前面我们分别见过热方程、波动方程和 Laplace 方程。到了真正的问题里，题目通常不会把方程、区域和边界条件整齐地写在纸上等你套公式：你先要判断什么量在变化，变化发生在哪个区域，边界究竟控制了什么，以及“开始时的状态”是否有意义。本章练习的就是这一步从物理叙述回到数学模型的能力。

一块薄金属板边缘保持在固定温度，内部起初有一小块较热；一根弦的两端固定，中间被拨离平衡位置；一块无内部热源的均匀导热薄板，边缘温度已经给定，并已达到稳态。这三个场景都可以写成偏微分方程，但时间项、边界信息和可用的方法并不相同。我希望你在这一章练成一个具体习惯：拿到一个候选答案后，能分别检查方程、边界和初值。某一项通过了，不能替另外两项作保证。

从物理量写出模型

一条建模链

不要从“这是热方程还是波动方程”开始。更稳的起点是把叙述拆成四个问题。

1. 未知量是什么？ 温度用 $u(x,t)$，位移用 $u(x,t)$，浓度也可以用 $u(x,t)$；字母相同并不表示物理含义相同。
2. 空间区域是什么？ 一根长度为 $L$ 的杆对应 $0<x<L$，半径为 $R$ 的圆盘对应 $x^2+y^2<R^2$。区域决定了你要在哪些方向求导。
3. 局部规律是什么？ 扩散把高值向低值抹平，典型形式是 $u_t=\kappa\Delta u$；理想弦的惯性与张力给出 $u_{tt}=c^2\Delta u$；无源、均匀材料的平衡状态常满足 。
4. 外部给了哪些数据？ 边界数据描述区域边缘，初值描述 $t=0$ 的整个内部状态。二者不要混写。

材料和热源改变后，哪些项必须保留

第 3 章从薄片收支得到热方程。现在仍假设杆的截面积恒定、侧面绝热，但允许导热系数 $k(x)$ 改变，并有每单位体积的热源 $s(x,t)$。记恒定密度为 $\rho$、恒定比热为 $c_p$。取一小段 $[x,x+\Delta x]$，单位截面积的储热变化等于左端流入减右端流出，再加内部产热。除以长度并取极限：

$$\rho c_p u_t=-q_x+s=(k(x)u_x)_x+s.$$

这里 $q$ 的单位是功率除以面积，$s$ 的单位是功率除以体积，两侧都表示单位体积的功率。$k$ 恒定时才能进一步写成

$$u_t=\kappa u_{xx}+\frac{s}{\rho c_p},\qquad \kappa=\frac{k}{\rho c_p}.$$

$k$ 是导热系数，$\kappa$ 是热扩散率，后者单位为长度平方除以时间。若 $k$ 可微且不恒定，$(ku_x)_x=ku_{xx}+k'u_x$；漏掉第二项就没有保留原来的热流收支。材料分层时还要逐段建模并匹配界面条件，不能把跳变处当成普通可微点。

同样，“稳态”只让 $u_t$ 变成零。留下的是 $-(ku_x)_x=s$，并不自动成为 $$。只有无源、常导热系数的情形才化为一维 Laplace 方程。

对下面的常系数无源情形，三类模型可以放在一起看：

图中的初值位于 $t=0$ 的整条底边，端点条件则沿着时间方向延伸。固定温度 $u(0,t)=0$ 是沿着时间方向的一条边；初温 $u(x,0)=f(x)$ 是横着截取的一整条内部状态。它们只在角点 $($ 处相遇，因此还可能产生相容性要求，例如若边界恒为零，就应有 ，至少在希望解连续时如此。

边界条件不只是“补充数据”

在杆的左端保持温度 $T_0$，是 Dirichlet 条件 $u(0,t)=T_0$。若端点绝热，热通量为零，依据 Fourier 定律可写成 $u_x(0,t)=0$，这是 Neumann 条件。若端点与环境换热，需要先把“向右的热流”和“向外的热流”分开。用 表示导热系数、 表示表面换热系数，Fourier 定律给出向右热流密度 。区间左端的外法向是 ，右端是 ，因而

$$q_{\rm out}(0,t)=+ku_x(0,t),\qquad q_{\rm out}(L,t)=-ku_x(L,t).$$

与环境的换热律是 $q_{\rm out}=H(u-T_{\rm env})$。写在两个端点上分别为

$$\boxed{ku_x(0,t)=H_0[u(0,t)-T_{{\rm env},0}],}$$ $$\boxed{-ku_x(L,t)=H_L[u(L,t)-T_{{\rm env},L}].}$$

