运动的精确描述

描述物体的运动，首先要明确三个最基本的物理量：位置的变化（称为“位移”）、位移变化的快慢（即“速度”）、以及速度随时间变化的快慢（即“加速度”）。这三者共同构成了经典力学中运动学的理论基础。需要特别强调的是，它们都是矢量量——不仅有大小，更有明确的方向。对于任何复杂的运动，只要能把握这三大物理量的矢量性质，并准确进行定量计算，就能系统地揭示和分析物体运动的全过程。

位移、速度和加速度不仅是解答物理题目的基础，也是理解自然界各种运动现象的关键。例如，分析汽车的启停离不开速度与加速度的理解，研究天体的运行则需要仔细考察其位移的变化。掌握这套描述工具，对于深入学习后续的牛顿定律、能量守恒等内容也至关重要。

位移与路程

位移描述的是物体位置的变化，而不是走过的总路程。从出发点到终点，画一条有向线段，这就是位移。路程则是运动轨迹的全部长度，只有大小，没有方向。

以一个具体情境为例：一名同学从学校出发，向东走了 600 m 到达图书馆，再向南走了 800 m 到达超市。他走过的路程是 $600 + 800 = 1400$ m，但他的位移大小只有 $\sqrt{600^2 + 800^2} = 1000$ m，方向是从学校指向超市的斜向东南方向。

物理量	定义	有无方向	单位
路程	运动轨迹的总长度	无（标量）	m
位移	从起点到终点的有向线段	有（矢量）	m

位移只与起点和终点的位置有关，与运动路径的形状无关。一个物体绕操场跑了一圈，路程等于操场周长，但位移为零。

在一维运动中，通常规定某个方向为正方向。向正方向运动，位移取正值；反向运动，位移取负值。例如规定向东为正，则向西行驶 50 m 的位移写作 $x = -50$ m。

速度的矢量定义

速度衡量位移变化的快慢，定义为单位时间内的位移：

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

其中 $\Delta x$ 是位移， $\Delta t$ 是时间间隔。速度的单位是 m/s（米每秒）。速度是矢量，方向与位移的方向相同。在直线运动中，速度的方向就是运动的方向。

下面列出了几种常见运动的速度大小，帮助建立直观的量级感受：

速度的单位换算在解题中经常用到： $1 \text{ m/s} = 3.6 \text{ km/h}$ ，即 $1 \text{ km/h} = \frac{1}{3.6} \text{ m/s} \approx 0.278 \text{ m/s}$ 。

平均速度与瞬时速度

平均速度描述某段时间内的整体运动效果，定义为这段时间内的位移除以时间：

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

瞬时速度则是某一时刻的速度，是时间间隔趋近于零时平均速度的极限：

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

汽车的速度表显示的就是瞬时速度。通过下面这个例子来体会两者的区别：某辆汽车在 0～10 s 内向前行驶了 200 m，10～20 s 内停止不动，20～30 s 内向后倒退了 60 m。

在 0～10 s 这段时间内，汽车的平均速度是 20 m/s；但在这 10 s 之间的某些时刻，车速可能更大，也可能更小。平均速度无法反映这些细节，瞬时速度才能描述每个瞬间的真实运动状态。

平均速度 $\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ 与平均速率不同。平均速率是路程除以时间，而平均速度是位移除以时间。若运动方向发生变化，两者的大小通常不相等。

加速度

速度会随时间变化，描述这种变化快慢的物理量就是加速度。加速度的定义是速度变化量与所用时间的比值：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_t - v_0}{\Delta t}$

其中 $v_t$ 是末速度， $v_0$ 是初速度， $\Delta t$ 是时间间隔。加速度的单位是 m/s²（米每平方秒）。

加速度同样是矢量，它的方向并不总是与速度方向相同：

情形	速度方向	加速度方向	运动状态
汽车启动加速	向前	向前（与 $v$ 同向）	加速运动
汽车刹车减速	向前	向后（与 $v$ 反向）	减速运动
竖直上抛运动（上升阶段）	向上	向下（重力方向）	减速运动
竖直上抛运动（下落阶段）	向下	向下（重力方向）	加速运动

加速度描述速度变化的快慢，而不是速度大小本身。一个物体加速度很大，速度不一定大；速度很大，加速度可以为零（匀速运动）。切不可将“加速度大”与“速度大”混为一谈。

例题：一辆火车从静止开始匀加速，经过 20 s 速度达到 72 km/h，求加速度。

首先将速度单位换算： $72 \text{ km/h} = 72 \div 3.6 = 20 \text{ m/s}$

$a = \frac{v_t - v_0}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{20} = 1 \text{ m/s}^2$

