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输运现象

气体分子在空间中不断运动和碰撞，这种微观运动不仅产生了压强，还能将动量、能量和质量从一处搬运到另一处。当流体各处速度不同时，动量从快速层传向慢速层，表现为粘度；当温度不均匀时，热量从高温处流向低温处，表现为热传导；当浓度不均匀时，分子从高浓度处向低浓度处迁移，表现为扩散。这三种现象合称输运现象，背后都有同一个微观根源——分子的平均自由程。

粘度与流体内摩擦

向桌上同时倒出蜂蜜和清水，蜂蜜缓慢蔓延，清水迅速铺开，两者的差别来自粘度的不同。粘度描述的是流体抵抗形变的能力，本质上是流体内部各层之间的摩擦力。

取一段水平流动的流体，靠近管壁的流体速度接近零，远离管壁的流体速度较大。相邻速度不同的流体层之间存在相互作用的切向力，阻碍快速层继续加速、慢速层继续减速。1687年，牛顿通过实验总结出粘性定律：相邻层之间的剪切应力 $\tau$ （单位面积上的切向力）与速度梯度成正比：

\tau = \eta \frac{dv}{dz}

其中 $\eta$ 称为动力粘度（单位 $\mathrm{Pa \cdot s}$ ）， $dv/dz$ 是速度沿垂直方向的变化率。满足此规律的流体称为牛顿流体，包括水、空气等常见流体。

表中数据呈现两条规律：温度升高，液体粘度减小（分子热运动增强，层间能垒降低）；气体粘度随温度升高而增大（分子碰撞更频繁，跨层动量交换加剧）。液态蜂蜜加热后变得容易倾倒，正是液体粘度随温度下降的体现。

从微观角度看，流速较大的流体层中分子整体平动速度较大，流速较小的层中分子整体平动速度较小。分子在碰撞中跨层交换位置，将动量从快速层带到慢速层，这种动量传输在宏观上就表现为粘性力。气体动理论给出动力粘度的近似表达式：

\eta \approx \frac{1}{3} \rho \bar{v} \lambda

其中 $\rho$ 是气体密度， $\bar{v}$ 是分子平均速率， $\lambda$ 是平均自由程。这个结果有一个反直觉的推论：在不太高的压强范围内，增大气体压强时密度 $\rho$ 增大而 $\lambda$ 减小，两者相抵，气体粘度几乎不变。麦克斯韦最初推导出这一结论时也深感意外，随后通过实验证实了这一奇特现象。

粘度的微观本质是动量的跨层传输：分子在碰撞中将携带的动量从一层流体搬运到相邻层，宏观上就产生了阻碍相对运动的摩擦力。气体粘度几乎与压强无关，这是气体动理论的一个重要预言。

热传导

冬天握住一杯热茶，热量通过杯壁从热茶流向手掌。这种热量的定向流动不需要宏观物质移动，而是通过分子碰撞在高温区和低温区之间传递能量，这种方式称为热传导。

1822年，傅里叶提出了描述热传导的定量定律：单位时间通过单位面积传递的热量（热流密度 $J_Q$ ）与温度梯度成正比，且热量从高温流向低温：

\vec{J}_Q = -\kappa \nabla T

在一维情形下简化为：

J_Q = -\kappa \frac{dT}{dx}

其中 $\kappa$ 是热导率（单位 $\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}$ ），负号表示热流方向与温度梯度方向相反。

金属热导率远高于非金属，因为金属中的自由电子也能传热，效率比分子碰撞高得多。聚苯乙烯泡沫的热导率接近空气——泡沫中大量封闭的小气泡阻止了热对流，只剩导热极慢的静止气体起作用，因此保温效果极佳。

对一块厚度为 $L$ 、截面积为 $A$ 的均匀平板，两侧温度分别为 $T_H$ （热侧）和 $T_C$ （冷侧），稳态下温度线性分布，热流速率为：

\dot{Q} = \kappa A \frac{T_H - T_C}{L}

建筑中常用“热阻”概念描述隔热能力： $R = L/(\kappa A)$ ，热阻越大隔热越好。多层墙壁的热阻串联相加，与电路中电阻串联完全类比。

傅里叶热传导定律 $\vec{J}_Q = -\kappa \nabla T$ 表明热流密度与温度梯度成正比，负号保证热量从高温流向低温。固体、液体和气体中的稳态导热均适用这一定律。

气体的热导率由动理论给出：

\kappa \approx \frac{1}{3} n c_V \bar{v} \lambda

其中 $n$ 是分子数密度， $c_V$ 是单个分子的定容热容。与粘度类似，气体热导率在不太高的压强范围内也几乎与压强无关，这一规律可用于真空隔热的设计——将两层容器壁之间抽真空，热导率趋近于零，热量无法通过气体传导，保温瓶正是利用了这一原理。

