磁场与安培力

磁铁能够吸引铁钉，指南针会自动指向南北方向，高压输电线附近的金属物体有时会受到奇异的力——这些现象的背后，都源于同一种物理实体：磁场。磁场是一种真实存在于空间中的物质，它由磁体或电流产生，并对处于其中的磁体或通电导线产生力的作用。

理解磁场，不仅能解释自然界中许多令人惊奇的现象，更是理解电动机、发电机等现代设备工作原理的基础。从家用电风扇到工厂的大型机器，凡是需要将电能转化为机械能的设备，都离不开磁场对电流的作用。

磁场的基本认识

天然磁体（磁铁矿）和人造磁铁都能产生磁场。每块磁铁都有两个磁极：北极（N极）和南极（S极）。磁极之间遵循同名磁极相互排斥、异名磁极相互吸引的规律，这与电荷之间的相互作用十分类似。

磁极不能单独存在。将一根条形磁铁从中间折断，得到的两段各自都有N极和S极，永远不会出现只有单独N极或单独S极的磁铁。这与电荷不同，正负电荷可以分开单独存在。

地球本身就是一个巨大的磁体，地磁场使指南针的N极始终指向地理南方附近（地磁北极）。这一性质被人类用于航海和定向已有数千年历史。

除了天然磁体，通电导线同样能够产生磁场。1820年，丹麦物理学家奥斯特发现，将一根导线放在指南针上方，导线通电瞬间，指南针发生偏转，这是人类第一次证明电流能够产生磁场。

从这张表中可以看出，磁场并非只有磁铁才能产生，电流同样是磁场的重要来源，而且电磁铁的磁场强度可以人为控制，这在工业上具有极大的实用价值。

磁感应强度

磁场对物体作用力的强弱，因位置不同而有所差异。为了定量描述磁场在某一点的强弱，物理学引入了磁感应强度，用符号 $B$ 表示。

磁感应强度的定义来自磁场对通电导线的作用力。将一段长度为 $L$ 、通有电流 $I$ 的直导线放入磁场中，当导线与磁场方向垂直时，导线受到的力 $F$ 最大，此时：

$B = \frac{F}{IL}$

磁感应强度的国际单位是特斯拉，用符号 $\text{T}$ 表示。由公式可知， $1\,\text{T} = 1\,\text{N}/(\text{A} \cdot \text{m})$ ，也就是说，在 $1\,\text{T}$ 的磁场中，一段长度为 $1\,\text{m}$ 、电流为 $1\,\text{A}$ 并垂直于磁场的导线受到的力恰好为 $1\,\text{N}$ 。

磁感应强度 $B$ 是描述磁场本身强弱的物理量，它由产生磁场的磁体或电流决定，与放入磁场的导线的电流大小和长度无关。就如同电场强度描述电场本身一样， $B$ 是磁场的固有属性。

不同场景下的磁感应强度数值差异极大：

从表格中可以明显看出：地磁场极其微弱，而医疗和科研设备的磁场强度则是地磁场的数万倍。

例1 在某匀强磁场中，将一段长 $L = 0.2\,\text{m}$ 、通有电流 $I = 5\,\text{A}$ 的直导线垂直放入磁场，导线受到的安培力为 $F = 2\,\text{N}$ ，求该处的磁感应强度。

$B = \frac{F}{IL} = \frac{2}{5 \times 0.2} = \frac{2}{1} = 2\,\text{T}$

该磁场的磁感应强度为 $2\,\text{T}$ ，属于较强的磁场。

例2 在磁感应强度 $B = 0.5\,\text{T}$ 的匀强磁场中，有一段长 $L = 0.4\,\text{m}$ 的直导线垂直于磁场放置，求当导线中电流 $I = 3\,\text{A}$ 时，导线所受安培力的大小。

$F = BIL = 0.5 \times 3 \times 0.4 = 0.6\,\text{N}$

导线受到的安培力为 $0.6\,\text{N}$ 。

磁场的方向与磁感线

磁场不仅有强弱之分，还有方向。规定小磁针静止时北极（N极）所指的方向为该点磁场的方向。

为了形象地表示磁场的分布，物理学中引入了磁感线（也称磁力线）。磁感线是人为画出的一组曲线，具有以下特征：

磁感线上每一点的切线方向，就是该点的磁场方向（也是N极受力方向）。磁感线的疏密程度反映磁场的强弱：磁感线越密的地方，磁场越强。

磁感线是辅助描述磁场的假想曲线，并不是实际存在的“线”，磁感线之间也不会相交——因为空间中每一点的磁场方向只有一个，若两条磁感线交于一点，该点就有两个方向，这与实际矛盾。

不同磁体产生的磁感线分布各有特点：

匀强磁场是最常用的理想模型，蹄形（U形）磁铁两极之间的磁场近似为匀强磁场。在匀强磁场中，每一点的 $B$ 大小相同，方向相同，磁感线为平行等间距的直线。

安培力的大小

通电导线在磁场中受到的力称为安培力，以法国物理学家安培的名字命名。安培力的大小取决于三个因素：磁感应强度 $B$ 、导线中的电流 $I$ 、导线在磁场中的有效长度 $L$ ，以及导线与磁场方向所成的角度 $\theta$ 。

