电容器、电介质与静电场能量 | 自在学

第10章电容器、电介质与静电场能量

照相机闪光灯在按下快门前会先充电，除颤器也会把能量暂存在电路里。奇怪的是，电容器的两块金属板并没有接通，电荷过不去，它为什么还能“装电”？如果把一块绝缘材料塞进两板之间，导线没有改变，装下的电荷却还能变多；而拔掉电源再做同样的事，电压和能量的变化又完全不同。

这几个现象提醒我们：本章真正要追踪的不是某一个孤立公式，而是三条彼此咬合的线索——几何结构怎样决定电容，介质怎样重排内部电荷，能量怎样在电源、机械运动与电场之间转移。只要把“谁保持不变”看清楚，很多看似相反的结论就会自动归位。

10.1 电容：同样的电势差，结构能容纳多少电荷

把两个彼此绝缘的导体组成一个系统，让它们分别带等量异号电荷 $+Q$ 和 $-Q$ 。若两导体的电势差为

U=V_A-V_B>0,

则定义该电容器的电容为

C=\frac{Q}{U}.

电容的国际单位是法拉，符号为 $\mathrm F$ ；常用单位还有 $\mu\mathrm F$ 、 $\mathrm{nF}$ 和 $\mathrm{pF}$ 。这里的 $Q$ 是任一极板所带电荷量的绝对值，不是两板电荷绝对值相加后的 $2Q$ 。

你可能会下意识地说：“既然 $C=Q/U$ ，给电容器多充一点电， $C$ 不就变大了吗？”这正是第一个陷阱。对线性介质和固定几何结构， $Q$ 增大时 $U$ 同比例增大，比值不变。电容刻画的是结构在单位电势差下容纳自由电荷的能力，它由导体形状、相对位置和周围介质决定，不由某一次充了多少电决定。 $C=Q/U$ 是定义式，不是“电荷导致电容”的因果式。

平行板电容器：从场强推回电容

先看最常用的理想模型。两块面积均为 $S$ 的平行金属板相距 $d$ ，板的线度远大于间距，因而忽略边缘处弯曲的电场线。真空中板间场强近似均匀：

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0S}.

沿板间距离积分得到电势差 $U=Ed$ ，于是

C_0=\frac{Q}{U}=\varepsilon_0\frac{S}{d}.

平行板电容器的几何量、面电荷与板间电场

这条式子与直觉相符：极板越大，可分布电荷的面积越大，电容越大；两板越近，同样电荷形成的电势差越小，电容越大。但要把适用条件一起记住：板间距必须相对较小、忽略边缘效应，板间介质均匀，导体处于静电平衡。若 $d$ 已与板的边长相当，再直接套 $\varepsilon_0S/d$ ，误差就不再是小修小补。

例1　先把单位放进模型

真空平行板电容器的极板面积为 $200\ \mathrm{cm^2}$ ，间距为 $1.00\ \mathrm{mm}$ 。求其电容。

先统一为国际单位： $S=200\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}=2.00\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ ，。

球形和圆柱形结构：电场不均匀也能算电容

平行板并不是唯一的电容器。只要先由高斯定理得到两导体之间的电场，再计算电势差，最后取 $Q/U$ ，同一条思路就能处理其他高对称结构。

同心球形与同轴圆柱形电容器的剖面和几何参数

同心球形电容器的内外导体半径分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $b>a$ 。若其间充满介电常数为 $\varepsilon$ 的均匀线性介质，在 $a<r<b$ 区域有

E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}.

内球相对外球的电势差为

U=\int_a^b E(r)\,\mathrm dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac1a-\frac1b\right),

因此

C=4\pi\varepsilon\frac{ab}{b-a}.

让 $b\to\infty$ ，便得到孤立导体球相对于无穷远的电容 $C=4\pi\varepsilon a$ 。这里说“孤立导体球的电容”，默认另一“极”在无穷远，不能把它误解成只有一块导体也不需要电势参考。

对长度为 $l$ 、内外导体半径分别为 $a$ 和 $b$ 的同轴圆柱电容器，忽略端部效应并要求 $l$ 远大于横向尺度。以 $\lambda=Q/l$ 表示单位长度自由电荷，介质中的场为

E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r},

于是

U=\int_a^bE(r)\,\mathrm dr =\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\ln\frac ba, \qquad C=\frac{2\pi\varepsilon l}{\ln(b/a)}.

