牛顿定律的深化应用

运动学描述了物体怎样运动，动力学则要回答为什么运动。牛顿第二定律 $F = ma$ 是动力学的核心，但它本质上是一个矢量方程，方向信息和大小同样不可缺少。在此基础上，通过整体法与隔离法分析多物体系统，深入理解超重与失重的物理本质，并掌握动摩擦因数的计算与测量，这四个方面共同构成解决实际力学问题的完整工具。

牛顿第二定律的矢量形式

牛顿第二定律的完整表述是：物体所受合外力等于其质量与加速度的乘积，写成矢量方程：

$\vec{F}_{合} = m\vec{a}$

这个方程有三层含义：合外力越大，加速度越大；质量越大，加速度越小；合外力与加速度的方向始终相同。加速度的方向不由速度决定，而由合外力决定。

在二维平面问题中，将矢量方程沿两个互相垂直的方向分解：

$F_x = ma_x, \quad F_y = ma_y$

通常取水平方向为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向。分解之后，每个方向上的方程都是代数方程，处理起来就简便得多。

斜面上的受力分析：一个质量为 2 kg 的物体在光滑斜面上由静止下滑，斜面倾角 30°，$g = 10$ m/s²。

取沿斜面向下为 $x$ 轴，垂直斜面向上为 $y$ 轴：

垂直斜面方向合力为零，得 $N = mg\cos 30° \approx 17.3$ N；沿斜面方向得加速度 $a = g\sin 30° = 5$ m/s²。

例题：一个质量为 3 kg 的物体在粗糙水平面上运动，受水平推力 18 N，摩擦力 6 N（方向与运动方向相反），求加速度。

水平方向合力：$F_{合} = 18 - 6 = 12$ N

$a = \frac{F_{合}}{m} = \frac{12}{3} = 4 \text{ m/s}^2$

加速度方向与合力方向相同，即水平向前，大小为 $4 \text{ m/s}^2$。

整体法与隔离法

实际问题中常遇到多个物体通过绳子或接触面连在一起共同运动的情况，称为连接体问题。分析这类问题有两种基本策略。

• 整体法：将所有物体视为一个系统整体，对整体运用牛顿第二定律。系统内各物体之间的作用力（内力）相互抵消，不出现在方程里，因此整体法能高效求出系统加速度，但无法直接得到内力。

• 隔离法：从系统中取出某一个物体单独分析，对其画受力图，运用牛顿第二定律列方程。求绳中张力、接触面间压力等内力时，必须使用隔离法。

经典例题（阿特伍德变形）：A（质量 $m_A = 3$ kg）放在光滑水平桌面上，通过轻绳连接 B（质量 $m_B = 2$ kg），B 悬挂在桌边，系统由静止释放，求加速度和绳中张力。（$g = 10$ m/s²）

第一步：整体法求加速度

整个系统的驱动力只有 B 的重力，桌面光滑（无摩擦），总质量为 $m_A + m_B$：

$a = \frac{m_B g}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 10}{3 + 2} = 4 \text{ m/s}^2$

