串并联电路综合

电路是电流流通的闭合路径，根据元件连接方式的不同，可以分为串联和并联两种基本形式。在实际应用中，家中的每盏电灯都独立地与电源相连，某盏灯熄灭不影响其他灯继续发光——这是并联的典型体现；而台灯的开关与灯泡依次相连，开关断开则灯灭——这是串联的典型体现。在更复杂的电路中，串联和并联往往同时存在，形成混联电路。学会分析混联电路，正确使用电流表与电压表，并运用欧姆定律解决综合电路问题，是电路学习的核心目标。

串联电路的基本规律

将几个电阻首尾相连，组成一条没有分支的电路，这种连接方式叫做串联。串联电路中，电流只有一条路径，从电源正极出发，依次经过每个电阻，回到负极。

串联电路有三条基本规律：

电流规律——串联电路中各处电流相等：

$I = I_1 = I_2 = I_3$

电压规律——串联电路的总电压等于各部分电压之和：

$U = U_1 + U_2 + U_3$

电阻规律——串联电路的总电阻等于各电阻之和：

$R = R_1 + R_2 + R_3$

例1 三个电阻 $R_1 = 10\,\Omega$、$R_2 = 20\,\Omega$、$R_3 = 30\,\Omega$ 串联后接在 的电源上，求电路中的电流和各电阻两端的电压。

总电阻：

$R = R_1 + R_2 + R_3 = 10 + 20 + 30 = 60\,\Omega$

电路中的电流：

$I = \frac{U}{R} = \frac{120}{60} = 2\,\text{A}$

各电阻两端的电压：

$U_1 = IR_1 = 2 \times 10 = 20\,\text{V}$

$U_2 = IR_2 = 2 \times 20 = 40\,\text{V}$

$U_3 = IR_3 = 2 \times 30 = 60\,\text{V}$

验证：$U_1 + U_2 + U_3 = 20 + 40 + 60 = 120\,\text{V} = U$，结果正确。

各参量对比汇总：

从表中可以看出：三个电阻的电流完全相同，而电压按照阻值大小按比例分配。

并联电路的基本规律

将几个电阻的两端分别连接在相同的两个节点上，使每个电阻都独立地与电源相连，这种连接方式叫做并联。并联电路中有多条并行的支路，每条支路独立工作。

并联电路也有三条基本规律：

电压规律——并联电路中各支路的电压相等：

$U = U_1 = U_2 = U_3$

电流规律——并联电路的干路总电流等于各支路电流之和：

$I = I_1 + I_2 + I_3$

电阻规律——并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和：

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

两个电阻并联时，总电阻有一个简便公式：

$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

例2 两个电阻 $R_1 = 60\,\Omega$、$R_2 = 30\,\Omega$ 并联后接在 $U = 12\,\text{V}$ 的电源上，求总电阻、各支路电流和总电流。

总电阻：

$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{60 \times 30}{60 + 30} = \frac{1800}{90} = 20\,\Omega$

各支路电流：

$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{12}{60} = 0.2\,\text{A}$

$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{12}{30} = 0.4\,\text{A}$

总电流：

$I = I_1 + I_2 = 0.2 + 0.4 = 0.6\,\text{A}$

验证：$I = U/R = 12/20 = 0.6\,\text{A}$，结果一致。

各参量对比汇总：

串并联混合电路的分析

在实际电路中，串联和并联往往同时存在，形成混联电路。分析混联电路的关键在于正确判断各电阻之间的连接关系，将复杂电路逐步化简为单一的等效电阻。

分析混联电路的基本步骤如下：

第一步，判断各电阻的连接关系，识别出哪些部分是串联，哪些部分是并联。

第二步，先计算并联部分的等效电阻，将并联组合替换为一个等效电阻。

第三步，再将等效电阻与其余串联部分合并，求出总电阻。

第四步，由总电压和总电阻求出干路总电流，然后逐步求各支路的电流和电压。

例3 如图所示电路中，$R_1 = 10\,\Omega$，$R_2 = 20\,\Omega$，$R_3 = 30\,\Omega$。其中 与 并联，再与 串联，电源电压 ，求各电阻的电流和电压。

第一步，求 $R_2$ 与 $R_3$ 的并联等效电阻：

$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12\,\Omega$

第二步，求总电阻：

$R_{总} = R_1 + R_{23} = 10 + 12 = 22\,\Omega$

第三步，求干路总电流（即通过 $R_1$ 的电流）：

$I_1 = \frac{U}{R_{总}} = \frac{30}{22} \approx 1.36\,\text{A}$

第四步，求并联部分两端的电压：

$U_{23} = I_1 \times R_{23} = 1.36 \times 12 \approx 16.4\,\text{V}$

第五步，求各支路电流：

$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{16.4}{20} = 0.82\,\text{A}$

$I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{16.4}{30} \approx 0.55\,\text{A}$