左端温度高于环境温度时，向外热流应该为正。这个物理检查与外法向检查一致；不能把两个端点都写成同一个 $-ku_x$。$H=0$ 时退化为绝热边界。把绝热端误写成 $u=0$，等于把“没有热流”改成“温度恰好为零”，模型已经换了。

波动问题也一样。固定在平衡位置的端点要求位移为零： $u(0,t)=u(L,t)=0$。对光滑解，端点速度也随之为零；但只写端点速度为零，还会允许端点停在其他位移上。自由端则要求张力方向的斜率为零，给出 $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$。边界条件选错时，后面即使级数算得很熟，也是在求另一个系统。

先判断方程的性格，再选方法

分离变量不是所有 PDE 的万能钥匙。它在矩形、区间、圆盘等几何规则且边界条件适合本征函数展开时尤其有效；能量法更适合回答“解是否唯一、扰动会不会增长”；有限差分能把规则网格上的问题转为有限个未知数。方法选择应由问题要回答的内容推动。

如果想知道热量如何随时间衰减，分离变量会把解拆成衰减模态；如果想证明两个解不可能不同，能量法通常更短；如果系数变化，数值方法往往更容易实施；边界不规则时，仍需选择能正确贴合边界的离散方式，不能把本课的均匀五点模板直接盖上去就算完成。有限元及一般复杂几何的离散不在本课展开。

热方程：高频细节会更快消失

在 $0<x<L$ 上考虑

$$u_t=\kappa u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0.$$

令 $u=X(x)T(t)$，代入并除以 $\kappa XT$，得到

$$\frac{T'}{\kappa T}=\frac{X''}{X}=-\lambda.$$

边界给出 $X(0)=X(L)=0$。非零解要求 $\lambda_n=(n\pi/L)^2$，空间模态为 ；时间因子满足 ，因此

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n e^{-\kappa(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}.$$

指数中的 $n^2$ 是重要信息：$n$ 越大，空间起伏越细，衰减越快。系数由初值的正弦展开决定，

$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

上述展开的系数与收敛条件见第 4、7 章：例如平方可积初温可在平方积分意义恢复，正时间的扩散因子进一步抑制高频；希望初始角点也连续时，还要检查初温与端点是否兼容。

波动方程：模态不衰减，只交换动能与势能

对于固定端弦，空间本征函数仍是正弦函数，但时间方程变成

$$T''+c^2\lambda_nT=0.$$

所以第 $n$ 个模态的时间因子是 $\cos(cn\pi t/L)$ 与 $\sin(cn\pi t/L)$ 的组合。初始位移给出一组系数，初始速度再给出另一组系数。少了初始速度，二阶时间方程没有被确定；把热方程的一个初值习惯照搬过来会漏掉一半信息。

同样的分离思路可用于矩形上的二维热方程。对四边零温，取

$$X_m(x)Y_n(y)=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}.$$

分别求二阶导数后，Laplacian 给出原函数乘 $-[(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2]$。因此时间因子满足一阶衰减方程，其衰减率为 $\kappa[(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2]$。两个方向的正交积分可分别进行，系数来自 倍的二维投影积分。这个乘积构造仍依赖矩形与相应的边界条件。

Laplace 方程：没有“后来”，只有边界决定的平衡

稳态问题 $\Delta u=0$ 不需要 $u(x,0)$。在一维中 $u_{xx}=0$ 直接说明斜率恒定；在二维矩形中可以用分离变量求出边界值向内部的传播。它的一个核心性质是最大值原理：在有界连通区域上，若 $u$ 在闭区域连续、在内部二阶连续可微且满足 ，则全域最大、最小值由边界控制；非恒定解不能在内部取得全域极值。若计算出的无源稳态内部温度超过所有给定边界温度，优先检查是否漏掉热源、写反符号或出现数值超调。

端点换了，为什么波数也要重算

若左端固定、右端自由，空间问题变成 $-X''=\lambda X$、$X(0)=0,X'(L)=0$。分部积分给

$$\lambda\int_0^L X^2\,dx =\int_0^L(X')^2\,dx-[XX']_0^L =\int_0^L(X')^2\,dx.$$

所以非零模态不能有负本征值；$\lambda=0$ 时 $X$ 为常数，再由左端为零只能得到零解。写 $\lambda=\mu^2>0$，通解为 $A\cos\mu x+B\sin\mu x$。左端条件消去 ，右端条件要求 ，于是

$$\mu_n=\frac{(n+1/2)\pi}{L},\qquad X_n(x)=\sin(\mu_n x),\qquad n=0,1,2,\ldots.$$

