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机械能

功与能 | 自在学

功与能

搬运一块石头、推动一辆小车、把书包抬到书架上——这些动作都需要用力，也能让物体移动。但物理学对“做了功”有自己精确的定义：并非所有用了力的地方都算做了功，力让物体沿力的方向移动了一段距离，才叫做了功。

功和能量密切相关。做了功，就意味着能量发生了转移或转化。理解功是理解能量的第一步，也是分析机器、交通、体育运动中许多现象的关键。

功的概念

一个力作用在物体上，物体沿这个力的方向移动了距离，这个力就对物体做了功。物理学把这种“力使物体移动”的效果量化为功。功有两个必要条件：第一，物体要受到力的作用；第二，物体要在力的方向上发生位移。两者缺一不可。

以下几个场景可以帮助理解：

功是力的作用效果的量度，是一个标量，只有大小，没有方向。

“做功”是物理学专有名词，日常生活中说的“做了很多工作”不等于物理意义上的“做了功”。判断是否做功，必须同时满足有力且有该力方向上的位移两个条件。

功的计算

当力的方向与物体运动方向一致时，功的计算公式是：

$W = Fs$

其中 $W$ 表示功， $F$ 表示力的大小， $s$ 表示物体在力的方向上移动的距离。

符号	含义	单位
$W$	功	焦耳（J）
$F$	力的大小	牛顿（N）
$s$	沿力方向的位移	米（m）

功的单位是焦耳，符号为 J，名称来自英国物理学家詹姆斯·焦耳。1 J 等于 1 N 的力使物体在力的方向上移动 1 m 所做的功：

$1\text{ J} = 1\text{ N} \cdot \text{m}$

例题1：一个人用 50 N 的水平力推一辆小车，使小车水平移动了 4 m，人对小车做了多少功？

已知： $F = 50\text{ N}$ ， $s = 4\text{ m}$

$W = Fs = 50\text{ N} \times 4\text{ m} = 200\text{ J}$

例题2：起重机用 2000 N 的力竖直向上提升一箱货物，货物上升了 3 m，起重机做了多少功？

已知： $F = 2000\text{ N}$ ， $s = 3\text{ m}$

$W = Fs = 2000\text{ N} \times 3\text{ m} = 6000\text{ J}$

这两道题中，力的方向和位移方向完全相同，直接使用 $W = Fs$ 计算即可。

使用 $W = Fs$ 的前提是力和位移方向相同。如果力和位移方向不同，只有力在位移方向上的分量才做功，初学阶段主要讨论方向相同或相反的情况。

不做功的三种情况

在日常生活中，很多看起来“出了力”的场景，在物理学上其实并没有做功。这三种不做功的情况非常典型：

其中第三种情况最容易混淆。手提书包行走，手施加的力是向上的，但书包却向前移动，力和位移方向垂直，因此手对书包所做的功为零。这并不意味着不费力——维持姿势需要人体肌肉做功，但从物理学角度看，手的支持力对书包确实没有做功。