验证：$U_1 + U_{23} = I_1 R_1 + U_{23} = 1.36 \times 10 + 16.4 = 13.6 + 16.4 = 30\,\text{V} = U$，结果正确。

混联电路各量汇总：

电流表与电压表的正确使用

电流表和电压表是测量电路中电流和电压的基本仪器，使用方法不同，接线也截然相反，必须正确操作，否则会损坏仪表。

电流表的内阻极小，相当于一段导线，使用时必须串联在被测电路中，让被测电流完整地流过电流表。若将电流表并联在电路中，几乎相当于将被测部分短路，电流表会因电流过大而烧毁。

电压表的内阻极大，几乎不允许电流通过，使用时必须并联在被测元件两端，让电压表与被测元件共享同一电压。若将电压表串联在电路中，由于内阻极大，电路几乎断路，无法正常工作。

使用时还需注意量程的选择。电流表和电压表通常有两个量程，读数前要确认选用了哪个量程，再对应读取刻度盘上的数值。

量程选择的原则：估计被测量的大致范围，选择比该范围稍大的量程。如无法估计，应先选大量程试接，再换小量程以提高精度。接线时还要注意正负极，电流从电流表「$+$」端流入、「$-$」端流出；电压表「$+$」端接高电位、「$-$」端接低电位。

例4 在一个简单电路中，已知电阻 $R = 50\,\Omega$，接在电源两端。现要分别用电流表和电压表测量该电阻的电流和两端电压，描述正确的接线方式，并计算若电源电压为 $10\,\text{V}$ 时的读数。

电流表接法：将电流表与电阻 $R$ 串联，使电路中的电流依次流过电阻和电流表。

电压表接法：将电压表的两个接线柱分别接在电阻 $R$ 的两端，形成并联。

读数计算：

$I = \frac{U}{R} = \frac{10}{50} = 0.2\,\text{A}$

$U_R = IR = 0.2 \times 50 = 10\,\text{V}$

电流表示数为 $0.2\,\text{A}$，电压表示数为 $10\,\text{V}$。

用欧姆定律解决综合电路题

欧姆定律 $I = U/R$ 是解决一切电路问题的核心公式。对于复杂的混联电路，解题思路是将整体与局部结合起来，综合运用串联和并联的电路规律，逐步求解每个元件上的电流、电压和功率。

解混联电路题的通用策略：先化简电路，求出总电阻和总电流；再从干路入手，利用串联分压规律求各段电压；最后利用并联分流规律求各支路电流。每一步计算完毕，都可以用已知条件进行验证。

例5 如图所示，$R_1 = 6\,\Omega$，$R_2 = 12\,\Omega$，$R_3 = 4\,\Omega$。 与 并联后再与 串联，电源电压 ，求：（1）总电阻；（2）通过 的电流；（3） 和 各自的电流。

（1）$R_1$ 与 $R_2$ 的并联等效电阻：

$R_{12} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$

总电阻：

$R_{总} = R_{12} + R_3 = 4 + 4 = 8\,\Omega$

（2）通过 $R_3$ 的电流（即干路总电流）：

$I_3 = \frac{U}{R_{总}} = \frac{24}{8} = 3\,\text{A}$

（3）$R_3$ 两端电压：

$U_3 = I_3 R_3 = 3 \times 4 = 12\,\text{V}$

并联部分两端电压：

$U_{12} = U - U_3 = 24 - 12 = 12\,\text{V}$

各支路电流：

$I_1 = \frac{U_{12}}{R_1} = \frac{12}{6} = 2\,\text{A}$

$I_2 = \frac{U_{12}}{R_2} = \frac{12}{12} = 1\,\text{A}$

验证：$I_1 + I_2 = 2 + 1 = 3\,\text{A} = I_3$，干路电流等于各支路电流之和，结果正确。

综合计算结果汇总：

电路故障分析

电路在使用过程中可能出现故障，最常见的两种故障是断路和短路。断路是指电路中某处断开，电流无法通过；短路是指导线或元件将某一段电路两端直接相连，使该段几乎没有电阻，电流绕过该段元件不经过正常路径流通。

判断故障的基本方法：

用电压表依次测量电路各段的电压，是排查故障的有效手段。若某元件两端电压为零，可能是该元件被短路，或该元件所在支路断路（整条支路不通电）；若某元件两端电压等于电源电压，通常说明该处发生了断路。

例6 某串联电路由电源（$U = 6\,\text{V}$）、$R_1$、$R_2$ 三部分构成。用电压表分别测量两电阻，发现 $U_{R_1} = 0\,\text{V}$，。请判断故障类型和位置。

$R_2$ 两端电压等于电源电压，说明电源电压全部降落在 $R_2$ 上，意味着电路中其他地方没有正常分压。$R_1$ 两端电压为零，说明没有电流流过 $R_{}$，但 有电流——这正是断路的特征。