完整的安培力公式为：

$F = BIL\sin\theta$

其中 $\theta$ 是电流方向与磁场方向之间的夹角。

当导线垂直于磁场方向（ $\theta = 90°$ ）时， $\sin 90° = 1$ ，安培力最大：

$F = BIL$

当导线平行于磁场方向（ $\theta = 0°$ ）时， $\sin 0° = 0$ ，安培力为零，导线不受安培力。

安培力公式 $F = BIL\sin\theta$ 中，若题目没有特别说明角度，通常默认导线垂直于磁场方向，直接用 $F = BIL$ 计算。遇到斜角情形时，才需要引入 $\sin\theta$ 。

例3 一根长 $L = 0.5\,\text{m}$ 的直导线，通有电流 $I = 4\,\text{A}$ ，放在磁感应强度 $B = 1.2\,\text{T}$ 的匀强磁场中，导线与磁场垂直，求导线受到的安培力。

$F = BIL = 1.2 \times 4 \times 0.5 = 2.4\,\text{N}$

例4 在磁感应强度 $B = 0.8\,\text{T}$ 的匀强磁场中，一段直导线与磁场方向成 $30°$ 角，通有电流 $I = 2\,\text{A}$ ，有效长度 $L = 0.5\,\text{m}$ ，求安培力大小。

$F = BIL\sin\theta = 0.8 \times 2 \times 0.5 \times \sin 30° = 0.8 \times 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.4\,\text{N}$

安培力随电流、磁场强度、导线长度的变化关系：

从表中清楚地看出：安培力与 $B$ 、 $I$ 、 $L$ 均成正比，三者任一增大，安培力都成比例增大。

安培力的方向——左手定则

安培力不仅有大小，还有方向。判断安培力方向的工具是左手定则：

伸开左手，使拇指与四指在同一平面内，四指弯向磁感线穿入手心（即磁场穿入手心），四指指向电流方向，此时拇指所指的方向即为通电导线所受安培力的方向。

左手定则的关键记忆方法：磁感线穿手心（四指对准磁场），四指顺电流，大拇指指安培力方向。三个方向——磁场、电流、安培力——两两垂直。只要知道其中两个方向，就能用左手定则确定第三个。

安培力方向与电流方向和磁场方向都垂直，这三者构成空间中的三个相互垂直的方向。

例5 在一匀强磁场中，磁场方向水平向右，一段通电导线中电流方向竖直向上，用左手定则判断安培力方向。

伸开左手，使磁感线（向右）穿入手心，此时手心朝右，四指竖直向上（电流方向），大拇指所指方向即为安培力方向——垂直纸面向外。

改变电流方向：若电流方向竖直向下，则安培力方向变为垂直纸面向内。这说明安培力方向随电流方向的改变而反向。

电动机的工作原理

电动机是将电能转化为机械能的装置，它的核心工作原理正是安培力对通电线圈的作用。

在磁场中放置一个可绕轴旋转的矩形线圈，线圈中通有电流。根据左手定则，线圈两侧平行于转轴的导线受到安培力的作用，且两侧导线所受安培力方向相反，形成一对方向相反的力，驱使线圈绕轴转动。

线圈位置	两侧受力情况	线圈运动状态
线圈平面与磁场平行	两侧安培力最大，形成最大转矩	转动最快
线圈平面与磁场垂直	两侧安培力方向过转轴，转矩为零	惯性通过
电流换向后继续转动	安培力重新形成转矩	继续同向旋转

线圈旋转到与磁场垂直的位置时，转矩为零，若不采取措施，线圈会停在此处。实际电动机中采用换向器（整流子）解决这一问题：线圈每转过半圈，换向器就自动将电流方向对换一次，使线圈两侧始终受到同一转动方向的安培力，从而持续旋转。

电动机的发明使人类彻底改变了生产和生活方式。家用电风扇、洗衣机、电梯、电动汽车，乃至工厂里的各种机器，都依靠电动机将电能转化为机械能。一台电动机的转速、扭矩和效率，都直接取决于磁场强度和线圈中的电流大小。

例6 一个矩形线圈，宽 $d = 0.1\,\text{m}$ ，有效长度 $L = 0.2\,\text{m}$ ，通有电流 $I = 5\,\text{A}$ ，放在磁感应强度 $B = 0.4\,\text{T}$ 的匀强磁场中，线圈平面与磁场平行（即两侧导线垂直于磁场）。求两侧导线各受的安培力以及线圈受到的转矩。