注意，对数的自变量必须无量纲，所以出现的是半径比 $b/a$ ，而不是 $\ln b-ln a$ 后分别把带单位的数送进计算器。数学上两种写法形式相通，物理书写却必须让对数作用于无量纲量。

现在先做一个判断：同轴电缆的外导体半径 $b$ 增大而其他条件不变，电容会怎样？因为 $\ln(b/a)$ 增大，单位长度电容反而减小。若只记“导体面积大，电容大”，就会被不适用的平行板直觉带偏。

下面的探索器把三种几何模型放在同一张工作台上。先根据公式预测某个参数增大后的趋势，再拖动滑块核对；特别留意每种公式旁边写着的近似条件。

探索后应能归纳出一条比背三个式子更稳的规则：电容总由“给定几何和介质时，单位电势差对应多少自由电荷”决定。几何不同，先求场与电势差，而不是生搬 $S/d$ 。

串联与并联：到底是谁相同

多个电容器组合时，最容易把“同电压”和“同电荷”互换。把电路中的节点标清楚，结论会自然出现。

电容器串联与并联时的连接、电荷和电压关系

并联时，各电容器接在同一对节点之间，所以电势差相同，总电荷为各支路电荷之和：

Q=\sum_iQ_i=\sum_iC_iU, \qquad C_{\mathrm{eq}}=\sum_iC_i.

串联时，若中间导体节点起初不带净电荷，充电过程中流入一侧的电荷量与从另一侧流出的电荷量相等，因而各电容器极板上的电荷量绝对值相同，而总电压为各段电压之和：

U=\sum_iU_i=Q\sum_i\frac1{C_i}, \qquad \frac1{C_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac1{C_i}.

“串联电荷相同”不是无条件口号。若中间节点预先带有额外净电荷，简单结论就需要重新分析；而串联组合对外端所取的 $Q$ ，仍是电源从端点搬移的电荷量。大学物理题通常默认中间节点最初电中性，写解答时最好把这个条件留在脑中。

先预测： $2.0\ \mu\mathrm F$ 和 $3.0\ \mu\mathrm F$ 串联后，等效电容会位于两者之间吗？不会，结果是 $1.2\ \mu\mathrm F$ ，比其中任一个都小；改成并联则为 $5.0\ \mu\mathrm F$ 。在下面的实验台中改变电容和连接方式，观察“同电荷”或“同电压”究竟如何由节点条件产生。

操作后的可靠检查是：并联等效电容应大于任一支路，串联等效电容应小于最小的单个电容；若数值不满足，通常是关系式或单位换算出了问题。

组合公式背后还有一个值得保留的能量视角。若并联组合保持相同电压，各支路能量可以直接相加：

W=\sum_i\frac12C_iU^2 =\frac12\left(\sum_iC_i\right)U^2.

这与 $C_{\mathrm{eq}}=\sum_iC_i$ 完全一致。串联时则应先用公共电荷 $Q$ ：

W=\sum_i\frac{Q^2}{2C_i} =\frac{Q^2}{2}\sum_i\frac1{C_i} =\frac{Q^2}{2C_{\mathrm{eq}}}.

所以等效电容不只复现端口的 $Q-U$ 关系，也复现组合从端口看去的总静电能量。这个检验很实用：如果一个所谓“等效值”连能量都对不上，它就没有真正替代原组合。

10.2 电介质为什么能改变电场

把玻璃、陶瓷或塑料放进电场，它们通常没有可在整块材料中自由移动的载流子，不能像金属那样迅速达到内部场为零。可“电荷不能穿过材料”不等于“内部电荷完全不动”。原子和分子内部的正负电荷可以发生微小相对位移，原有偶极矩也可以部分转向，这就是电介质的极化。

无极分子在无外场时正负电荷中心重合，外场使它们稍微分离，形成感生电偶极矩；有极分子本来就有永久电偶极矩，但热运动使取向杂乱，外场使取向呈现统计偏向。宏观上，我们用单位体积内电偶极矩的矢量和来定义极化强度：

\mathbf P=\frac{\sum\mathbf p_i}{\Delta V}.

