x$的变化规律。建立这些方程后，可以快速获得梁任意位置的内力，对工程设计十分重要。

建立剪力方程的方法

剪力方程描述剪力$Q$与截面位置$x$的关系，记作$Q(x)$。建立时需先确定坐标系，通常以梁左端为原点，向右为$x$轴正向。

常见载荷下的剪力方程：

例题分析：
简支梁长 $6\,\mathrm m$，全长承受 $10\,\mathrm{kN/m}$ 向下均布荷载。由对称性与整体平衡，两端反力均为 $30\,\mathrm{kN}$。距左端 $x$ 米处截开并取左段，得：

显示答案

$$Q(x) = 30 - 10x$$

即剪力随$x$线性递减。

建立弯矩方程的方法

弯矩方程描述弯矩$M$与位置$x$的关系，记作$M(x)$。建立方法与剪力方程类似，通过截面法和平衡建立。

继续上例：
距左端$x$米处，左段分离体，对截面形心取矩：

• 左支座反力的力矩为 $30x$；
• $0\sim x$均布载荷的合力为$10x$，其作用点在$x/2$，力矩为$10x\cdot(x/2)=5x^2$。

弯矩方程为：

$$M(x) = 30x - 5x^2$$

即弯矩按抛物线规律分布。

分段方程的处理

当载荷情况复杂时，可在集中力、集中力矩、支座和分布荷载表达式变化处划分区段。集中力使剪力跳跃但通常不使弯矩跳跃；集中力矩使弯矩跳跃。分段方程还要通过端点值与跳跃条件彼此接上。

某简支梁$8$米长，$x=2$米处有$20$千牛向下集中力，$2$米至$8$米段均布载荷$15$千牛/米。

通过建立各段的内力方程，可精确获得梁任意位置的剪力与弯矩。但由于方程抽象，通常还会绘制剪力图和弯矩图，更直观看出分布规律。

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剪力图和弯矩图的绘制

剪力图和弯矩图是将剪力方程和弯矩方程以图形方式表达出来的工具。通过图形可以直观地看出梁上各截面内力的大小和变化规律，快速找出危险截面的位置。这两种图是梁设计中必不可少的工具。

剪力图的绘制步骤

绘制剪力图前先写清坐标与正号。本章把正剪力画在横轴上方、负剪力画在下方；若课程采用另一种画法，应整体转换，不能只把图上下翻而保留原符号说明。

可从梁左端沿 $x$ 正向行走：跨过向上的集中力，按本章约定剪力上跳；跨过向下集中力，剪力下跳；向下均布荷载区段的剪力以斜率 $-q$ 连续下降。每走完一段，都用一个自由体抽查，避免把行走口诀和另一套符号混在一起。

某简支梁长 $6\,\mathrm m$，在距左端 $2\,\mathrm m$ 处有 $30\,\mathrm{kN}$ 向下集中力，$2$ 至 $6\,\mathrm m$ 段另有 $7.5\,\mathrm{kN/m}$ 向下均布荷载。总竖向荷载为 ，对左支座取矩得右反力 ，再由竖向平衡得左反力也为 。

从左端开始，剪力为 $30\,\mathrm{kN}$。到 $2\,\mathrm m$ 处跨过集中力后，剪力从 $30$ 跳到 $0$；随后在均布荷载段线性减小，到右端左侧为

$$0 - 7.5 \times 4 = -30\,\text{千牛}$$

跨过右支座的 $30\,\mathrm{kN}$ 反力后，剪力回到零。这既是图的收尾，也是整体竖向平衡的一次核对。

在 $0$ 至 $2\,\mathrm m$ 段，剪力为正值 $30\,\mathrm{kN}$；$x=2\,\mathrm m$ 处跳到零，随后立即转为负值并线性降至 $-30\,\mathrm{kN}$。因此弯矩在 $$ 处由增转减，那里是本例的最大值位置。

弯矩图的绘制步骤

弯矩图的绘制方法与剪力图类似，但弯矩图通常更为复杂。横坐标仍表示梁的位置，纵坐标表示弯矩的大小。按照规定，正弯矩画在梁的受拉侧，对于水平梁通常画在下方。

弯矩图的形状取决于载荷类型。在无载荷段，弯矩图为直线；在均布载荷段，弯矩图为抛物线；在集中力作用点，弯矩图出现转折但连续；在集中力偶作用点，弯矩图出现突变。

对于上述简支梁，两端为不传递集中力矩的理想简支，端部弯矩为零。在 $0$ 到 $2\,\mathrm m$ 段，弯矩线性增长，$x=2\,\mathrm m$ 处为：

$$M = 30 \times 2 = 60\,\text{kN}\cdot\text{m}$$

从$2$米往右，弯矩受到向下的集中力和均布载荷的影响，按照二次抛物线规律变化。通过对弯矩方程求导并令其为零，可以找到弯矩的最大值位置。

在本例中，剪力在 $x=2\,\mathrm m$ 由正侧跨到负侧，弯矩随之由增转减。一般而言，要在各光滑区段求 $Q=0$ 的候选点，还要比较端点、集中力矩两侧和分段边界，最后才确定全梁的最大、最小弯矩。

剪力图与弯矩图的关系

剪力图和弯矩图之间的关系可以用下表进行总结：

这些关系适合用来预测图形并互相校核：荷载决定剪力的斜率，剪力决定弯矩的斜率，剪力图的有符号面积给出弯矩增量。图形正确只是内力分析的一步，不能单独代替截面、材料和稳定等后续检查。