该火车的加速度为 $1 \text{ m/s}^2$ ，方向沿运动方向向前。

匀变速运动的五个公式

当加速度保持不变时，物体做匀变速直线运动。这是运动学中最重要的模型之一，也是解题的核心。以下五个公式可以解决绝大多数匀变速运动问题。

规定符号：初速度 $v_0$ ，末速度 $v_t$ ，加速度 $a$ ，时间 $t$ ，位移 $x$ 。

编号	公式	适用场合
公式一	$v_t = v_0 + at$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $v_t$
公式二	$x = v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $x$
公式三	$v_t^2 = v_0^2 + 2ax$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $x$ ，求 $v_t$ （不含时间）
公式四	$x = \dfrac{v_0 + v_t}{2} \cdot t$	利用初末速度平均值求位移
公式五	$x = v_t t - \dfrac{1}{2}at^2$	已知 $v_t$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $x$

公式的推导思路

公式一由加速度定义直接得到：由 $a = \dfrac{v_t - v_0}{t}$ 整理得 $v_t = v_0 + at$ 。

公式四利用了匀变速运动速度线性变化的特点。速度从 $v_0$ 均匀变化到 $v_t$ ，平均速度恰好等于初末速度的算术平均值：

$\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}, \quad x = \bar{v} \cdot t = \frac{v_0 + v_t}{2} \cdot t$

公式二由公式一代入公式四推导：将 $v_t = v_0 + at$ 代入，

$x = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

公式三消去时间变量，由公式一和公式四联立：由 $t = \dfrac{v_t - v_0}{a}$ 代入公式四，

$x = \frac{v_0 + v_t}{2} \cdot \frac{v_t - v_0}{a} = \frac{v_t^2 - v_0^2}{2a}$

整理得 $v_t^2 = v_0^2 + 2ax$ 。

例题：一辆汽车以 $v_0 = 10$ m/s 的初速度做匀加速直线运动，加速度 $a = 2$ m/s²，求 5 s 后的速度和这 5 s 内的位移。

$v_t = v_0 + at = 10 + 2 \times 5 = 20 \text{ m/s}$

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 10 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times 25 = 50 + 25 = 75 \text{ m}$

运动图像的综合分析

图像是描述运动的有力工具，三种常用图像分别是位移-时间图（ $x$ - $t$ 图）、速度-时间图（ $v$ - $t$ 图）和加速度-时间图（ $a$ - $t$ 图）。学会读图，能大大提高解题效率。

$x$ - $t$ 图的含义

$x$ - $t$ 图中，纵轴是位移，横轴是时间。图线某点的斜率等于该时刻的速度：斜率越大，速度越大；斜率为零，物体静止；斜率为负，物体向负方向运动。

$v$ - $t$ 图的含义

$v$ - $t$ 图中，纵轴是速度，横轴是时间。图线某段的斜率等于加速度；图线与时间轴围成的面积（带符号）等于位移。

$v$ - $t$ 图中，图线与横轴所围的面积（带符号）等于这段时间内物体的位移。速度为正时面积对应正位移，速度为负时对应负位移。这个关系在解题中非常实用，灵活运用可以避免繁琐的计算。

$a$ - $t$ 图的含义

$a$ - $t$ 图直接显示加速度随时间的变化。对于匀变速运动， $a$ - $t$ 图是一条平行于时间轴的水平线。 $a$ - $t$ 图与时间轴围成的面积代表速度的变化量 $\Delta v = a \cdot t$ 。

综合例题：一辆汽车从静止开始做匀加速运动，加速度为 2 m/s²，加速 10 s 后以该速度匀速行驶 20 s，再做匀减速运动经 5 s 停止。

在 $v$ - $t$ 图上，这三个阶段分别对应一段斜向上的直线、一段水平线、一段斜向下的直线，每段图线与横轴围成的图形面积就是对应阶段的位移。

练习题

1. 一名同学从家门出发，向东步行 400 m 到超市，再向西步行 100 m 到书店。整个过程中，该同学走过的路程和位移大小分别是（　　）

A．路程 500 m，位移 500 m，方向向东

B．路程 300 m，位移 300 m，方向向东

C．路程 500 m，位移 300 m，方向向东

D．路程 400 m，位移 300 m，方向向西

2. 一辆汽车做匀加速直线运动，初速度为 4 m/s，加速度为 3 m/s²，则该汽车在第 4 s 末的速度为（　　）

A．12 m/s　　B．14 m/s　　C．16 m/s　　D．18 m/s

3. 下列关于加速度的说法，正确的是（　　）

A．加速度越大，物体的速度一定越大

B．速度为零时，加速度一定为零

C．加速度方向与速度方向相反时，物体做减速运动

D．匀速运动的加速度方向与速度方向相同

4. 一辆火车以 30 m/s 的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为 3 m/s²，从开始减速到完全停止，火车行驶的距离为（　　）