无极与有极电介质在外电场中的极化及束缚面电荷

极化后，介质表面出现不能脱离分子任意迁移的束缚电荷。对连续极化介质，束缚体电荷密度和束缚面电荷密度分别写作

\rho_b=-\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf P, \qquad \sigma_b=\mathbf P\cdot\mathbf n,

其中 $\mathbf n$ 是介质表面的外法线。均匀极化时内部 $\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf P=0$ ，体内可以没有束缚体电荷，但表面仍可能有束缚面电荷。看到“均匀极化”就断言“没有束缚电荷”，是把体电荷和面电荷混在了一起。

以充电后与电源断开的平行板为例，极板自由电荷固定。介质表面的束缚电荷建立一个与原外场反向的附加场，使介质内总场减弱。若介质为均匀、线性、各向同性材料，定义相对介电常数 $\varepsilon_r$ ，常记为 $\kappa$ ，则

\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E, \qquad \mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P =\varepsilon\mathbf E,

其中

\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r, \qquad \varepsilon_r=1+\chi_e.

为什么还要引入电位移矢量

真空中的高斯定理对总电荷成立；有介质时，总电荷包括自由电荷与束缚电荷。若每道题都先求束缚电荷再求 $\mathbf E$ ，账目会很繁。利用束缚电荷与 $\mathbf P$ 的关系，可以把它们吸收到新矢量

\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P

中，得到介质中的高斯定理

\oint_S\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf S=Q_{\mathrm{free,in}}.

自由电荷、束缚电荷以及电位移矢量和电场的关系

这里最需要踩刹车： $\mathbf D$ 不是另一种实际电场，也不能替代 $\mathbf E$ 去计算试探电荷受力；电荷受力仍由 $\mathbf F=q\mathbf E$ 决定。 $\mathbf D$ 的价值在于它的通量只与高斯面内的自由电荷直接相联系。在具有足够对称性的介质问题中，先由自由电荷求 $\mathbf D$ ，再借助材料关系求 $\mathbf E$ ，往往最省力。

对于两板间完全充满均匀线性介质的平行板电容器，忽略边缘效应时

D=\sigma_f, \qquad E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{\sigma_f}{\varepsilon}, \qquad C=\varepsilon\frac Sd=\varepsilon_r C_0.

若介质非线性、各向异性或空间不均匀， $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$ 未必仍能用一个标量 $\varepsilon$ 表示；但定义式 $\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P$ 和只计自由电荷的高斯定理仍是概念起点。本课程只要求处理线性各向同性介质中的典型对称问题，不把材料响应展开成专业电动力学。

两种“只填了一部分”，等效关系并不一样

题目说板间有两种介质时，先看分界面相对于电场怎样放置。如果两种介质在极板面积上左右并排，各自跨越完整板间距 $d$ ，两部分承受相同电势差，相当于并联。若面积分别为 $S_1$ 、 $S_2$ ，介电常数为 $\varepsilon_1$ 、，则

C=\frac{\varepsilon_1S_1}{d} +\frac{\varepsilon_2S_2}{d}.

若两层介质沿电场方向前后叠放，厚度分别为 $d_1$ 、 $d_2$ ，它们具有相同极板面积 $S$ 。在界面没有自由电荷时，法向 $D$ 连续，对应各层自由电荷量相同；总电势差却是各层电势降之和，因此相当于串联：

U=\frac{Qd_1}{\varepsilon_1S} +\frac{Qd_2}{\varepsilon_2S}, \qquad C=\frac{S}{d_1/\varepsilon_1+d_2/\varepsilon_2}.

注意，这两类结构用的并不是一句“介质使电容乘 $\varepsilon_r$ ”就能概括。只有板间被一种均匀介质完全填满，才可直接写 $C=\varepsilon_rC_0$ ；若材料只占局部，必须先判断哪些区域同电压、哪些区域同自由电荷，再建立等效关系。

例2　先找自由电荷，再找实际电场

无限大平行板之间充满相对介电常数 $\varepsilon_r=5.0$ 的均匀线性介质，极板自由面电荷密度大小为 $\sigma_f=8.85\times10^{-8}\ \mathrm{C\,m^{-2}}$ 。求板间、和极化强度的大小。

取跨越板间的柱形高斯面，由对称性与电介质中的高斯定理得 $D=\sigma_f=8.85\times10^{-8}\ \mathrm{C\,m^{-2}}$ 。

先想一想：增大 $\varepsilon_r$ ，在“自由电荷固定”和“电压固定”两种情况下， $E$ 是否都会减小？不要急着答。下面的极化探索器先固定自由电荷观察屏蔽效应，再切换条件看电源怎样补充自由电荷。

观察结果应当修正一个过度简化的说法：“介质总会让电场变成原来的 $1/\varepsilon_r$ 。”这只对自由电荷固定、几何不变且完全填充均匀线性介质的情形直接成立；若电压由电源固定，板间 $E=U/d$ 不变，增加的是自由电荷和 $D$ 。

10.3 插入介质：先问电源还连不连

设真空平行板电容器原电容为 $C_0$ ，介质完全填满板间后变为 $C'=\varepsilon_rC_0$ 。到这里，两类实验看似只差一根导线，能量账本却完全不同。

插入电介质时孤立电容器与恒压电容器的条件对照

电容器与电源断开：自由电荷量不变

断开电源后，极板上的自由电荷无处转移，因此 $Q$ 不变：

C'=\varepsilon_rC_0, \qquad U'=\frac{Q}{C'}=\frac{U_0}{\varepsilon_r}, \qquad E'=\frac{E_0}{\varepsilon_r}.