热问题中，同样的左恒温零、右绝热条件给出这些空间模态，时间因子却是 $e^{-\kappa\mu_n^2t}$。波问题对应频率 $c\mu_n$。边界决定允许哪些空间形状，时间方程决定这些形状怎样演化；两部分要分别检查。

综合例题一：从初始热斑到杆上的温度

一根长度 $L=1$ 的细杆侧面绝热，两端保持零温。初始时温度为

$$f(x)=4\sin(\pi x)-\sin(3\pi x),\qquad 0<x<1.$$

求温度 $u(x,t)$，并说明 $t$ 变大时哪部分先消失。

这里方法选择很明确：几何是一条区间，边界是齐次固定值，初值又能用正弦模态表达，分离变量几乎把建模和求解接在了一起。若把一个端点改成绝热，空间模态会改成混合边界本征函数；如果初温是尖锐的局部热斑，仍可展开，但需要保留更多模态，短时间内还要注意级数的收敛表现。

练习 1　同一根杆的初温改为 $f(x)=2\sin(2\pi x)+3\sin(5\pi x)$。写出解，并比较两个模态的衰减时间尺度。

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解为 $u(x,t)=2e^{-4\kappa\pi^2t}\sin(2\pi x)+3e^{-25\kappa\pi^2t}\sin(5\pi x)$。若把“时间尺度”理解为指数衰减中的倒数率，那么编号为 的模态时间尺度是编号为 的模态的 ；它的空间变化更细，所以消失得更快。系数大小影响初始振幅，不改变由模态编号决定的衰减率。

综合例题二：同一个空间模态，热还是波？

一根长度为 $\pi$ 的弦两端固定。初始位移为 $u(x,0)=\sin(2x)$，初始速度为零。求波动解，并与“若这是一根会扩散的热杆”进行方法上的比较。

图用振幅 $3$ 展示同样的比较；本例振幅为 $1$，只改变纵向大小，不改变时间因子。

比较并不是为了把两个公式并排背下来，而是训练代回方程的习惯。空间本征值决定“这一项有多细”，时间方程决定“它如何随时间行动”。同样的 $X(x)$，换了局部规律，$T(t)$ 就必须重新求。

练习 2　若上题初始速度改为 $u_t(x,0)=6\sin(2x)$，空间形状仍只有第二模态。求新的时间因子，并判断 $t=0$ 时弦的位移和速度分别是什么。

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仍有 $T''+4c^2T=0$，但 $T(0)=1$、$T^{\mathrm{\prime }}($。因此 ，解为 。代入 得位移 ；求时间导数后在 代入，得到 ，正好符合给定初速度。

综合例题三：边界改变时，模型和结论一起改变

一根长度为 $L$ 的杆最终达到稳态。左端温度保持 $T_0$，右端绝热。求稳态温度，并说明为什么不能把它当作“两端固定温度”的热方程初值问题。

稳态没有时间演化，因此求的是

$$u_{xx}=0,\qquad u(0)=T_0,\qquad u_x(L)=0.$$

两次积分得到 $u(x)=Ax+B$。由 $u(0)=T_0$ 得 $B=T_0$，由 得 ，所以 。这个结果也符合直觉：右端没有热流，杆内没有持续热源，最终整根杆只能达到左端温度。

这里最值得迁移的是“边界类型决定解的形状”。若右端不是绝热而是固定为 $T_1$，则 $u(0)=T_0,u(L)=T_1$，解为线性插值 。若两端都绝热且没有内部热源，稳态只能确定为常数，但常数值由总热量或初始平均温度决定；只给兼容的纯 Neumann 数据，稳态解还留有一个加常数的自由度。

图中的稳态端点连线还可以从演化温度中减掉，得到零端点的余量。这正是第 4 章处理恒定非零边界时使用的边界提升。

加上内部热源与换热端点

把上一题改为常导热系数 $k$、常体积热源 $s$，左端固定 $T_L$，右端与温度 $T_{\rm env}$ 的环境换热。我们需要解

$$-ku''=s,\qquad u(0)=T_L,\qquad -ku'(L)=H[u(L)-T_{\rm env}].$$

两次积分并使用左端条件，得到

$$u(x)=T_L+Bx-\frac{s}{2k}x^2.$$

此时唯一待定的是斜率参数 $B$。右端条件给出

$$-kB+sL=H\left(T_L+BL-\frac{sL^2}{2k}-T_{\rm env}\right),$$

所以

$$\boxed{B=\frac{sL-H(T_L-T_{\rm env}-sL^2/(2k))}{k+HL}.}$$

因 $k>0,H\ge0,L>0$，分母严格为正，稳态被唯一确定。$H=0$ 时 $B=sL/k$，右端确实绝热；在其他参数固定时， 会使 。有限的 则一般允许端点与环境存在温差，这个温差正是热交换所需的驱动。

