抛体运动与曲线运动

现实生活中，物体的运动大多数情况下都不会严格沿着一条直线进行。例如，一块被抛出的石头会划出一条优美的弧线落入地面，一枚炮弹飞出后划过天空形成抛物线，赛车疾驰在赛车场上过弯时轮胎与地面的摩擦力让它绕弯道沿着曲线行驶。这些常见的情景，物体运动的轨迹都是曲线而非直线。这种曲线运动广泛存在于各类物理现象中，是力与运动相互作用的直接体现。

曲线运动看似复杂，但我们可以用一种简明的方法来分析：将复杂的二维或三维运动拆分为几个独立的分量。例如，对于地球表面附近的抛体运动，人们通常选择以水平方向和竖直方向为基准，把整体运动分解为这两个方向上的分运动。每个方向的分运动都遵循自己简单的物理规律，最后只需将分运动的结果合成起来，就可以得到曲线运动的整体描述。这种方法被称为运动的合成与分解思想，是分析和解决曲线运动问题的强有力工具。掌握了这一思想，我们不仅能够深入理解物体的运动本质，还能解决各种复杂的实际问题。

运动的合成与分解

曲线运动的速度在两个方向上是同时存在的。以一辆在雨中行驶的汽车为例：雨滴竖直落下，汽车向前行驶，坐在车内看到的雨滴轨迹是斜向后方的——这正是两个方向运动合成的结果。

运动合成的数学工具是平行四边形定则：两个方向的速度（或位移）分量，作为平行四边形的两条邻边，其对角线代表合速度（或合位移）的大小和方向。

一艘船在静水中速度为 $v_船 = 4$ m/s，河水流速为 $v_水 = 3$ m/s，船头垂直于河岸。合速度大小：

$v_{合} = \sqrt{v_{船}^2 + v_{水}^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ m/s}$

合速度与河岸的夹角：$\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_{水}}{v_{船}}\right) = \arctan(0.75) \approx 36.9°$，即船实际向斜下游方向漂移。

运动分解则是合成的逆过程——将一个实际运动按照需要分解到两个选定方向上。分解方向的选取原则：沿对应运动效果方向分解，通常选择水平与竖直方向，因为在重力场中这两个方向彼此独立。

平抛运动

平抛运动是最典型的曲线运动之一。物体以水平初速度 $v_0$ 抛出，此后只受重力作用（忽略空气阻力），在水平方向做匀速运动，在竖直方向做自由落体运动。

建立坐标系：以抛出点为原点，水平方向为 $x$ 轴（正方向与初速度一致），竖直向下为 $y$ 轴正方向。

水平方向（匀速）：

$x = v_0 t$

竖直方向（自由落体）：

$y = \frac{1}{2}g t^2$

水平速度（保持不变）：

$v_x = v_0$

竖直速度（随时间增大）：

$v_y = gt$

任意时刻的合速度大小：

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$

平抛运动的轨迹

由水平方程得 $t = \dfrac{x}{v_0}$，代入竖直方程：

$y = \frac{1}{2}g \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2v_0^2}\, x^2$

这是一条抛物线，系数 $\dfrac{g}{2v_0^2}$ 决定了曲线的弯曲程度：初速度越大，曲线越平缓；初速度越小，曲线越陡。

例题一：从 20 m 高的楼顶，以水平初速度 $v_0 = 10$ m/s 抛出一个小球，取 $g = 10$ m/s²，求小球落地时的时间、水平位移和落地速度。

已知 $y = 20$ m，由 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$ 解出落地时间：

$t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2 \text{ s}$

水平位移：

$x = v_0 t = 10 \times 2 = 20 \text{ m}$

落地时速度各分量：$v_x = 10$ m/s，$v_y = gt = 10 \times 2 = 20$ m/s

落地合速度：

$v = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22.4 \text{ m/s}$

例题二：两个小球同时从同一高度抛出，甲球做自由落体，乙球以 $v_0 = 5$ m/s 水平速度抛出。

两球在竖直方向的运动完全相同，这有力地印证了水平与竖直运动相互独立的结论。

斜抛运动

斜抛运动是物体以与水平方向成 $\theta$ 角的初速度 $v_0$ 斜向上抛出，只受重力作用的运动。

初速度分解

水平分量：$v_{0x} = v_0 \cos\theta$，竖直分量（向上为正）：$v_{0y} = v_0 \sin\theta$

运动方程

水平方向（匀速）：

$x = v_0 \cos\theta \cdot t$

竖直方向（取向上为正，重力加速度取负）：

$y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}g t^2$

最大高度

在最高点竖直速度为零：$v_y = v_0 \sin\theta - gt = 0$，得到达最高点的时间 $t_{\text{顶}}={\displaystyle \frac{v_0\sin }{}}$，代入得最大高度：