电场能量用 $W=Q^2/(2C)$ 计算，故

W'=\frac{W_0}{\varepsilon_r}.

能量减少并不是“凭空消失”。若允许介质自由滑入，电场对介质做正功，减少的场能转化为介质的动能，最终可能因摩擦、碰撞变成内能；若操作者极缓慢地控制插入，电场做的机械功可以被外界取走。

始终接在理想电源上：电势差不变

电源维持 $U$ 不变，板间距也不变，所以理想均匀场 $E=U/d$ 不变。电容增大后，电源向极板补充自由电荷：

Q'=C'U=\varepsilon_rQ_0, \qquad W'=\frac12C'U^2=\varepsilon_rW_0.

这时场能反而增加，介质却仍然受到向电容器内部的吸引。能量从哪里来？在由 $C_0$ 增至 $C'$ 的准静态过程中，电源做功

W_{\mathrm{source}}=U\Delta Q=(C'-C_0)U^2.

其中一半变成增加的场能

\Delta W_{\mathrm{field}}=\frac12(C'-C_0)U^2,

另一半对应电场对介质所做的机械功。只比较电容器内部的 $\tfrac12CU^2$ 而忘记电源，是恒压过程最容易漏掉的能量通道。

判断插入介质后的变化，第一行先写控制条件：断电后孤立通常是 $Q$ 恒定，接理想电源通常是 $U$ 恒定。不能把 $C$ 增大后“ $U$ 下降”和“ $Q$ 增大”同时写在同一个理想过程中。

现实中介质还可能只插入一部分。设矩形极板沿插入方向长度为 $L$ ，介质插入深度为 $x$ ，忽略边缘场。介质区和真空区具有相同电势差，相当于两个并联电容器：

C(x)=C_0\left[1+(\varepsilon_r-1)\frac{x}{L}\right].

因为 $\mathrm dC/\mathrm dx>0$ ，无论固定电压还是固定电荷，电场都倾向把介质拉向电容更大的方向。由能量法可得吸入力大小

F_U=\frac12U^2\frac{\mathrm dC}{\mathrm dx}

和

F_Q=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{\mathrm dC}{\mathrm dx}.

固定电压时不能直接对电容器自身的 $W=\tfrac12CU^2$ 取负梯度，因为电源参与能量交换；把电源也纳入系统后才会得到正确方向。固定电荷时， $W=Q^2/(2C)$ 随插入而降低，负梯度直接给出向内的力。

这里还藏着一个符号问题。令 $x$ 沿介质插入方向增大，则 $\mathrm dC/\mathrm dx>0$ ，上面写出的 $F_U$ 、 $F_Q$ 都是沿正方向的力。若坐标反过来定义，公式中的导数也会变号，最终物理方向仍是“把介质拉向能让电容增大的位置”。能量法不是省略受力方向，而是把方向信息藏进了广义坐标的定义和导数符号里。

若介质被操作者匀速缓慢推入，介质动能近似不变，电场所做的正功由操作者以负功取走；若直接释放，介质会加速，接近末端时还可能振荡或碰撞。理想静电公式只给出准静态状态之间的能量差，并不自动描述真实插入过程中的阻尼、辐射和介质损耗。

现在预测一下：把相同介质缓慢插入相同电容器，恒压过程的场能增加，是否意味着介质会被向外推？在交互里分别锁定 $Q$ 与 $U$ ，观察 $C$ 、 $Q$ 、 $U$ 、 $E$ 、 $W$ 和能量账本怎样同时变化。

操作后应看到：两种条件下 $C$ 都随插入增大，介质都被吸入；不同的是，孤立系统以场能减少支付机械功，恒压系统则由电源同时支付增加的场能与机械功。“力的方向相同”与“电容器场能变化方向相反”并不矛盾，因为系统边界不同。

10.4 能量究竟储存在哪里

给电容器充电不是把第一份电荷搬进去后重复同样的工作。随着极板电荷增加，电势差逐渐增大，后续每搬运一点电荷都更费力。充电到某一中间状态 $q$ 时，电势差为 $u=q/C$ ，继续搬运 $\mathrm dq$ 所需的功为

\mathrm dW=u\,\mathrm dq=\frac qC\,\mathrm dq.