每侧导线受到的安培力：

$F = BIL = 0.4 \times 5 \times 0.2 = 0.4\,\text{N}$

两侧导线受力大小相等、方向相反，两力的力臂均为 $d/2 = 0.05\,\text{m}$ ，线圈受到的总转矩：

$M = F \cdot d = 0.4 \times 0.1 = 0.04\,\mathrm{N\,m}$

练习题

选择题

第1题 关于磁感应强度 $B$ ，下列说法正确的是（　　）

A. $B$ 越大，通电导线受到的安培力越大

B. 磁感应强度 $B$ 由放入磁场的电流大小决定

C. 某点的 $B$ 由该点的磁场本身决定，与是否放入导线无关

D. 将电流增大一倍，该处的 $B$ 也增大一倍

答案：C

磁感应强度 $B$ 是描述磁场本身强弱的物理量，它由产生磁场的磁体或电流源决定，与放入磁场的探测导线无关，C 正确。A 不一定正确：安培力 $F = BIL\sin\theta$ ，安培力还受 $I$ 、 $L$ 、 $\theta$ 影响，仅 $B$ 大不一定力大。B 错误： $B$ 是磁场的属性，不由被测导线的电流决定。D 错误：改变放入磁场的探测电流不影响磁场本身。

第2题 在匀强磁场中，一段长 $L = 0.5\,\text{m}$ 的直导线，通有电流 $I = 2\,\text{A}$ ，垂直放入磁场后受到安培力 $F = 0.6\,\text{N}$ ，则该磁场的磁感应强度为（　　）

A. $0.3\,\text{T}$ 　　　B. $0.6\,\text{T}$ 　　　C. $1.2\,\text{T}$ 　　　D. $2.4\,\text{T}$

第3题 一通电导线在匀强磁场中受到安培力，若将电流减小为原来的一半，同时导线长度增大为原来的两倍，则安培力变为原来的（　　）

A. $\dfrac{1}{4}$ 　　　B. $\dfrac{1}{2}$ 　　　C. 不变，仍为原来大小　　　D. $2$ 倍

第4题 一段通电导线在匀强磁场中，磁场方向水平向右，电流方向垂直纸面向外，则该导线受到的安培力方向为（　　）

A. 水平向左　　　B. 竖直向上　　　C. 竖直向下　　　D. 垂直纸面向内

计算题

第5题 在磁感应强度 $B = 1\,\text{T}$ 的匀强磁场中，有一根长 $L = 0.6\,\text{m}$ 的直导线，导线通有电流 $I = 3\,\text{A}$ 。（1）当导线与磁场方向垂直时，求安培力的大小；（2）当导线与磁场方向成 $30°$ 角时，求安培力的大小；（3）比较两种情况下安培力的比值。

解：

（1）导线与磁场垂直（ $\theta = 90°$ ）：

$F_1 = BIL\sin 90° = 1 \times 3 \times 0.6 \times 1 = 1.8\,\text{N}$

（2）导线与磁场成 $30°$ 角：

$F_2 = BIL\sin 30° = 1 \times 3 \times 0.6 \times 0.5 = 0.9\,\text{N}$

（3）两种情况的安培力之比：

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1.8}{0.9} = 2$

当导线垂直于磁场时，安培力是 $30°$ 角情形的 $2$ 倍。可见导线与磁场的夹角越大（越接近 $90°$ ），所受安培力越大；平行时（ $\theta = 0°$ ）安培力为零。

第6题 一台简单直流电动机的矩形线圈，有效边长 $L = 0.15\,\text{m}$ ，线圈宽度 $d = 0.08\,\text{m}$ ，匀强磁场的磁感应强度 $B = 0.5\,\text{T}$ ，线圈中通有电流 $I = 4\,\text{A}$ 。当线圈平面与磁场平行时（两有效边垂直于磁场），求：（1）每条有效边受到的安培力；（2）线圈受到的总转矩；（3）若将电流增大为 $6\,\text{A}$ ，线圈受到的转矩变为多少？

解：

（1）每条有效边受到的安培力：

线圈平面与磁场平行时，两条有效边均垂直于磁场， $\theta = 90°$ ：

$F = BIL = 0.5 \times 4 \times 0.15 = 0.3\,\text{N}$

（2）线圈受到的总转矩：

两条有效边受到大小相等、方向相反的安培力，共同推动线圈旋转，力臂为线圈宽度 $d$ ：

$M = F \times d = 0.3 \times 0.08 = 0.024\,\text{N·m}$

（3）电流增大为 $6\,\text{A}$ 时的转矩：

$F' = BIL = 0.5 \times 6 \times 0.15 = 0.45\,\text{N}$

$M' = F' \times d = 0.45 \times 0.08 = 0.036\,\text{N·m}$

电流从 $4\,\text{A}$ 增大到 $6\,\text{A}$ ，增大为原来的 $1.5$ 倍，转矩也从 $0.024\,\text{N·m}$ 增大到 $0.036\,\text{N·m}$ ，同样增大为原来的 $1.5$ 倍。这正说明电动机的扭矩与线圈电流成正比，增大电流可以提升电动机的输出力矩。