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

水平射程

从抛出到落回同一水平面，总飞行时间是上升时间的 2 倍：$T = \dfrac{2v_0 \sin\theta}{g}$，水平射程：

$R = v_0 \cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

当 $\sin 2\theta = 1$，即 $\theta = 45°$ 时，射程最大：

$R_{max} = \frac{v_0^2}{g}$

下面列出不同抛射角下的射程对比（以 $v_0^2/g$ 为单位）：

$30°$ 与 $60°$、$15°$ 与 $75°$ 的射程分别相同，这体现了 $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$ 的对称性。

圆周运动的基本量

做圆周运动的物体，除了线速度外，还需要用角速度和周期来全面描述运动的快慢。

线速度 $v$：物体在圆弧上单位时间内走过的弧长，单位 m/s。

角速度 $\omega$：单位时间内转过的角度（弧度），单位 rad/s。

周期 $T$：物体转动一圈所需的时间，单位 s。

频率 $f$：每秒转动的圈数，单位 Hz，与周期的关系：$f = \dfrac{1}{T}$。

这几个量之间的关系：

$v = \frac{2\pi r}{T} = \omega r \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

例题：时钟的分针长 10 cm，求分针尖端的线速度和角速度。

分针转一圈的周期 $T = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$，半径 $r = 0.10$ m。

$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 0.10}{3600} \approx 1.75 \times 10^{-4} \text{ m/s}$

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3600} \approx 1.75 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$

分针尖端的速度极小，但每秒仍在持续转动，对应着角速度 $\omega \approx 1.75 \times 10^{-3}$ rad/s。

向心加速度

做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，但方向时刻改变，因此存在加速度。这个加速度始终指向圆心，称为向心加速度：

$a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

其中 $r$ 是圆周运动的半径。向心加速度始终垂直于速度方向，只改变速度的方向，不改变速度的大小，物体的速率因此保持不变。

由 $v = \omega r$ 代入可以验证两种表达式等价：

$a = \frac{v^2}{r} = \frac{(\omega r)^2}{r} = \omega^2 r$

产生向心加速度所需的合力称为向心力，由牛顿第二定律：

$F = ma = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$

例题：一辆质量 $m = 1000$ kg 的汽车，在半径 $r = 100$ m 的圆弧弯道上以 $v = 20$ m/s 匀速行驶，求所需向心力大小。

$F = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000 \times 20^2}{100} = \frac{1000 \times 400}{100} = 4000 \text{ N}$

这 4000 N 的向心力由路面对轮胎的侧向摩擦力提供，方向水平指向弯道圆心。

下表列出了不同情境下圆周运动的向心力来源：

练习题

1. 从同一高度，甲球做自由落体运动，乙球以水平初速度做平抛运动，以下说法正确的是（　　）

A．乙球落地时间比甲球短

B．乙球落地时间比甲球长

C．甲、乙两球同时落地

D．乙球初速度越大，落地时间越短

2. 做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（　　）

A．速度大小和方向都不变，是真正的匀速运动

B．速度大小不变，但方向时刻在变，存在加速度

C．向心加速度大小不变，方向也不变

D．向心力对物体做正功，物体动能增大

3. 斜抛运动中，初速度大小 $v_0 = 20$ m/s，取 $g = 10$ m/s²，当抛射角为 45° 时，水平射程为（　　）

A．20 m　　B．40 m　　C．60 m　　D．80 m

4. 一辆汽车以 $v = 15$ m/s 在半径 $r = 45$ m 的圆弧弯道上匀速行驶，该汽车的向心加速度大小为（　　）

A．3 m/s²　　B．5 m/s²　　C．10 m/s²　　D．15 m/s²

5.（计算题） 一名跳水运动员从 10 m 高台上以水平速度 $v_0 = 2$ m/s 跳出，取 $g = 10$ m/s²。

（1）求运动员落水所需的时间；

（2）求运动员落水时的速度大小和方向。

6.（计算题） 一颗人造卫星在距地面高度 $h = 300$ km 的圆形轨道上运行，已知地球半径 $R = 6400$ km，卫星运行周期 $T = 5400$ s，取 $\pi \approx 3.14$。

（1）求卫星的运行速度；

（2）求卫星的向心加速度。

$R = \frac{20^2 \times 1}{10} = \frac{400}{10} = 40 \text{ m}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \text{ s}$

（2）求落水速度

水平速度：$v_x = v_0 = 2$ m/s（保持不变）

竖直速度：$v_y = gt = 10\sqrt{2} \approx 14.1$ m/s

落水合速度大小：

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4 + 200} = \sqrt{204} \approx 14.3 \text{ m/s}$

落水速度与水平方向的夹角：

$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07, \quad \alpha \approx 81.9°$

运动员以约 $14.3$ m/s 的速度、与水平方向成约 $81.9°$ 角斜向下落入水中。

（2）求向心加速度

$a = \frac{v^2}{r} = \frac{(7790)^2}{6.7 \times 10^6} \approx \frac{6.07 \times 10^7}{6.7 \times 10^6} \approx 9.1 \text{ m/s}^2$

卫星的运行速度约为 $7.8$ km/s，向心加速度约为 $9.1$ m/s²（与地面重力加速度接近，这正是引力充当向心力的体现）。