从 $q=0$ 积分到 $Q$ ：

W=\int_0^Q\frac qC\,\mathrm dq =\frac{Q^2}{2C} =\frac12QU =\frac12CU^2.

系数 $1/2$ 来自充电过程中电压从零线性升到 $U$ ，平均电压为 $U/2$ 。若直接写成 $QU$ ，等于假装每一小份电荷都在最终电压下被搬运，会多算一倍。

这些能量可以说储存在电容器中，但更精确的说法是储存在电场中。以充满均匀线性介质的平行板为例， $C=\varepsilon S/d$ 、 $U=Ed$ 、板间体积为 $Sd$ ，于是

W=\frac12\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2 =\frac12\varepsilon E^2(Sd).

因此单位体积的电场能量为

w_e=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D.

对均匀线性各向同性介质，它化为

w_e=\frac12\varepsilon E^2,

真空中则为 $w_e=\varepsilon_0E^2/2$ 。非均匀场的总能量需要对空间积分：

W=\int_Vw_e\,\mathrm dV.

这也解释了实际电容器为什么既标电容量，又标额定电压。增大电压确实能按 $W\propto U^2$ 显著增加储能，但介质中的场强也随之升高；超过材料与结构允许的耐受范围，介质可能发生击穿，绝缘状态被破坏，公式所假定的静电平衡与线性介质条件随即失效。额定电压不是建议值，而是安全边界的一部分。

若只追求大电容，可以增大极板面积、缩小间距、采用较高介电常数的材料；可缩小间距又会在相同电压下增大场强，高介电常数材料也不等于必然具有更高击穿强度。工程设计必须同时考虑电容、体积、耐压、损耗和温度，本章公式给出的是其中最基础的物理约束。做计算题时若所得场强明显高得离谱，也应意识到理想模型可能已越过真实材料的适用范围。

电场能量密度、体积微元与总能量积分的空间图像

“能量密度大”与“总能量大”不是同一句话。某个狭小区域的场很强，局部 $w_e$ 很大，但体积可能很小；另一个区域场稍弱却占据很大空间，积分贡献未必更小。对同轴圆柱电容器， $E\propto1/r$ ，能量密度靠近内导体最大，但必须乘体积元 $\mathrm dV=2\pi rl\,\mathrm dr$ 后再判断每一薄层的能量贡献。

例3　用场能密度找回电容器能量

长度为 $l$ 的同轴圆柱电容器内外半径为 $a$ 、 $b$ ，其间充满介电常数为 $\varepsilon$ 的均匀线性介质，内导体单位长度带电量为 $\lambda$ 。验证场能积分与 $Q^2/(2C)$ 一致。

两导体之间 $E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon r)$ ，因此 $w_e=\varepsilon E^2/2=\lambda^2/(8\pi^2\varepsilon r^2)$ 。

下面先预测：同轴结构中把空间分成等厚圆柱壳，最靠近内导体的一层能量一定最多吗？然后选择同轴圆柱模式，调节积分选区的起止半径，比较局部能量密度、等厚壳层体积与选区能量；再改变内外半径核对整个场区的积分。

读图后应把两层结论分开：点上的颜色或曲线高度代表局部能量密度，曲线与体积权重共同决定总能量；完整积分最终应与 $\tfrac12CU^2$ 一致。这种从电路参数过渡到空间场能的视角，会在下一册讨论磁场能量时再次出现。

10.5 把本章的判断链收紧

遇到电容与介质问题，可以按下面的逻辑推进，而不是先在三个能量公式中猜一个：

先辨认导体几何与对称性，确定能否忽略边缘或端部效应。
用高斯定理和电势差积分求 $Q/U$ ，得到电容；固定结构下，电容不由本次 $Q$ 、 $U$ 的数值决定。
有介质时区分自由电荷与束缚电荷。需要介质响应时用 $\mathbf P$ ，需要只按自由电荷记高斯通量时用 $\mathbf D$ ，真正决定受力的仍是 $\mathbf E$ 。
结构变化前先写控制条件：孤立电容器通常 $Q$ 不变，接理想电源时不变。