扩散现象

向一杯静止的清水中轻轻滴入一滴红墨水，墨水会缓慢向四周扩散，最终将整杯水染成均匀的淡红色。这种由浓度差驱动的粒子迁移称为扩散，是自然界极为普遍的过程：香水分子散发气味、氧气渗入血液、碳原子在高温铁中迁移，都属于扩散现象。

1855年，菲克（Adolf Fick）在实验基础上提出了扩散定律：粒子流量密度（单位时间通过单位面积的粒子数）与浓度梯度成正比：

\vec{J}_n = -D \nabla n

在一维情形下：

J_n = -D \frac{dn}{dx}

其中 $n$ 是粒子数密度（单位 $\mathrm{m^{-3}}$ ）， $D$ 是扩散系数（单位 $\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}$ ），负号表明粒子从高浓度向低浓度流动。

气体扩散系数比液体大约五个数量级，说明气体分子间空隙大、平均自由程长，分子迁移速率远高于液体。固体中的扩散更慢，但在高温冶金中至关重要——钢铁的渗碳处理正是利用碳原子在高温下缓慢扩散进入铁晶格的原理，使钢的表面硬度大幅提升。

菲克定律与傅里叶热传导定律在数学形式上完全相同——流量密度正比于梯度，方向相反。这不是巧合，而是反映了输运现象共同的微观机制：分子在热运动中携带某种物理量（动量、能量或粒子数）跨越不均匀区域进行传输。

三者的微观统一

粘度、热导率和扩散系数看似描述三种不同现象，但从气体动理论出发，三者都源于同一个微观图像：分子在平均自由程尺度上随机游走，将某种守恒量从一处转移到另一处。

设气体分子平均速率为 $\bar{v}$ ，平均自由程为 $\lambda$ ，气体密度为 $\rho$ ，单位质量的定容比热容为 $c$ ，则三个输运系数的近似表达式为：

\eta \approx \frac{1}{3} \rho \bar{v} \lambda \qquad \kappa \approx \frac{1}{3} \rho c \bar{v} \lambda \qquad D \approx \frac{1}{3} \bar{v} \lambda

由上表可以写出三者之间的简洁关系：

\kappa = \rho c D, \qquad \eta = \rho D

以氮气在 $T = 300\,\mathrm{K}$ 、 $p = 1\,\mathrm{atm}$ 下为例， $\bar{v} \approx 475\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ ，：

D \approx \frac{1}{3} \times 475 \times 66 \times 10^{-9} \approx 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}

与实测值（约 $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}$ ）量级一致，验证了动理论近似的合理性。

以上三个近似公式中的系数 $1/3$ 来自对分子运动各向同性的假设，精确计算需要更仔细地取平均，实际系数略有不同。这些公式对气体适用较好，对液体需要更复杂的理论修正。

热扩散方程与牛顿冷却定律

稳态导热中温度分布不随时间变化，但实际问题常常需要了解温度如何随时间演化——例如一根刚从炉中取出的铁棒，其内部温度如何随时间趋于均匀。将傅里叶定律与能量守恒相结合，对一维细棒中的微元应用能量守恒（流入热量减去流出热量等于内能增加），可以推导出热扩散方程：

\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

其中热扩散率 $\alpha$ 定义为：

\alpha = \frac{\kappa}{\rho c}

$\alpha$ 越大，温度均衡越快，单位为 $\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}$ ，与扩散系数 $D$ 量纲相同，物理意义也类似。

铜的热扩散率约是木材的 800 倍，这正是铜质散热器能迅速均匀温度，而木制隔热层能长时间维持温差的根本原因。

稳态条件下 $\partial T / \partial t = 0$ ，热扩散方程退化为：

\frac{d^2 T}{dx^2} = 0

其解为线性温度分布： $T(x) = T_C + (T_H - T_C)\,x/L$ ，从冷端到热端温度均匀变化，与实验观测完全吻合。

牛顿冷却定律描述的是物体与环境之间的对流换热：当物体温度 $T$ 与环境温度 $T_\text{env}$ 的差值不太大时，物体的降温速率近似与温差成正比：

\frac{dT}{dt} = -h(T - T_\text{env})

其中 $h$ （单位 $\mathrm{s^{-1}}$ ）是与物体形状、表面积和对流条件有关的冷却常数。对这个方程求解，得到：

T(t) = T_\text{env} + (T_0 - T_\text{env})\,e^{-ht}

其中 $T_0$ 是初始温度。物体温度以指数形式衰减到环境温度，特征时间为 $\tau = 1/h$ 。

以一杯从 $90\,\mathrm{°C}$ 冷却到室温 $20\,\mathrm{°C}$ 的热茶为例，若测得 $10\,\mathrm{min}$ 后温度降至 $70\,\mathrm{°C}$ ，可以求出冷却常数：

