机械能

当你踢出一记有力的足球时，足球能够推动球门网发生形变；高处落下的水锤能深入岩石；拉满的弓弦能把利箭迸射出去——这些现象的背后，都说明了物体本身拥有“对外做功”的本领。物理学把这种“做功的能力”叫做能量。日常生活和自然界中，能量有许多不同的表现形式：电能、热能、光能、化学能……其中，物体由于运动或者由于位置的不同而拥有的能量，合称为机械能。

换句话说，只要物体在运动，或者物体处于较高或较低的位置，它就可能具有机械能。例如，静止在地上的石头不具备机械能，但被举到半空后就具有了。奔跑中的运动员、飞驰的汽车、坠落的果实、攀登的登山者、压缩或拉伸的弹簧，都是机械能的具体范例。机械能为日常生活和工程实践提供了巨大的作用基础。它既能转化为其他形式的能量，也可以在动能与势能之间相互转化，支配了自然界和技术世界中大量基本过程。

因此，机械能是物体由于运动状态和位置（高度）而具有的能量，是自然界能量转化和传递的基础之一。

动能

运动的物体能对其他物体做功，说明它具有能量，这种能量叫做动能。子弹能射穿木板，行驶的汽车撞上障碍物会造成破坏，流动的河水能推动水车，都是动能做功的体现。

动能的计算公式为：

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

其中 $m$ 是物体的质量（单位：kg），$v$ 是物体的速度（单位：m/s），$E_k$ 是动能（单位：J，焦耳）。

动能有两个影响因素：质量和速度。从公式可以看出，速度对动能的影响更为显著——速度增大为原来的 2 倍，动能增大为原来的 4 倍；而质量增大为原来的 2 倍，动能只增大为原来的 2 倍。这也是为什么高速行驶的车辆危险性远超低速行驶车辆的原因。

例题：一辆质量为 $1000\text{ kg}$ 的轿车以 $20\text{ m/s}$ 的速度匀速行驶，求它的动能。

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 400 = 2 \times 10^5\text{ J}$

不同物体在不同运动状态下的动能对比：

同样是 $2 \times 10^5$ J 的动能，轿车质量大、速度相对慢；同样质量轻的子弹，速度极高时动能也不容小觑。可见速度和质量对动能各自的贡献方式不同。

重力势能

把石块举到高处，松手后它就会落下并能做功；高山上的水流到低处能推动发电机；屋顶的砖块脱落时具有破坏力。物体由于处在较高位置而具有的能量，称为重力势能。

重力势能的计算公式为：

$E_p = mgh$

其中 $m$ 是物体质量（单位：kg），$g$ 取 $10\text{ N/kg}$，$h$ 是物体相对于参考平面的高度（单位：m），$E_p$ 是重力势能（单位：J）。

影响重力势能大小的因素有两个：质量和高度。质量越大、高度越高，重力势能越大。

例题：一个质量为 $2\text{ kg}$ 的花盆放在离地 $5\text{ m}$ 高的阳台上，以地面为参考平面，求它的重力势能。

$E_p = mgh = 2 \times 10 \times 5 = 100\text{ J}$

弹性势能

弹簧被压缩后能弹起重物，拉满的弓箭能把箭射出，橡皮筋拉伸后能弹出纸片，撑竿跳中竿子弯曲后能将运动员弹上高空。物体发生弹性形变时所储存的能量，称为弹性势能。

弹性势能的大小取决于形变的程度：形变越大，储存的弹性势能越多；形变越小，弹性势能越少；形变完全消失时，弹性势能也为零。

弹性势能与重力势能同属于势能，都是由于物体的状态（形变或位置）而具有的能量。动能与势能统称为机械能。

机械能守恒

动能和势能（重力势能与弹性势能）合在一起，称为机械能。在只有重力（或弹力）做功、不存在摩擦力和空气阻力的情况下，动能和势能之间可以相互转化，但两者之和——总机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。

$E_k + E_p = \text{常量（不变）}$

以小球从高处自由落下为例，分析各阶段的能量变化：

下落过程中，高度降低，重力势能减小；速度增大，动能增大。减小的重力势能恰好等于增大的动能，总机械能始终不变。

另一个典型例子是摆动的钟摆：

核心物理总结

• 转化逻辑：
  • 下摆过程：高度下降 $\rightarrow$ 势能减小 $\rightarrow$ 动能增加（势能转化为动能）。
  • 上摆过程：高度上升 $\rightarrow$ 势能增加 $\rightarrow$ 动能减小（动能转化为势能）。
• 临界点状态：
  • 在最高点，动能彻底耗尽为 0，这正是钟摆“回头”的瞬间。
  • 在最低点，势能被压缩至最小，此时小球拥有全场最高的速度。
• 能量总量：如果没有空气摩擦和支点摩擦，钟摆将永远摆动下去，因为那车“能量货物”只是在左右两个仓库间搬来搬去，没有任何损耗。

你发现了吗？不管是自由落体的小球，还是摆动的钟摆，甚至是蹦极跳，它们遵循的都是同一套机械能守恒的“记账法则”。你想看看这种原理在水电站发电中是如何被大规模应用的吗？

