稳恒电流与电路

电灯的发光、手机的充电、家用电器的运转，背后都依赖于电荷在导体中的定向流动。电流并不神秘，它不过是电子在电场驱动下的集体运动。理解电流的本质，掌握电路中电压、电流、电阻之间的关系，是分析一切电路问题的基础。

电流与欧姆定律

导体两端存在电压时，内部自由电子在电场力的推动下做定向运动，形成电流。电流的强弱用电流强度衡量，定义为单位时间内通过导体截面的电荷量：

$I = \frac{q}{t}$

电流的单位是安培（$\text{A}$）。电流方向规定为正电荷运动的方向，与自由电子实际运动方向相反。

对于大多数金属导体，在温度一定的条件下，流过导体的电流与导体两端的电压成正比，与导体的电阻成反比，这就是欧姆定律：

$I = \frac{U}{R}$

其中 $U$ 的单位是伏特（$\text{V}$），$R$ 的单位是欧姆（$\Omega$），$I$ 的单位是安培（$\text{A}$）。

电阻率是描述材料导电能力的固有属性，与导体的几何形状无关。一段均匀导体的电阻由以下公式决定：

$R = \rho \frac{L}{S}$

其中 $\rho$ 是电阻率（单位：$\Omega \cdot \text{m}$），$L$ 是导体长度，$S$ 是横截面积。电阻率越小，材料导电能力越强。

金属的电阻率随温度升高而增大（正温度系数），这正是白炽灯灯丝在工作时电阻比冷态大得多的原因。

例1　导线电阻的计算

一根铜导线，长度 $L = 100\,\text{m}$，横截面积 $S = 1.0\,\text{mm}^2 = 1.0 \times 10^{-6}\,\text{m}^2$，铜的电阻率 。求该导线的电阻。

$R = \rho \frac{L}{S} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{100}{1.0 \times 10^{-6}} = 1.7\,\Omega$

该导线电阻为 $1.7\,\Omega$。若将导线截短一半，电阻减为 $0.85\,\Omega$；截面积增大一倍，电阻也减为 $0.85\,\Omega$，两种方式效果相同。

电动势与内阻

仅靠电场力无法维持电路中的持续电流，因为正电荷沿电场方向移动后，电位差会消失。电源的作用是通过非静电力（化学能、光能等）将正电荷从低电势的负极搬运到高电势的正极，不断维持两端的电位差。

衡量电源做功能力的物理量是电动势，定义为电源内部非静电力将单位正电荷从负极移到正极所做的功：

$\varepsilon = \frac{W}{q}$

电动势的单位也是伏特（$\text{V}$），但它不是电压，而是反映电源将其他形式能量转化为电能的能力。

电源内部同样有电阻，称为内阻 $r$。当电流流过时，内阻上有电压降，导致外电路两端（路端电压）低于电动势：

$U = \varepsilon - Ir$

其中 $I$ 是通过电源的电流，$Ir$ 是内阻上的电压降。外接电阻 $R$ 越小，电流越大，路端电压越低。

例2　电源内阻的测量

一节干电池，断路时测得电压为 $1.50\,\text{V}$（即电动势 $\varepsilon = 1.50\,\text{V}$）。接上 $R = 2.5\,\Omega$ 的电阻后，测得路端电压为 $1.25\,\text{V}$。求电池内阻 $r$。

电路中电流：$I = U/R = 1.25/2.5 = 0.50\,\text{A}$

由 $U = \varepsilon - Ir$：

$1.25 = 1.50 - 0.50 \times r \implies r = \frac{1.50 - 1.25}{0.50} = 0.50\,\Omega$

电池内阻为 $0.50\,\Omega$。新电池内阻很小，旧电池内阻增大，带负载时路端电压下降明显，这正是旧电池“带不动”大功率器件的原因。

基尔霍夫定律

实际电路往往比单一回路复杂，多个电源、多个支路并存。处理这类电路需要两条系统性的规律，由基尔霍夫（Kirchhoff）于1845年总结提出。

基尔霍夫电流定律（KCL）：在任意节点处，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

$\sum I_{\text{流入}} = \sum I_{\text{流出}}$

这条定律的物理依据是电荷守恒——节点处不积累也不消耗电荷。

基尔霍夫电压定律（KVL）：沿任意闭合回路一圈，各段电压降的代数和等于零。

$\sum U = 0 \quad \text{（沿闭合回路）}$

等价地，回路中所有电动势之和等于所有电阻上电压降之和：

$\sum \varepsilon = \sum IR$

例3　用基尔霍夫定律分析简单分支电路

如图所示电路，节点 A 有三条支路：$I_1 = 2\,\text{A}$ 流入，$I_2 = 0.8\,\text{A}$ 流入，$I_3$ 流出。由 KCL：

$I_3 = I_1 + I_2 = 2 + 0.8 = 2.8\,\text{A}$

再考虑一个回路：电源电动势 $\varepsilon = 12\,\text{V}$，内阻 $r = 0.5\,\Omega$，外接两个串联电阻 $R_1 = 3\,\Omega$，$$。由 KVL：