A．100 m　　B．150 m　　C．200 m　　D．250 m

5.（计算题） 一名短跑运动员从静止开始做匀加速运动，经过 4 s 速度达到 8 m/s。

（1）求运动员的加速度；

（2）求这 4 s 内运动员的位移。

解题过程

已知： $v_0 = 0$ ， $v_t = 8$ m/s， $t = 4$ s

（1）由加速度定义：

$a = \frac{v_t - v_0}{t} = \frac{8 - 0}{4} = 2 \text{ m/s}^2$

（2）由匀变速位移公式：

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \text{ m}$

运动员的加速度为 $2 \text{ m/s}^2$ ，4 s 内的位移为 16 m。

6.（计算题） 一辆汽车在平直公路上行驶，分三个阶段运动：第一阶段从静止开始匀加速，加速度为 3 m/s²，历时 10 s；第二阶段以第一阶段末速度匀速行驶 20 s；第三阶段匀减速至停止，历时 15 s。

（1）求第一阶段结束时汽车的速度；

（2）求全程总位移。

解题过程

第一阶段（匀加速，0～10 s）

$v_1 = v_0 + at = 0 + 3 \times 10 = 30 \text{ m/s}$

$x_1 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = 150 \text{ m}$

第二阶段（匀速，10～30 s）

$x_2 = v_1 \times t = 30 \times 20 = 600 \text{ m}$

第三阶段（匀减速，30～45 s），初速度 30 m/s，末速度 0：

$x_3 = \frac{v_0 + v_t}{2} \times t = \frac{30 + 0}{2} \times 15 = 225 \text{ m}$

全程总位移：

$x = x_1 + x_2 + x_3 = 150 + 600 + 225 = 975 \text{ m}$

（1）第一阶段结束时汽车的速度为 30 m/s；（2）全程总位移为 975 m。

运动的精确描述

位移与路程

物理量	定义	有无方向	单位
路程	运动轨迹的总长度	无（标量）	m
位移	从起点到终点的有向线段	有（矢量）	m

位移只与起点和终点的位置有关，与运动路径的形状无关。一个物体绕操场跑了一圈，路程等于操场周长，但位移为零。

速度的矢量定义

速度衡量位移变化的快慢，定义为单位时间内的位移：

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

下面列出了几种常见运动的速度大小，帮助建立直观的量级感受：

速度的单位换算在解题中经常用到： $1 \text{ m/s} = 3.6 \text{ km/h}$ ，即 $1 \text{ km/h} = \frac{1}{3.6} \text{ m/s} \approx 0.278 \text{ m/s}$ 。

平均速度与瞬时速度

平均速度描述某段时间内的整体运动效果，定义为这段时间内的位移除以时间：

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

瞬时速度则是某一时刻的速度，是时间间隔趋近于零时平均速度的极限：

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

加速度

速度会随时间变化，描述这种变化快慢的物理量就是加速度。加速度的定义是速度变化量与所用时间的比值：

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_t - v_0}{\Delta t}$

其中 $v_t$ 是末速度， $v_0$ 是初速度， $\Delta t$ 是时间间隔。加速度的单位是 m/s²（米每平方秒）。

加速度同样是矢量，它的方向并不总是与速度方向相同：

情形	速度方向	加速度方向	运动状态
汽车启动加速	向前	向前（与 $v$ 同向）	加速运动
汽车刹车减速	向前	向后（与 $v$ 反向）	减速运动
竖直上抛运动（上升阶段）	向上	向下（重力方向）	减速运动
竖直上抛运动（下落阶段）	向下	向下（重力方向）	加速运动

例题：一辆火车从静止开始匀加速，经过 20 s 速度达到 72 km/h，求加速度。

首先将速度单位换算： $72 \text{ km/h} = 72 \div 3.6 = 20 \text{ m/s}$

$a = \frac{v_t - v_0}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{20} = 1 \text{ m/s}^2$

该火车的加速度为 $1 \text{ m/s}^2$ ，方向沿运动方向向前。

匀变速运动的五个公式

规定符号：初速度 $v_0$ ，末速度 $v_t$ ，加速度 $a$ ，时间 $t$ ，位移 $x$ 。

编号	公式	适用场合
公式一	$v_t = v_0 + at$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $v_t$
公式二	$x = v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $x$
公式三	$v_t^2 = v_0^2 + 2ax$	已知 $v_0$ 、 $a$ 、 $x$ ，求 $v_t$ （不含时间）
公式四	$x = \dfrac{v_0 + v_t}{2} \cdot t$	利用初末速度平均值求位移
公式五	$x = v_t t - \dfrac{1}{2}at^2$	已知 $v_t$ 、 $a$ 、 $t$ ，求 $x$