取 $L=k=1,s=0,T_L=20,T_{\rm env}=0,H=2$，算得 ，因此

$$u(x)=20-\frac{40}{3}x,\qquad u(1)=\frac{20}{3}.$$

右端向外热流为 $40/3$，也等于 $2u(1)$；左端向外热流为 $-40/3$，负号表示热从左端进入。两者相加为零，符合无源稳态的收支。把右端温度直接写成环境的零温，会得到另一个模型。

若改成两端零温、$L=k=1,s=8$，解为 $u=4x(1-x)$，中点温度为 $1$，高于两个端点。这里并没有违反调和函数的最大值原理，因为 $$，函数根本不调和。每端向外流出 ，正好带走全杆产生的 。

实验：温度曲线之外，再核对热流

保持左端温度不变，轮流把右端设为固定温度、绝热和与环境换热。观察端点温度、斜率与热流怎样一起变化。将热源设为零时，两端向外热流的和应为零；开启内部热源后，这个和应为 $sL$。

图中的外法向始终向外，而带符号的热流可以表示流入。尝试把环境温度调得比杆温更高，用计算结果判断哪一端正在给杆供热。这里比较的是不同稳态，不是从一个稳态跳到另一个稳态所经历的时间过程。

两端绝热时，先问能不能有稳态

积分稳态方程 $-ku''=s(x)$，得到

$$q_{\rm out}(0)+q_{\rm out}(L)=\int_0^L s(x)\,dx.$$

两端绝热使左侧为零。因此持续的正热源若没有其他散热途径，不可能达到稳态。由演化方程反而得到

$$\rho c_p\frac{d}{dt}\int_0^L u\,dx=\int_0^L s\,dx>0,$$

平均温度一直上升。这说明不能对每个热问题都想当然地寻找一个长期不变的温度。

回看微元收支图。把各小段的平衡相加，内部相邻截面的流出与流入互相抵消，只留下两端与内部热源。这里用向右为正的 $q$，所以全杆净流出为 $q(L)-q(0)$。

能量法与有限差分：不求闭式解也能回答问题

用能量判断唯一性

假设 $u$、$v$ 都满足同一个热方程和同一个零边界，令 $w=u-v$。则

$$w_t=\kappa w_{xx},\qquad w(0,t)=w(L,t)=0.$$

考虑能量 $E(t)=\frac12\int_0^Lw(x,t)^2\,dx$。求导并使用方程，

$$E'(t)=\int_0^Lww_t\,dx=\kappa\int_0^Lww_{xx}\,dx.$$

分部积分得到

$$E'(t)=\kappa[ww_x]_0^L-\kappa\int_0^Lw_x^2\,dx=-\kappa\int_0^Lw_x^2\,dx\le 0.$$

边界项为零，正是因为 $w$ 在两端为零。若初值相同，$E(0)=0$；又因为 $E(t)\ge0$ 且不增加，只能有 $E(t)=0$，于是 $$，两个解相同。这个论证没有写出级数，却说明了扩散系统不会凭空产生另一个同初值解。

用有限差分把模型放到网格上

在规则区间上，数值离散提供另一种求近似解的办法。以常系数热方程为例，把 $x_i=ih$、$t^m=m\Delta t$ 放到网格上，用

$$u_t(x_i,t^m)\approx\frac{U_i^{m+1}-U_i^m}{\Delta t},\qquad u_{xx}(x_i,t^m)\approx\frac{U_{i+1}^m-2U_i^m+U_{i-1}^m}{h^2}.$$

代入热方程得到显式更新

$$U_i^{m+1}=U_i^m+r(U_{i+1}^m-2U_i^m+U_{i-1}^m),\qquad r=\frac{\kappa\Delta t}{h^2}.$$

对一维均匀网格，稳定性要求通常取 $0\le r\le1/2$。这不是装饰性的限制：当 $r$ 太大，更新会把邻点差异放大，数值解可能出现交替的负温度和尖峰，哪怕真实热方程应当平滑。