月球绕地球运动时，地球对月球的引力始终指向地心，而月球的运动方向沿轨道切线，两者始终垂直，因此引力对月球不做功，月球的速率保持不变。

“做了功”不等于“出了力”或“费了劲”。举重运动员托着杠铃保持静止，肌肉极为疲劳，但杠铃没有位移，运动员对杠铃做的功是零。

功率

做同样多的功，有的机器做得快，有的机器做得慢。为了衡量做功的快慢，物理学引入了功率的概念。

$P = \frac{W}{t}$

其中 $P$ 是功率， $W$ 是所做的功， $t$ 是做功所用的时间。

符号	含义	单位
$P$	功率	瓦特（W）
$W$	功	焦耳（J）
$t$	时间	秒（s）

功率的单位是瓦特，符号为 W，名称来自英国发明家詹姆斯·瓦特。1 瓦特等于每秒做 1 焦耳的功：

$1\text{ W} = 1\text{ J/s}$

常用的更大单位是千瓦（kW）： $1\text{ kW} = 1000\text{ W}$

以下是一些常见设备和场景的功率参考值：

例题3：一台电动机在 10 s 内做了 5000 J 的功，这台电动机的功率是多少？

$P = \frac{W}{t} = \frac{5000\text{ J}}{10\text{ s}} = 500\text{ W}$

例题4：一辆汽车的发动机功率为 60 kW，匀速行驶时所受阻力为 1500 N，汽车的速度是多少？

由 $P = \frac{W}{t} = \frac{Fs}{t} = Fv$ ，得：

$v = \frac{P}{F} = \frac{60000\text{ W}}{1500\text{ N}} = 40\text{ m/s}$

当力与速度方向相同时，功率也可以写成：

$P = Fv$

这个公式在分析匀速运动时非常实用：功率一定时，速度越大，驱动力越小；速度越小，驱动力越大。这就是为什么汽车上陡坡时需要换低速挡，以获得更大的驱动力。

$P = Fv$ 是从 $P = W/t$ 推导而来的。匀速运动时，发动机输出的驱动力等于所受阻力。功率越大的发动机，在相同速度下能克服更大的阻力，或者在相同阻力下能达到更高的速度。

练习题

第1题（功的条件判断）

下列四种情况中，力对物体做了功的是：

A. 小明用力推墙，墙没有移动

B. 起重机钢绳拉着货物竖直向上匀速上升

C. 足球在光滑草地上匀速滚动，没有人踢它

D. 手提水桶沿水平方向匀速行走

答案：B

A 中墙没有位移，不做功；B 中钢绳对货物施加向上的力，货物向上移动，力和位移方向相同，做了功；C 中没有水平外力作用在足球上，不做功；D 中手对水桶的力向上，位移水平向前，力与位移垂直，不做功。答案选 B。

第2题（功的计算）

一名工人用 100 N 的力沿水平方向推动一辆小车，使小车在水平地面上移动了 10 m，工人对小车做的功是：

A. 10 J

B. 100 J

C. 1000 J

D. 10000 J

答案：C

$W = Fs = 100\text{ N} \times 10\text{ m} = 1000\text{ J}$

答案选 C。

第3题（不做功的情况）

举重运动员在台上将 150 kg 的杠铃举过头顶后，保持静止姿势 3 秒钟。在这 3 秒钟内，运动员对杠铃做的功是：（ $g$ 取 $10\text{ N/kg}$ ）

A. $4500\text{ J}$

B. $1500\text{ J}$

C. $150\text{ J}$

D. $0\text{ J}$

答案：D

静止状态下杠铃没有位移，尽管运动员施加了向上的支持力，但位移为零，所做的功 $W = F \times 0 = 0$ 。答案选 D。

第4题（功率的理解）

甲、乙两台机器做了相同的功，但甲用的时间比乙短，则：

A. 甲的功率比乙小

B. 甲的功率比乙大

C. 甲、乙功率相同

D. 无法判断

答案：B

由 $P = W/t$ ，做相同的功 $W$ ，甲用时 $t_{\text{甲}}$ 比乙的用时 $t_{\text{乙}}$ 短，即，所以：

第5题（计算题）（功与功率的综合计算）

一名搬运工人把质量为 20 kg 的货物从地面搬到高 1.5 m 的货架上，用了 5 秒钟。（ $g$ 取 $10\text{ N/kg}$ ）

（1）工人对货物做了多少功？

（2）工人在这个过程中的功率是多少？

解题过程：

（1）工人对货物施加向上的力，货物向上移动了 $s = 1.5\text{ m}$ ，力的大小等于货物重力：

$F = mg = 20\text{ kg} \times 10\text{ N/kg} = 200\text{ N}$

$W = F s = 200 N \times 1.5 m = 300$

第6题（计算题）（功率与速度的关系）

一辆卡车的发动机功率为 $90\text{ kW}$ ，在水平公路上匀速行驶时受到的阻力为 $3000\text{ N}$ 。

（1）卡车匀速行驶的速度是多少？

（2）如果卡车的速度降低到 $20\text{ m/s}$ ，发动机功率不变，此时发动机提供的驱动力是多少？与阻力相比，卡车会加速还是减速？

解题过程：

（1）匀速行驶时，驱动力等于阻力 $F = 3000\text{ N}$ ，由 $P = Fv$ ：

$v = \frac{P}{F} = \frac{90000\text{ W}}{3000\text{ N}} = 30\text{ m/s}$

J

W = Fs = 200\text{ N} \times 1.5\text{ m} = 300\text{ J}