70 - 20 = (90 - 20)\,e^{-h \times 600\,\mathrm{s}} \implies \frac{50}{70} = e^{-600h}

h = -\frac{\ln(5/7)}{600} \approx 5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s^{-1}}

特征时间 $\tau = 1/h \approx 1800\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{min}$ ，约 30 分钟后温差降至初始温差的 $1/e \approx 37\%$ 。

牛顿冷却定律 $dT/dt = -h(T - T_\text{env})$ 仅在温差不太大时成立。温差很大时，热辐射（正比于 $T^4$ ）的贡献不可忽略，冷却规律将偏离简单的指数形式。

练习

选择题

题一（傅里叶热传导定律）

一块厚度 $L = 0.1\,\mathrm{m}$ 、截面积 $A = 1\,\mathrm{m^2}$ 的砖墙，热导率 $\kappa = 0.8\,\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}$ ，内侧温度，外侧温度，稳态下通过砖墙的热流速率为

A. $24\,\mathrm{W}$ B. $120\,\mathrm{W}$ C. $240\,\mathrm{W}$ D. $480\,\mathrm{W}$

答案：C

\dot{Q} = \kappa A \frac{T_H - T_C}{L} = 0.8 \times 1 \times \frac{20 - (-10)}{0.1} = 0.8 \times 300 = 240\,\mathrm{W}

题二（牛顿冷却定律）

某物体初始温度 $T_0 = 80\,\mathrm{°C}$ ，环境温度 $T_\text{env} = 20\,\mathrm{°C}$ ，满足牛顿冷却定律，冷却常数。经过，物体温度约为

A. $20\,\mathrm{°C}$ B. $30\,\mathrm{°C}$ C. $50\,\mathrm{°C}$ D. $60\,\mathrm{°C}$

答案：C

T(t) = T_\text{env} + (T_0 - T_\text{env})\,e^{-ht} = 20 + 60 \times e^{-0.02 \times 35} = 20 + 60 \times e^{-0.7}

题三（扩散系数与压强的关系）

根据气体动理论，气体扩散系数 $D \approx \frac{1}{3}\bar{v}\lambda$ 。在温度不变的条件下，将气体压强增大为原来的 2 倍，则扩散系数 $D$ 大约变为原来的

A. $2$ 倍 B. $\sqrt{2}$ 倍 C. $\dfrac{1}{2}$ 倍 D. 不变

答案：C

温度不变时，分子平均速率 $\bar{v}$ 不变。压强增大 2 倍，由 $p = nk_BT$ 知分子数密度 $n$ 增大 2 倍，平均自由程 $\lambda \propto 1/n$ 减小为原来的。

题四（气体粘度的温度依赖）

对于气体，下列关于粘度 $\eta$ 随温度变化的描述，正确的是

A. 温度升高，粘度减小，与液体行为相同

B. 温度升高，粘度增大，与液体行为相反

C. 粘度与温度无关，只与压强有关

D. 温度升高，粘度先增大后减小

答案：B

由 $\eta \approx \frac{1}{3}\rho\bar{v}\lambda$ ，在恒压条件下，温度升高时分子数密度 $n \propto 1/T$ （密度减小），平均速率增大，平均自由程（碰撞截面不变时），综合得：

计算题

题五（复合墙稳态热传导）

一面复合墙由两层材料组成：外层为厚度 $L_1 = 0.2\,\mathrm{m}$ 的砖（热导率 $\kappa_1 = 0.8\,\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}$ ），内层为厚度的保温材料（热导率）。室外温度，室内温度，墙面积。① 分别计算两层的热阻和；② 计算通过复合墙的稳态热流速率；③ 求砖层与保温层接触面处的温度。

① 热阻计算

R_1 = \frac{L_1}{\kappa_1 A} = \frac{0.2}{0.8 \times 15} = \frac{0.2}{12} \approx 0.0167\,\mathrm{K \cdot W^{-1}}

题六（牛顿冷却定律计算）

一个金属球从 $T_0 = 120\,\mathrm{°C}$ 开始在 $T_\text{env} = 25\,\mathrm{°C}$ 的环境中冷却，满足牛顿冷却定律。测得第时金属球温度为。① 由此确定冷却常数（单位）；② 求金属球降至所需的时间；③ 理论上金属球能否在有限时间内完全冷却至？为什么？

① 确定冷却常数 $h$

由 $T_1 = T_\text{env} + (T_0 - T_\text{env})\,e^{-h \times 10}$ ：

h = 0.02 m i n^{- 1}

h = 0.02\,\mathrm{min^{-1}}

10 m i n

10\,\mathrm{min}

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