公式的推导思路

公式一由加速度定义直接得到：由 $a = \dfrac{v_t - v_0}{t}$ 整理得 $v_t = v_0 + at$ 。

公式四利用了匀变速运动速度线性变化的特点。速度从 $v_0$ 均匀变化到 $v_t$ ，平均速度恰好等于初末速度的算术平均值：

$\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}, \quad x = \bar{v} \cdot t = \frac{v_0 + v_t}{2} \cdot t$

公式二由公式一代入公式四推导：将 $v_t = v_0 + at$ 代入，

$x = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

公式三消去时间变量，由公式一和公式四联立：由 $t = \dfrac{v_t - v_0}{a}$ 代入公式四，

$x = \frac{v_0 + v_t}{2} \cdot \frac{v_t - v_0}{a} = \frac{v_t^2 - v_0^2}{2a}$

整理得 $v_t^2 = v_0^2 + 2ax$ 。

例题：一辆汽车以 $v_0 = 10$ m/s 的初速度做匀加速直线运动，加速度 $a = 2$ m/s²，求 5 s 后的速度和这 5 s 内的位移。

$v_t = v_0 + at = 10 + 2 \times 5 = 20 \text{ m/s}$

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 10 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times 25 = 50 + 25 = 75 \text{ m}$

运动图像的综合分析

$x$ - $t$ 图的含义

$v$ - $t$ 图的含义

$v$ - $t$ 图中，纵轴是速度，横轴是时间。图线某段的斜率等于加速度；图线与时间轴围成的面积（带符号）等于位移。

$a$ - $t$ 图的含义

综合例题：一辆汽车从静止开始做匀加速运动，加速度为 2 m/s²，加速 10 s 后以该速度匀速行驶 20 s，再做匀减速运动经 5 s 停止。

在 $v$ - $t$ 图上，这三个阶段分别对应一段斜向上的直线、一段水平线、一段斜向下的直线，每段图线与横轴围成的图形面积就是对应阶段的位移。

练习题

1. 一名同学从家门出发，向东步行 400 m 到超市，再向西步行 100 m 到书店。整个过程中，该同学走过的路程和位移大小分别是（　　）

A．路程 500 m，位移 500 m，方向向东

B．路程 300 m，位移 300 m，方向向东

C．路程 500 m，位移 300 m，方向向东

D．路程 400 m，位移 300 m，方向向西

2. 一辆汽车做匀加速直线运动，初速度为 4 m/s，加速度为 3 m/s²，则该汽车在第 4 s 末的速度为（　　）

A．12 m/s　　B．14 m/s　　C．16 m/s　　D．18 m/s

3. 下列关于加速度的说法，正确的是（　　）

A．加速度越大，物体的速度一定越大

B．速度为零时，加速度一定为零

C．加速度方向与速度方向相反时，物体做减速运动

D．匀速运动的加速度方向与速度方向相同

4. 一辆火车以 30 m/s 的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为 3 m/s²，从开始减速到完全停止，火车行驶的距离为（　　）

A．100 m　　B．150 m　　C．200 m　　D．250 m

5.（计算题） 一名短跑运动员从静止开始做匀加速运动，经过 4 s 速度达到 8 m/s。

（1）求运动员的加速度；

（2）求这 4 s 内运动员的位移。

解题过程

已知： $v_0 = 0$ ， $v_t = 8$ m/s， $t = 4$ s

（1）由加速度定义：

$a = \frac{v_t - v_0}{t} = \frac{8 - 0}{4} = 2 \text{ m/s}^2$

（2）由匀变速位移公式：

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \text{ m}$

运动员的加速度为 $2 \text{ m/s}^2$ ，4 s 内的位移为 16 m。

（1）求第一阶段结束时汽车的速度；

（2）求全程总位移。

解题过程

第一阶段（匀加速，0～10 s）

$v_1 = v_0 + at = 0 + 3 \times 10 = 30 \text{ m/s}$

$x_1 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = 150 \text{ m}$

第二阶段（匀速，10～30 s）

$x_2 = v_1 \times t = 30 \times 20 = 600 \text{ m}$

第三阶段（匀减速，30～45 s），初速度 30 m/s，末速度 0：

$x_3 = \frac{v_0 + v_t}{2} \times t = \frac{30 + 0}{2} \times 15 = 225 \text{ m}$

全程总位移：

$x = x_1 + x_2 + x_3 = 150 + 600 + 225 = 975 \text{ m}$

（1）第一阶段结束时汽车的速度为 30 m/s；（2）全程总位移为 975 m。