万有引力与天体运动

地球之所以能绕太阳公转，月球能绕地球运动，人造卫星也能够在预定轨道上稳定飞行，这一切都源于宇宙间普遍存在的一种基本相互作用——万有引力。这种力不仅支配着天体的宏观运动，也影响着地球上的各种现象，比如苹果从树上落地，潮汐的涨落，乃至宇航员的“失重”体验。

早在1687年，牛顿就通过对天体运动和地面实验的分析，总结提出了万有引力定律，从而把天上与地上的运动统一到同一套理论体系当中。这项伟大的发现，不仅深刻揭示了物体运动的本质联结，也是经典力学的里程碑，对后来的物理学、天文学乃至现代航天科技都产生了极其深远的影响。

万有引力定律

任意两个有质量的物体之间，都存在相互吸引的力。这个力的大小与两物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比：

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

其中 $G$ 是万有引力常量，$G = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²；$m_1$、$m_2$ 是两个物体的质量（单位 kg）； 是两物体质心之间的距离（单位 m）。

万有引力是相互的：地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力大小相等、方向相反。另外，距离加倍时，引力变为原来的四分之一（平方反比关系），这一点在天体运动中非常关键。

从表中可以看出，天体间的万有引力极大，而普通物体之间的引力微乎其微，这就是日常生活中感受不到物体间相互吸引的原因。

例题：地球质量 $M = 6.0\times10^{24}$ kg，地球半径 $R = 6.4\times10^6$ m，利用万有引力推导地球表面的重力加速度 $g$。

在地球表面，质量为 $m$ 的物体所受重力等于万有引力：

$mg = G\frac{Mm}{R^2}$

两边消去 $m$：

$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}{(6.4\times10^6)^2} \approx 9.8 \text{ m/s}^2$

结果与实测值完全吻合，这也从侧面验证了万有引力定律的正确性。

开普勒定律

在牛顿发现万有引力之前，德国天文学家开普勒通过长期观测数据总结出了行星运动的三条规律。

• 轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

• 面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。这意味着行星靠近太阳时运动得快，远离太阳时运动得慢。

• 周期定律：所有行星轨道半长轴 $a$ 的三次方与公转周期 $T$ 的平方之比，是一个对所有行星都相同的常数：

$\frac{a^3}{T^2} = k$

对于圆形轨道，半长轴就是轨道半径 $r$，公式变为 $\dfrac{r^3}{T^2} = k$。下表用实际数据验证这一规律：

表中各行星的 $r^3/T^2$ 值几乎完全一致，有力地支持了周期定律。

卫星的轨道速度与周期

卫星绕质量为 $M$ 的中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供所需的向心力：

$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$

消去卫星质量 $m$，解出轨道速度：

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

轨道速度只与轨道半径 $r$ 和中心天体质量 $M$ 有关，与卫星自身质量无关。轨道半径越大，速度越小。

同理，由向心加速度公式 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$，解出轨道周期：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

这正是在万有引力框架下对开普勒第三定律的理论推导，常数 $k = \dfrac{GM}{4\pi^2}$ 只与中心天体质量有关。

例题：已知地球质量 $M = 6.0\times10^{24}$ kg，某卫星轨道半径 $r = 8.0\times10^6$ m，求该卫星的轨道速度和周期。

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}{8.0\times10^6}} \approx 7.1\times10^3 \text{ m/s}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{(8.0\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}} \approx 7.1\times10^3 \text{ s} \approx 1.97 \text{ h}$

三个宇宙速度

宇宙速度描述的是从地球发射飞行器时，与能否绕地飞行或飞离地球、飞离太阳系相关的几个关键速度门槛。

• 第一宇宙速度是卫星在地球表面附近做匀速圆周运动的速度，也是绕地球飞行所需的最小速度。令轨道半径等于地球半径 $R$，利用 $v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{gR}$：

$v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8\times6.4\times10^6} \approx 7.9 \text{ km/s}$

• 第二宇宙速度是从地球表面出发、脱离地球引力束缚所需的最小速度，又称脱离速度。由动能与引力势能的关系推导得：

$v_2 = \sqrt{2}\,v_1 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11.2 \text{ km/s}$

• 第三宇宙速度是从地球表面出发、脱离太阳系所需的最小速度：

$v_3 \approx 16.7 \text{ km/s}$

同步卫星

同步卫星的轨道周期恰好等于地球自转周期（24小时），从地面看，同步卫星始终“悬停”在天空中固定的位置，因此被广泛用于通信、气象观测和电视广播。

同步卫星的轨道高度由周期公式确定，令 $T = 24\times3600 = 86400$ s：

$r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$

代入数值得 $r \approx 4.22\times10^7$ m，距地面高度：

$h = r - R = 42200 - 6400 \approx 35800 \text{ km}$

同步卫星轨道必须位于赤道平面内，高度唯一确定为约36000 km，三颗均匀分布的同步卫星理论上可以覆盖地球大部分地区（极地附近除外）。

例题：已知地球同步卫星轨道半径 $r = 4.2\times10^7$ m，地球质量 $M = 6.0\times10^{24}$ kg，求同步卫星的运行速度。

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}{4.2\times10^7}} \approx 3080 \text{ m/s} \approx 3.08 \text{ km/s}$