$\varepsilon = I(r + R_1 + R_2) \implies I = \frac{12}{0.5 + 3 + 5.5} = \frac{12}{9} \approx 1.33\,\text{A}$

电阻的串联与并联

电路分析中最常见的两种连接方式是串联和并联，每种方式下电流、电压的分配规律截然不同。

串联电路：各电阻首尾依次连接，电流只有一条通路。

$R_{\text{总}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$

串联电路中各电阻两端电压之比等于电阻之比：$U_1 : U_2 = R_1 : R_2$。串联电阻起作用。

并联电路：各电阻两端分别连接在相同的两点之间，电流有多条通路。

$\frac{1}{R_{\text{总}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}$

两个电阻并联时，等效电阻为：$R_{\text{总}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

并联电路各支路电流之比反比于电阻：$I_1 : I_2 = R_2 : R_1$。并联电阻起作用。

例4　串并联混合电路的等效电阻

三个电阻 $R_1 = 6\,\Omega$，$R_2 = 3\,\Omega$，$R_3 = 4\,\Omega$，其中 与 并联后再与 串联，接在 的电源上（不计内阻）。求总电阻、总电流及各支路电流。

$R_1$ 与 $R_2$ 并联的等效电阻：

$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega$

总电阻：

$R_{\text{总}} = R_{12} + R_3 = 2 + 4 = 6\,\Omega$

总电流：

$I = \frac{U}{R_{\text{总}}} = \frac{12}{6} = 2\,\text{A}$

$R_{12}$ 两端电压：$U_{12} = I \times R_{12} = 2 \times 2 = 4\,\text{V}$

流过 $R_1$ 的电流：$I_1 = U_{12}/R_1 = 4/6 \approx 0.67\,\text{A}$

流过 $R_2$ 的电流：$I_2 = U_{12}/R_2 = 4/3 \approx 1.33\,\text{A}$

验证：$I_1 + I_2 = 0.67 + 1.33 = 2\,\text{A} = I$，符合 KCL。

电功率与焦耳热

电流流过导体时，电场力做功，将电能转化为其他形式的能量（热能、光能、机械能等）。单位时间内电场力所做的功称为电功率：

$P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R}$

单位是瓦特（$\text{W}$）。三种写法互相等价，实际使用时根据已知量选择最方便的形式。

电流流过纯电阻时，电能全部转化为热量，这一过程服从焦耳定律：

$Q = I^2 R t$

其中 $Q$ 是热量（单位：$\text{J}$），$t$ 是时间（单位：$\text{s}$）。

例5　电热丝的功率与发热量

一根电热丝，电阻 $R = 40\,\Omega$，接在 $U = 220\,\text{V}$ 的电源上。

工作电流：$I = U/R = 220/40 = 5.5\,\text{A}$

电功率：$P = UI = 220 \times 5.5 = 1210\,\text{W} \approx 1.2\,\text{kW}$

工作 $10\,\text{min}$ 产生的热量：

$Q = Pt = 1210 \times (10 \times 60) = 726000\,\text{J} = 726\,\text{kJ}$

家用电热水壶的功率通常在 $1.5 \sim 2\,\text{kW}$，其工作原理完全相同。功率越大，烧水越快，耗电也越多。

RC充放电电路

将电阻 $R$ 与电容 $C$ 串联，接上电源后电容开始充电；断开电源后电容通过电阻放电。这是电路中最典型的时变过程。

• 充电过程：接通电源瞬间，电容两端电压为零，全部电动势降落在电阻上，初始电流最大，$I_0 = \varepsilon / R$。随着电容充电，其两端电压逐渐升高，电路中电流逐渐减小，最终电容电压等于电源电动势，电流降为零，充电完毕。

• 放电过程：断开电源，电容通过电阻放电，电流从最大值逐渐减小到零，电容电压也从初始值逐渐降为零。

描述这一过程的特征量是时间常数 $\tau$：

$\tau = RC$

时间常数 $\tau$ 的单位为秒（$\text{s}$），表征电容充放电的快慢。$\tau$ 越大，充放电越慢。

例6　RC电路时间常数的计算

一个RC电路，$R = 10\,\text{k}\Omega = 10^4\,\Omega$，$C = 100\,\mu\text{F} = 10^{-4}\,\text{F}$。求时间常数 ，并判断充电基本完成需要多长时间。

$\tau = RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1\,\text{s}$

充电基本完成的时间约为 $5\tau = 5\,\text{s}$。

若将电阻改为 $R = 1\,\text{k}\Omega$，时间常数变为 $\tau' = 10^3 \times 10^{-4} = 0.1\,\text{s}$，充电速度加快10倍。RC电路的这一特性被广泛用于相机闪光灯的充电控制、心脏起搏器的脉冲间隔设定等场合。

练习题

选择题

第1题　一根均匀铜导线，原来长度为 $L$，横截面积为 $S$，电阻为 $R$。将其均匀拉伸到长度变为 $2L$（体积不变），拉伸后导线的电阻为（　　）

A. $R/2$

B. $2R$

C. $4R$

D. $R$

第2题　一个电源，电动势 $\varepsilon = 6\,\text{V}$，内阻 $r = 0.5\,\Omega$。外接电阻 $R = 5.5\,\Omega$。以下说法正确的是（　　）