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载荷集度、剪力与弯矩的关系

载荷集度、剪力和弯矩这三者之间存在着明确的数学关系。理解这些关系不仅能够加深对梁内力本质的认识，还能够为快速绘制剪力图和弯矩图提供理论依据。这些关系是材料力学的重要理论成果。

微分关系的建立

在梁的任意位置截取一个微小段，其长度为 $dx$。设这一段左侧截面的剪力为 $Q$，弯矩为 $M$，右侧截面的剪力为 $Q+dQ$，弯矩为 $M+dM$。假设该微段上有向下为正的均布载荷 $q$。

对这一微小段建立平衡方程。竖向力平衡可写为：

$$Q - (Q + dQ) - q\,dx = 0$$

整理得：

$$\frac{dQ}{dx} = -q$$

在本章“向下分布荷载 $q$ 为正”的约定下，剪力斜率为 $-q$。这个微分式用于没有集中力的连续区段；集中力处应改用跳跃条件描述。

对微小段取力矩平衡，忽略高阶小量，有：

$$(M + dM) - M - Q\,dx = 0$$

整理得：

$$\frac{dM}{dx} = Q$$

在与前文一致的内力正号下，弯矩斜率等于剪力。集中力矩处弯矩可发生跳跃，普通导数关系要在其左右区段分别使用。

将上述两个微分关系结合，还可以写出：

$$\frac{d^2 M}{dx^2} = -q$$

即弯矩关于位置的二阶导数等于负的载荷集度。这三个量的微分关系是梁弯曲理论的重要基础。

微分关系在绘图中的应用

理解了载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系，就能够快速判断内力图的形状特征，而不必详细计算每一点的数值。这对于工程中的快速估算和校核非常有用。

我们可以根据梁上的载荷形式，直接判断出剪力图和弯矩图的形状。在无载荷段，剪力不变，所以剪力图为水平线；弯矩的变化率等于剪力，所以弯矩图为斜直线。在均布载荷段，剪力线性变化，所以剪力图为斜直线；弯矩的变化率等于剪力，所以弯矩图为抛物线。

积分关系的应用

微分关系的逆运算就是积分关系。剪力是载荷集度的负积分，弯矩是剪力的积分。利用这些积分关系，可以快速计算内力的变化量，无需建立完整的内力方程。

假设某梁段长度为$2\,\mathrm{m}$，左端剪力为$15\,\mathrm{kN}$，该段受到向下的均布载荷$10\,\mathrm{kN/m}$。根据积分关系，右端剪力等于左端剪力加上载荷集度的负积分，即：

$$Q_\text{右} = Q_\text{左} - \int q\,dx = 15 - 10 \times 2 = -5\,\mathrm{kN}$$

这个计算过程比建立完整的剪力方程要简便得多。

对于弯矩的计算，可以利用“弯矩增量等于剪力图面积”的关系。在上述梁段内，剪力从$15\,\mathrm{kN}$线性递减到$-5\,\mathrm{kN}$，剪力图与横轴所围面积就是梯形面积：

$$A_\text{剪力图} = \dfrac{15 + (-5)}{2} \times 2 = 10\,\mathrm{kN\cdot m}$$

如果左端弯矩为$20\,\mathrm{kN\cdot m}$，那么右端弯矩就是：

$$M_\text{右} = 20 + 10 = 30\,\mathrm{kN\cdot m}$$

工程应用中的实践

在实际工程设计中，灵活运用载荷、剪力和弯矩之间的关系，可以提高设计效率。对于复杂的梁，可以先根据载荷情况绘制出剪力图的大致形状，然后利用剪力图的面积关系绘制弯矩图，最后对关键截面进行精确计算。

某高层建筑的楼面梁，跨度为8米，承受楼板传来的均布载荷。设计师首先根据载荷确定支座反力，然后知道剪力图在跨中对称，从支座开始线性递减，在跨中为零。利用剪力图面积等于弯矩增量的关系，可以快速估算出跨中最大弯矩约为均布载荷乘以跨度平方再除以8。这个估算值为初步设计提供了依据。

初步判断可先抓住反力、跳跃点、零剪力点与端点，再对候选控制截面精确计算。若截面、材料或侧向支承沿梁变化，不能仅因内力较小就跳过检查；“是否足够”由所处设计阶段和误差容许程度决定。

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图像来自分段平衡分析

剪力图和弯矩图最可靠的画法，是先把梁按荷载、集中力矩、支座或分布载荷变化处分段；对每一段取自由体，根据平衡关系写出剪力和弯矩的表达，再检查相邻段的跳跃或连续性。直接背诵“某种荷载对应某种图形”虽然快，但在多荷载或符号变化时非常容易失效。

三步检查法

载荷、剪力与弯矩

下方交互以简支梁为例，切换集中力与均布载荷后观察反力、剪力图和弯矩图如何同步变化。重点是建立因果链：集中力如何造成剪力跳跃，均布载荷如何让剪力连续改变，以及弯矩极值和剪力之间的关系。图中的数值与图形仅作教学示意，不可用于真实工程设计。

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总结

剪力图和弯矩图的绘制，本质是将受力情况和内力分布联系起来。一方面，通过整体平衡和截面法，可以直接在关键位置计算内力值，用于确定斜率、突变和极值等关键特征。另一方面，通过微积分关系，能够从已知的内力曲线追踪到其他位置，理解内力随位置变化的规律。

准确的内力图必须结合端点条件、集中荷载与力矩引起的跳跃变化、分布载荷造成的斜率变化，以及图形面积与总内力之间的整体平衡关联。这样不仅能正向画图，也能根据图形形态反推出载荷类型。