选择有限差分时，目标也要说清楚：若想估计某时刻温度，可以做带误差检查的数值推进；若想展示本征模态和长期衰减，分离变量更能解释原因；若要证明唯一性或能量衰减，能量法直接触及结构。三种方法可以服务同一个模型，但回答的是不同问题。

第 10 章还证明了，在解足够光滑、边界正确且步长稳定时，同一物理终点之前的最大节点误差受初始误差加 $TC(\Delta t+h^2)$ 控制。每一步的方程残差还要乘上时间步，才是该步累积的缺陷。

候选解必须分别通过方程、边界和初值

考虑 $u_t=\kappa u_{xx}$、零端点和初温 $\sin\pi x$。候选函数

$$v(x,t)=e^{-\kappa\pi t}\sin\pi x$$

具有正确的边界，也恢复了初温；但求导得到

$$v_t-\kappa v_{xx} =\kappa(\pi^2-\pi)e^{-\kappa\pi t}\sin\pi x,$$

在内部一般不为零。因此它不是原问题的解。反过来，$2e^{-\kappa\pi^2t}\sin\pi x$ 满足 PDE 和边界，却对应加倍的初温。两种错误都可能画出“像在扩散”的曲线。

波方程还要单独检查初速度。对零端点、初位移 $\sin\pi x$、初速度 $V\sin\pi x$，正确解为

$$u(x,t)=\left[\cos(c\pi t)+\frac{V}{c\pi}\sin(c\pi t)\right]\sin\pi x.$$

漏掉正弦时间项，仍会满足 PDE、边界和初位移，但在 $V\ne0$ 时没有满足初速度。只检查 $t=0$ 的位移图，会完全看不见这个遗漏。

实验：让错误暴露在哪一项检查中

分别选择衰减率错误、初值幅度错误和漏掉初速度的候选解。把探针移到端点时，有些残差会变成零；移回内部后又会出现。这提醒我们：在一个点代入成功，与在整个区域成立，是两回事。

实验的热图由解析残差取样绘制，恒等检查依据展开后的公式。它把图像观察与代数验算放在一起；颜色再平静，也不能代替边界、初值和导数的逐项核对。

初始角点也有条件

若希望零 Dirichlet 热问题的解连续延伸到 $t=0$，初温必须满足 $f(0)=f(L)=0$。如果还希望时间一阶和空间二阶导数连续到角点，恒定端点温度给出 $u_t=0$，结合 PDE 又要求 在端点成立。要求的光滑性越高，需要核对的数据也越多。

不兼容并不总意味着正时间没有解。例如第 4 章的常数内部初温与零端点不兼容，正时间仍有级数解；它在初始角点不能同时连续满足两套冲突的数据。判断时要说清自己要求的是哪一类解，数值实验也不能替我们消除这个冲突。

方法迁移练习

下面的题目不要求每次都算出漂亮的闭式公式。请把注意力放在“模型是否匹配、条件在哪里用、方法为什么合适”。

练习 3　二维薄板占据矩形 $0<x<a,0<y<b$。四条边温度固定为零，初始温度为 $f(x,y)$。写出热方程、边界条件和初值，并说明分离变量后空间模态的大致形式。

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模型是 $u_t=\kappa(u_{xx}+u_{yy})$，边界为 ，初值为 。空间部分可取 ，对应本征值 ；时间因子为 ，系数由 的二维正弦展开决定。

练习 4　一块有界连通的均匀导热区域内没有热源，稳态温度连续到边界，边界温度都在 $10$ 到 $30$ 摄氏度之间。稳态温度在内部某点算出 $36$ 摄氏度。你会优先检查什么？若边界改为部分给温度、部分给热通量，方法选择有什么变化？

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优先检查方程是否确实是无源 Laplace 方程、边界条件是否抄写正确、符号和单位是否一致，以及数值离散是否引入了超调。最大值原理表明，在题设的有界区域与连续边界数据等条件下，调和函数的内部温度不能超过边界最大值，因此 $36$ 与给定范围不相容。对足够光滑的混合问题，差解在固定温度部分为零，在零差通量部分的法向导数为零，故 Green 恒等式的边界积分消失，得到梯度平方积分为零。连通区域上差为常数；只要有非空的固定温度边界段，就把该常数确定为零。闭式分离变量也要重新寻找满足两类边界的本征函数；若几何复杂，需选择合适的数值离散，并认真处理边界。