A. 路端电压为 $6\,\text{V}$

B. 电路中电流为 $1\,\text{A}$，路端电压为 $5.5\,\text{V}$

C. 电路中电流为 $1.2\,\text{A}$，路端电压为 $6\,\text{V}$

D. 内阻越大，路端电压越高

第3题　三个电阻 $R_1 = R_2 = R_3 = 6\,\Omega$ 并联后的等效电阻为（　　）

A. $18\,\Omega$

B. $6\,\Omega$

C. $3\,\Omega$

D. $2\,\Omega$

第4题　关于RC充放电电路，以下说法正确的是（　　）

A. 充电开始瞬间，电容两端电压最大，电路电流为零

B. 时间常数 $\tau = RC$ 越大，说明充放电完成得越快

C. 经过一个时间常数 $\tau$ 后，电容电压约达到终态电压的 $63\%$

D. 电容充满电后，电路中仍有稳定电流流过

计算题

第5题　某电路由电源和两个电阻组成。已知电源电动势 $\varepsilon = 9\,\text{V}$，内阻 $r = 1\,\Omega$，外电路中 $R_1 = 2\,\Omega$ 与 $$ 并联后接在电源两端。

（1）求外电路的等效电阻 $R_{\text{外}}$。

（2）求电路中的总电流 $I$ 和路端电压 $U$。

（3）求流过 $R_1$ 和 $R_2$ 的电流 $I_1$、$I_2$，并验证 KCL。

第6题　一台额定功率为 $P = 1000\,\text{W}$、额定电压为 $U = 220\,\text{V}$ 的电热水壶，连续工作 $t = 5\,\text{min}$。

（1）求电热水壶的额定工作电流和电阻。

（2）求工作 $5\,\text{min}$ 消耗的电能（单位：焦耳和度）。

（3）若实际电压降为 $198\,\text{V}$（额定电压的 $90\%$），实际功率为多少？（提示：电阻视为不变）

拉伸后电阻：

$R' = \rho \frac{2L}{S/2} = \rho \frac{2L \times 2}{S} = 4\rho \frac{L}{S} = 4R$

长度加倍、截面积减半，两种效果叠加，电阻变为原来的4倍。选 C。

路端电压：$U = \varepsilon - Ir = 6 - 1 \times 0.5 = 5.5\,\text{V}$

A 错：断路时路端电压才等于电动势，有电流时必然有内阻压降。

C 错：电流和路端电压计算有误。

D 错：内阻越大，内阻压降越大，路端电压越低，与题意相反。

选 B。

$R_{\text{总}} = 2\,\Omega$

并联等效电阻总小于任意一个并联支路的电阻。$n$ 个相同电阻 $R$ 并联，等效电阻为 $R/n = 6/3 = 2\,\Omega$。选 D。

D 错：电容充满后，两端电压等于电源电动势，电路中电流降为零，不再有电荷流动。

选 C。

（2）总电流与路端电压：

电路总电阻：$R_{\text{总}} = r + R_{\text{外}} = 1 + 1.5 = 2.5\,\Omega$

总电流（流过内阻的电流）：

$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{总}}} = \frac{9}{2.5} = 3.6\,\text{A}$

路端电压（外电路两端电压）：

$U = \varepsilon - Ir = 9 - 3.6 \times 1 = 5.4\,\text{V}$

也可用 $U = I \times R_{\text{外}} = 3.6 \times 1.5 = 5.4\,\text{V}$，两种算法结果一致。

（3）各支路电流及 KCL 验证：

$R_1$ 与 $R_2$ 并联，两端电压相同，均为路端电压 $U = 5.4\,\text{V}$：

$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{5.4}{2} = 2.7\,\text{A}$

$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{5.4}{6} = 0.9\,\text{A}$

KCL 验证：$I_1 + I_2 = 2.7 + 0.9 = 3.6\,\text{A} = I$，符合节点电流守恒。

$R = \frac{U}{I} = \frac{220}{4.55} \approx 48.4\,\Omega$

也可直接用 $R = U^2/P = 220^2/1000 = 48400/1000 = 48.4\,\Omega$。

（2）消耗的电能：

$W = Pt = 1000 \times (5 \times 60) = 300000\,\text{J} = 3 \times 10^5\,\text{J}$

换算为度（千瓦时）：

$W = \frac{Pt}{3600 \times 1000} = \frac{1000 \times 300}{3600000} \approx 0.083\,\text{kWh}$

即烧水 $5\,\text{min}$ 约消耗 $0.083$ 度电。

（3）电压降低后的实际功率：

电阻不变 $R = 48.4\,\Omega$，电压 $U' = 198\,\text{V}$：

$P' = \frac{U'^2}{R} = \frac{198^2}{48.4} = \frac{39204}{48.4} \approx 810\,\text{W}$

功率降低到约 $810\,\text{W}$，为额定功率的 $81\%$（$0.9^2 = 0.81$）。电压下降 $10\%$，功率下降约 $19\%$，这说明电压波动对电热器件的实际功率影响较大。