钟摆在两端最高点时速度为零，动能为零，全部是重力势能；摆到最低点时速度最大，重力势能全部转化为动能；在运动过程中，两种能量不断相互转化，总量保持不变。

例题：一个质量为 $0.5\text{ kg}$ 的小球从离地 $10\text{ m}$ 高处由静止开始自由下落，不计空气阻力，$g = 10\text{ N/kg}$。求小球落到离地 $2\text{ m}$ 高处时的速度。

初始状态（$h_1 = 10\text{ m}$，$v_1 = 0$）：

$E_{p1} = mgh_1 = 0.5 \times 10 \times 10 = 50\text{ J}, \quad E_{k1} = 0$

到达 $h_2 = 2\text{ m}$ 处时：

$E_{p2} = mgh_2 = 0.5 \times 10 \times 2 = 10\text{ J}$

由机械能守恒（$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$）：

$E_{k2} = E_{p1} - E_{p2} = 50 - 10 = 40\text{ J}$

$\frac{1}{2}mv^2 = 40\text{ J} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 \times 40}{0.5}} = \sqrt{160} \approx 12.6\text{ m/s}$

练习题

第1题（动能的影响因素）

两辆汽车在公路上行驶，甲车质量为 $m$，速度为 $v$；乙车质量为 $2m$，速度为 $\dfrac{v}{2}$。则甲、乙两车的动能大小关系是：

A. 甲的动能更大

B. 乙的动能更大

C. 两车动能相等

D. 无法判断

第2题（重力势能的影响因素）

将同一个铁球分别放在一楼窗台（距地面 $3\text{ m}$）和三楼窗台（距地面 $9\text{ m}$），铁球在三楼时的重力势能是在一楼时的：

A. 2 倍

B. 3 倍

C. 6 倍

D. 9 倍

第3题（机械能的转化）

一个小球从某高度由静止自由落下（不计空气阻力），在下落过程中，下列描述正确的是：

A. 动能增大，重力势能增大，机械能增大

B. 动能增大，重力势能减小，机械能不变

C. 动能减小，重力势能增大，机械能不变

D. 动能增大，重力势能减小，机械能减小

第4题（机械能守恒的条件）

下列情景中，小球的机械能守恒的是：

A. 足球在草地上滚动，逐渐停下来

B. 羽毛球在空中飞行，速度逐渐减小

C. 铁球在真空中从高处自由落下

D. 石块在水中下沉

第5题（计算题）（动能计算）

一辆质量为 $1500\text{ kg}$ 的货车，以 $10\text{ m/s}$ 的速度行驶。

（1）求货车此时的动能。

（2）若货车速度增大为 $20\text{ m/s}$，动能变为多少？速度增大为原来的 2 倍后，动能变为原来的几倍？

第6题（计算题）（机械能守恒）

一个质量为 $1\text{ kg}$ 的小球从离地 $20\text{ m}$ 高处由静止开始自由下落，不计空气阻力，$g$ 取 $10\text{ N/kg}$。

（1）小球在出发点的机械能是多少？

（2）小球下落到离地 $5\text{ m}$ 高处时，动能和重力势能各是多少？

（3）小球到达地面瞬间的速度是多少？

$E_{k甲} = \dfrac{mv^2}{2} > E_{k乙} = \dfrac{mv^2}{4}$，甲车动能更大，答案选 A。

这道题说明：速度减半对动能的影响（缩小为 $\dfrac{1}{4}$）比质量加倍（扩大为 2 倍）更显著，速度对动能的影响更大。

货车的动能为 $7.5 \times 10^4\text{ J}$。

（2）速度增大为 $v_2 = 20\text{ m/s}$ 时：

$E_{k2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 1500 \times 20^2 = \frac{1}{2} \times 1500 \times 400 = 3 \times 10^5\text{ J}$

速度增大为原来的 2 倍后，动能变为原来的：

$\frac{E_{k2}}{E_{k1}} = \frac{3 \times 10^5}{7.5 \times 10^4} = 4\text{ 倍}$

速度增大为原来的 2 倍，动能增大为原来的 4 倍。这也验证了动能与速度的平方成正比的规律。

$E_{k0} = \frac{1}{2}mv^2 = 0\text{ J}$

$E_{\text{机械}} = E_p + E_{k0} = 200\text{ J}$

小球在出发点的机械能为 200 J。

（2）下落到 $h_2 = 5\text{ m}$ 处，由机械能守恒，总机械能仍为 200 J：

$E_{p2} = mgh_2 = 1 \times 10 \times 5 = 50\text{ J}$

$E_{k2} = E_{\text{机械}} - E_{p2} = 200 - 50 = 150\text{ J}$

此处重力势能为 50 J，动能为 150 J。

（3）到达地面时，$h = 0$，$E_p = 0$，全部机械能转化为动能：

$E_k = 200\text{ J} = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 200}{1}} = \sqrt{400} = 20\text{ m/s}$

小球到达地面瞬间的速度为 20 m/s。