练习 5　一根弦的左端固定，右端自由。请写出边界条件，并说明为何空间模态不再是“两端都为零”的正弦函数。若只给初始位移而不给初始速度，能否唯一确定波动解？

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左端固定给 $u(0,t)=0$，右端自由给 $u_x(L,t)=0$。空间本征函数要同时满足 $X(0)=0$、，可取 ，，而不是 。波动方程在时间上是二阶，必须同时给出 和 ；只给初始位移会留下未确定的速度系数，因而不能唯一确定解。

11

面对一个新的 PDE 题目，哪种顺序最能减少模型误读？

A.先套用最熟悉的分离变量公式，再补边界条件B.先确定未知量、区域和局部规律，再分别写边界与初值，最后选择方法C.先把所有边界都设成零以便计算D.先选有限差分网格，再根据数值结果猜方程

12

热方程和波动方程可以拥有相同的空间本征函数，但同一模态的时间因子仍必须由各自的时间方程重新求出。

正确错误

13

下列哪些信息属于建模时需要单独检查的条件？

A.空间区域的几何范围B.边界是固定值、通量还是混合关系C.演化方程的时间阶数D.为了方便而把所有系数设为 1

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6. 两端绝热与持续产热

取 $L=2,\rho c_p=4$，常热源 $s=6$，两端绝热。能否有稳态？平均温度每单位时间上升多少？若改成无源问题且初始平均温度为 $7$，稳态的常数由什么确定？

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稳态收支要求 $0=sL=12$，矛盾，所以不能有稳态。由总热量平衡，$\rho c_p L\,\overline u'=sL$，故 。无源绝热时平均温度守恒；第 3、9 章的余弦展开或零均值能量估计表明起伏衰减，稳态常数为 。仅给静态的两个零通量条件，只能知道解是常数，不能知道这个常数是多少。

7. 两端都与环境换热

无源杆长 $1$、导热系数 $k=2$。左端换热系数 $H_0=1$、环境温度 $10$，右端 $H_L=2$、环境温度 。写出两个带正确符号的边界条件，求稳态，并检查两端收支。

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设 $u=Ax+B$。边界是 $2u'(0)=u(0)-10$、$-2u^{\mathrm{\prime }}$，所以 、。解得 ，即 。左、右向外热流分别是 ，和为零；与换热律比较，左侧 ，右侧 。负的左向外热流表示热从较暖的左环境进入。

8. 变导热系数的无源稳态

区间 $0<x<1$ 上 $k(x)=1+x$、$u(0)=0,u(1)=1$，没有内部热源。有人直接使用 ，认为无源稳态一定是直线。找出错误，并求正确解。

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应有 $((1+x)u')'=0$，而 $u=x$ 会使左侧等于 $1$。积分得 ，再积分得 。左端给 ，右端给 ，所以 。热流 恒定，虽然温度斜率随位置改变。无源保证的是稳态热流守恒，常导热系数才进一步保证直线温度。

9. 能量法迁移到换热边界

两组温度满足相同的有源热方程、相同的两个 Robin 换热条件，$k,\rho c_p$ 为正常数，$H_0,H_L\ge0$。初温相同。证明解唯一，说明边界项这次为什么不必为零。

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令差为 $w$，源项与环境温度抵消，得到 $\rho c_p w_t=kw_{xx}$、、。按照正文的分部积分，

10. 一个能检验计算程序的源项

在 $0<x<1$ 上，希望 $u_*(x,t)=e^{-t}\sin\pi x$ 成为 的解。确定 、边界和初值，再说明如何用它检查有限差分结果。

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取 $F=u_{*t}-2u_{*xx}=(2\pi^2-1)e^{-t}\sin\pi x$，边界为零，初值为 。显式离散在旧时间层加入 ，并满足 。在相同物理终点比较数值节点与 ，检查最大节点误差；加密时保持同一源项、初边界和终点。第 10 章的稳定性与光滑误差分析给出预期的一阶时间、二阶空间精度。这个方法检查离散和实现是否匹配已知问题，不是用实验替代一般收敛证明。

一次完整的自检

拿无源杆的 Robin 例子再做一次检查：写出的温度必须二阶导数为零；右端的斜率必须给出与温差相符的向外热流；左端保持题目指定的温度。缺少其中任何一项，即使曲线平滑、数值看起来合理，也还没有解完这道题。

换到波动问题，再添上初速度；换到有源稳态，保留内部产热；换到数值方法，比较同一物理时刻并检查网格误差。以后遇到新的方程，我建议你从这些能亲手核对的关系开始。方法会增加，但一个答案需要满足自己声称解决的方程和数据，这条要求一直不变。