练习题

1. 两个质量分别为 $m_1$、$m_2$ 的物体，相距 $r$ 时引力为 $F$。保持质量不变，将距离减小为 $\dfrac{r}{2}$，则引力变为（　　）

A．$\dfrac{F}{4}$　　B．$\dfrac{F}{2}$　　C．$2F$　　D．$4$

2. 关于人造地球卫星的运动，下列说法正确的是（　　）

A．轨道半径越大，卫星的运行速度越大，周期越长

B．轨道半径越大，卫星的运行速度越小，周期越长

C．轨道半径越大，卫星的运行速度越小，周期越短

D．卫星的速度与轨道半径无关，只取决于卫星质量

3. 地球同步卫星的特点是（　　）

A．可以在地球上方任意高度的轨道上运行

B．轨道必须在赤道平面内，高度约为 35800 km

C．同步卫星的速度等于第一宇宙速度 7.9 km/s

D．从地球两极地区可以接收到同步卫星的直接信号

4. 地球同步卫星的轨道周期 $T_0 = 24$ h，轨道半径为 $r_0$。若某卫星的轨道半径为 $\dfrac{r_0}{4}$，则该卫星的周期约为（　　）

A．3 h　　B．6 h　　C．12 h　　D．1.5 h

5.（计算题） 已知地球质量 $M = 6.0\times10^{24}$ kg，地球半径 $R = 6.4\times10^6$ m，万有引力常量 $G=6.67\times {10}^{}$ N·m²/kg²。

（1）求第一宇宙速度；

（2）某侦察卫星轨道高度 $h = 3.6\times10^5$ m，求该卫星的运行速度和周期。

6.（计算题） 火星的质量约为地球质量的 $0.11$ 倍，火星半径约为地球半径的 $0.53$ 倍。已知地球表面重力加速度 $g_地 = 9.8$ m/s²，地球半径 $R_地 = 6.4\times10^6$ m。

（1）求火星表面的重力加速度 $g_火$；

（2）求绕火星飞行的第一宇宙速度（即近火星轨道速度）。

$F' = G\frac{m_1 m_2}{\left(\dfrac{r}{2}\right)^2} = G\frac{m_1 m_2}{\dfrac{r^2}{4}} = 4G\frac{m_1 m_2}{r^2} = 4F$

距离缩短为原来的一半，引力变为原来的四倍。

$T^2 = T_0^2 \times \left(\frac{r}{r_0}\right)^3 = T_0^2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{T_0^2}{64}$

$T = \frac{T_0}{8} = \frac{24}{8} = 3 \text{ h}$

$v_1 = \sqrt{6.25\times10^7} \approx 7.9\times10^3 \text{ m/s} = 7.9 \text{ km/s}$

（2）侦察卫星的速度和周期

轨道半径：$r = R + h = 6.4\times10^6 + 3.6\times10^5 = 6.76\times10^6$ m

运行速度：

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}{6.76\times10^6}} \approx 7.7\times10^3 \text{ m/s}$

轨道周期：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{(6.76\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times6.0\times10^{24}}} \approx 5.5\times10^3 \text{ s} \approx 92 \text{ min}$

（1）第一宇宙速度约为 7.9 km/s；（2）侦察卫星运行速度约为 7.7 km/s，周期约为 92 min。

（1）火星表面重力加速度

由 $g = \dfrac{GM}{R^2}$，对地球和火星分别列式再相比：

$\frac{g_火}{g_地} = \frac{M_火}{M_地} \times \left(\frac{R_地}{R_火}\right)^2 = 0.11 \times \left(\frac{1}{0.53}\right)^2 = 0.11 \times 3.56 \approx 0.39$

$g_火 = 0.39 \times 9.8 \approx 3.8 \text{ m/s}^2$

（2）绕火星飞行的第一宇宙速度

$v_1 = \sqrt{g_火 \cdot R_火} = \sqrt{3.8 \times (0.53 \times 6.4\times10^6)}$

$v_1 = \sqrt{3.8 \times 3.39\times10^6} = \sqrt{1.29\times10^7} \approx 3590 \text{ m/s} \approx 3.6 \text{ km/s}$

（1）火星表面重力加速度约为 3.8 m/s²；（2）绕火星飞行的第一宇宙速度约为 3.6 km/s。