第二步：隔离 B，求张力

B 受重力 $m_B g = 20$ N 向下，张力 $T$ 向上，合加速度向下 4 m/s²：

$m_B g - T = m_B a$

$T = m_B(g - a) = 2 \times (10 - 4) = 12 \text{ N}$

三物体串联例题：

整体法求加速度：

$a = \frac{F}{m_A + m_B + m_C} = \frac{12}{1 + 2 + 3} = 2 \text{ m/s}^2$

隔离 C（只受 B-C 段绳的拉力）：

$T_{BC} = m_C \cdot a = 3 \times 2 = 6 \text{ N}$

隔离 B+C 整体（受 A-B 段绳拉力）：

$T_{AB} = (m_B + m_C) \cdot a = (2 + 3) \times 2 = 10 \text{ N}$

超重与失重的本质分析

乘电梯时，有时感觉身体变重，有时感觉变轻，这是人们日常能体验到的超重与失重。要准确理解这一现象，需要区分重力和视重两个概念。

重力是地球对物体的引力，大小为 $mg$，与物体的运动状态完全无关，任何情况下都不会消失或改变。

视重是物体对支持面（体重计）的压力，由牛顿第三定律知它等于支持力的大小。体重计的示数测量的是支持力，而非重力。感觉“变重”或“变轻”，都是视重的变化。

对站在电梯里、质量为 $m$ 的人，取向上为正方向，对其列牛顿第二定律：

$N - mg = ma \implies N = m(g + a)$

例题：质量为 60 kg 的人站在电梯中，电梯以 2 m/s² 的加速度向上加速运动，求此人对电梯地板的压力。（$g = 10$ m/s²）

向上为正，对人列牛顿第二定律：

$N - mg = ma$

$N = m(g + a) = 60 \times (10 + 2) = 720 \text{ N}$

由牛顿第三定律，人对地板的压力大小也为 720 N，方向向下。

完全失重出现在物体只受重力作用时，例如绕地球轨道飞行的航天员，此时支持力为零，物体处于“漂浮”状态。但重力依然存在，它作为向心力维持航天员的轨道运动。

动摩擦因数的测定与应用

两个接触面之间存在相对滑动时，会产生动摩擦力。动摩擦力的方向与相对运动方向相反，大小为：

$f = \mu N$

其中 $\mu$ 是动摩擦因数（无量纲数值），$N$ 是接触面之间的正压力（垂直于接触面的压力）。$\mu$ 只取决于两接触面的材料和粗糙程度，与接触面积无关，与相对滑动速度也基本无关（在日常速度范围内）。

水平面匀速法测定 $\mu$

让物体在水平面上做匀速直线运动，此时加速度为零，合力为零，水平推力等于摩擦力，正压力等于重力：

$f = F_{推}, \quad N = mg \implies \mu = \frac{F_{推}}{mg}$

例题：一块质量为 2 kg 的木块在水平桌面上做匀速直线运动，此时施加的水平推力为 6 N，求动摩擦因数。（$g = 10$ m/s²）

$N = mg = 2 \times 10 = 20 \text{ N}, \quad f = F_{推} = 6 \text{ N}$

$\mu = \frac{f}{N} = \frac{6}{20} = 0.3$

斜面匀速法测定 $\mu$

让物体在倾角为 $\theta$ 的斜面上匀速下滑，此时沿斜面方向合力为零：

$mg\sin\theta = f = \mu N = \mu mg\cos\theta$

$\mu = \tan\theta$

摩擦力并非只是阻力。行走时，地面对脚向前的摩擦力驱动人体前进；汽车启动时，路面对驱动轮的静摩擦力才是车辆前进的动力来源。合理利用摩擦力，是工程设计中的重要课题。

练习题

1. 一个质量为 4 kg 的物体放在光滑水平面上，同时受到水平向东的力 $F_1 = 10$ N 和水平向西的力 $F_2 = 4$ N，则物体的加速度为（　　）

A．$1.5$ m/s²，方向向东

B．$2.5$ m/s²，方向向东

C．$3.5$ m/s²，方向向东

D．$1.5$ m/s²，方向向西

2. 甲（质量 3 kg）和乙（质量 2 kg）通过轻绳跨过光滑定滑轮相连，系统由静止开始运动。用整体法求系统加速度，正确的是（　　）（$g = 10$ m/s²）

A．$a = 5$ m/s²

B．$a = 4$ m/s²

C．$a = 3$ m/s²

D．$a = 2$ m/s²

3. 质量为 50 kg 的学生站在体重计上，随电梯向下做加速运动，加速度大小为 2 m/s²，体重计的示数为（　　）（$g = 10$ m/s²）

A．600 N

B．500 N

C．400 N

D．300 N

4. 一木块在水平面上匀速运动，木块与水平面的动摩擦因数 $\mu = 0.4$，木块质量 $m = 5$ kg，则木块所受动摩擦力大小为（　　）（$g = 10$ m/s²）

A．10 N

B．15 N

C．20 N

D．25 N

5.（计算题） A（质量 $m_A = 4$ kg）放在光滑水平桌面上，通过轻绳连接 B（质量 $m_B = 1$ kg），B 悬挂在桌边，系统由静止开始运动。（$g = 10$ m/s²）

（1）求系统的加速度；

（2）求绳中的张力。

6.（计算题） 一个质量为 3 kg 的物体在倾角为 37° 的斜面上做匀速下滑运动。（$g = 10$ m/s²，$\sin 37° = 0.6$，$\cos 37° = 0.8$）

（1）求斜面对物体的支持力 $N$；

（2）求该斜面的动摩擦因数 $\mu$。

$a = \frac{F_{合}}{m} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ m/s}^2$

方向向东，故选 A。

故选 D。

体重计示数为 400 N，属于失重状态，故选 C。

故选 C。

隔离法对 B 列方程，求张力

B 受重力 $m_B g = 10$ N 向下，张力 $T$ 向上，向下加速 2 m/s²：

$m_B g - T = m_B a$

$T = m_B(g - a) = 1 \times (10 - 2) = 8 \text{ N}$

（1）系统加速度为 $2 \text{ m/s}^2$；（2）绳中张力为 8 N。

动摩擦因数：

$\mu = \frac{f}{N} = \frac{18}{24} = 0.75$

也可直接用 $\mu = \tan 37° = \dfrac{0.6}{0.8} = 0.75$ 验证结果。

（1）支持力 $N = 24$ N；（2）动摩擦因数 $\mu = 0.75$。