结论：$R_2$ 正常工作，$R_1$ 发生了断路，电源电压全部降落在断路处（$R_1$ 两端）。

例7 已知两个电阻 $R_1 = 20\,\Omega$、$R_2 = 30\,\Omega$ 并联后接在电源上。正常工作时干路电流为 $I = 1\,\text{A}$。若 支路发生断路，干路电流变为多少？

正常工作时，电源电压为：

$U = I \times R_{并} = 1 \times \frac{20 \times 30}{20 + 30} = 1 \times 12 = 12\,\text{V}$

$R_1$ 断路后，只有 $R_2$ 支路导通，干路电流变为：

$I' = \frac{U}{R_2} = \frac{12}{30} = 0.4\,\text{A}$

干路电流从 $1\,\text{A}$ 下降为 $0.4\,\text{A}$。并联电路中一个支路断路，不影响其他支路正常工作，但干路总电流会减小。

练习题

选择题

第1题 三个电阻 $R_1 = 5\,\Omega$、$R_2 = 10\,\Omega$、$R_3 = 15\,\Omega$ 串联，接在 电源上， 两端的电压为（　　）

A. $10\,\text{V}$　　　B. $20\,\text{V}$　　　C. $30\,\text{V}$　　　D. $40\,\text{V}$

第2题 两个电阻 $R_1 = 6\,\Omega$ 和 $R_2 = 3\,\Omega$ 并联，总电阻为（　　）

A. $9\,\Omega$　　　B. $4.5\,\Omega$　　　C. $3\,\Omega$　　　D. $2\,\Omega$

第3题 在串联电路中，关于电流表和电压表的接法，下列说法正确的是（　　）

A. 电流表并联、电压表串联

B. 电流表串联、电压表串联

C. 电流表串联、电压表并联

D. 电流表并联、电压表并联

第4题 在并联电路中，$R_1$ 和 $R_2$ 两个支路正常工作。若在电路中再并联接入第三个电阻 $R_3$，以下说法正确的是（　　）

A. 各原有支路 $R_1$、$R_2$ 两端电压减小

B. 电路总电阻增大

C. 干路总电流增大

D. $R_1$、$R_2$ 各自的支路电流减小

计算题

第5题 电路中，$R_1 = 4\,\Omega$，$R_2$ 和 $R_3$ 并联后与 串联。已知 ，，电源电压 。求：（1）电路总电阻；（2）通过 的电流；（3）通过 的电流和 两端电压。

第6题 某电路由电源（$U = 18\,\text{V}$）和三个电阻组成：$R_1 = 3\,\Omega$ 与 $R_2 = 6\,\Omega$ 串联后，再与 并联，最终接到电源上。求：（1） 与 串联后的等效电阻；（2）整个电路的总电阻；（3）通过 的电流；（4）通过 的电流。

并联总电阻小于任一支路电阻，排除 A、B、C。

总电阻：

$R_{总} = R_1 + R_{23} = 4 + 4 = 8\,\Omega$

（2）通过 $R_1$ 的电流（即干路电流）：

$I_1 = \frac{U}{R_{总}} = \frac{20}{8} = 2.5\,\text{A}$

（3）$R_1$ 两端电压：

$U_1 = I_1 R_1 = 2.5 \times 4 = 10\,\text{V}$

并联部分两端电压：

$U_{23} = U - U_1 = 20 - 10 = 10\,\text{V}$

通过 $R_2$ 的电流：

$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{10}{6} \approx 1.67\,\text{A}$

$R_2$ 两端电压即为 $U_{23} = 10\,\text{V}$。

结论： 总电阻为 $8\,\Omega$；$R_1$ 电流为 $2.5\,\text{A}$；$R_2$ 电流约为 $1.67\,\text{A}$，两端电压为 $10\,\text{V}$。

（2）$R_{12}$ 与 $R_3$ 并联的总电阻：

$R_{总} = \frac{R_{12} \times R_3}{R_{12} + R_3} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = 4.5\,\Omega$

（3）各支路电压均等于电源电压（并联）：

$U_{R_3} = U = 18\,\text{V}$

通过 $R_3$ 的电流：

$I_3 = \frac{U}{R_3} = \frac{18}{9} = 2\,\text{A}$

（4）通过 $R_{12}$ 支路的电流（即通过 $R_1$ 的电流）：

$I_{12} = \frac{U}{R_{12}} = \frac{18}{9} = 2\,\text{A}$

由于 $R_{12} = R_3 = 9\,\Omega$，两支路电流相等，均为 $2\,\text{A}$。

干路总电流：$I = I_3 + I_{12} = 2 + 2 = 4\,\text{A}$

验证：$I = U / R_{总} = 18 / 4.5 = 4\,\text{A}$，结果正确。

结论： $R_1$、$R_2$ 串联等效电阻为 $9\,\Omega$；总电阻为 $4.5\,\Omega$；通过 $R_3$ 的电流为 $2\,\text{A}$；通过 $R_1$ 的电流为 $2\,\text{A}$。