期末或考研题里，最常见的失分并不是不会积分，而是漏写模型条件：平行板公式忘了“忽略边缘效应”，同轴公式忘了“忽略端部效应”，介质关系忘了“线性各向同性”，插入过程忘了判断 $Q$ 还是 $U$ 恒定。把条件写在公式旁边，能让后续代数少走很多弯路。

静电场可以在空间中携带能量，下一册的磁场也一样。等我们由电流建立磁场，再讨论自感时，会看到 $LI^2/2$ 与磁场能量密度之间出现一条几乎平行的逻辑链——场不是计算用的背景，它本身就是能量的载体。

本章小结

电容 $C=Q/U$ 表示给定结构和介质容纳自由电荷的能力；在线性条件下，它不由某次充电状态决定。
典型电容器可统一由“求电场—积分电势差—取 $Q/U$ ”得到；平行板、同心球和同轴圆柱公式都有明确几何近似。
无极分子可发生位移极化，有极分子可发生取向极化；宏观极化用 $\mathbf P$ 描述，并产生束缚电荷。
$\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P$ ，其闭合面通量只计面内自由电荷；不是实际电场。

课后练习

1. 电容的含义

某空气电容器充电后，极板电荷量由 $Q$ 增至 $2Q$ ，几何结构不变且仍在线性范围内。它的电容和电势差怎样变化？

2. 平行板电容器

真空平行板电容器的极板面积为 $5.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ ，间距为 $2.00\ \mathrm{mm}$ ，接在 $100\ \mathrm V$ 电源上。忽略边缘效应，求电容、极板电荷量和板间场强。

3. 同心球形电容器

真空中同心球形电容器的内外半径分别为 $a=2.00\ \mathrm{cm}$ 、 $b=5.00\ \mathrm{cm}$ 。求电容，并说明若外球半径趋于无穷，结果趋向什么。

4. 同轴圆柱电容器

一段长 $1.00\ \mathrm m$ 的同轴电缆，内外导体半径为 $1.00\ \mathrm{mm}$ 和 $4.00\ \mathrm{mm}$ ，其间介质的 $\varepsilon_r=2.30$ 。忽略端部效应，求电容。

5. 三只电容的组合

$C_1=2.0\ \mu\mathrm F$ 与 $C_2=3.0\ \mu\mathrm F$ 并联后，再与 $C_{3} = 10.0$ 串联，组合两端接。求等效电容、的电荷量以及两端电压。

6. $\mathbf D$ 、 $\mathbf E$ 与 $\mathbf P$

均匀线性介质中 $\varepsilon_r=4.0$ ，某处电位移大小为 $D=3.54\times10^{-8}\ \mathrm{C\,m^{-2}}$ 。若三矢量同向，求和。

7. 均匀极化介质的束缚电荷

一块均匀极化的长方体介质， $\mathbf P$ 水平向右且大小为 $P_0$ 。忽略边缘，判断左右端面的束缚面电荷密度，并说明介质内部是否存在束缚体电荷。

8. 孤立电容器插入介质

电容为 $C_0=100\ \mathrm{pF}$ 的真空电容器充到 $U_0=200\ \mathrm V$ 后与电源断开，再完全插入 $\varepsilon_r=5.0$ 的介质。求插入后的、、和场能，并求场能减少量。

9. 恒压插入介质与电源做功

仍取 $C_0=100\ \mathrm{pF}$ 、 $U=200\ \mathrm V$ ，但插入 $\varepsilon_r=5.0$ 的介质时始终连接理想电源。求电容器场能增量、电源做功和电场对介质所做的机械功。

10. 部分插入时的吸入力

矩形平行板电容器极板宽 $w=5.0\ \mathrm{cm}$ ，沿介质插入方向长 $L=10.0\ \mathrm{cm}$ ，板间距 $d=1.0\ \mathrm{mm}$ 。相对介电常数为 $4.0$ 的介质部分插入，电容器始终接在电源上。忽略边缘效应，求介质所受吸入力大小。

11. 从数据读出非均匀场中的能量分布

一真空同轴圆柱电容器足够长，内外导体半径分别为 $a$ 和 $4a$ 。保持内导体单位长度电荷量不变，以紧贴内导体处的场强 $E(a)$ 和能量密度 $w_e(a)$ 为基准，得到下表：

位置 $r$	$a$	$\sqrt2a$	$2a$

请根据数据回答：场强和局部能量密度分别怎样随 $r$ 变化？ $r=2a$ 处的局部能量密度是 $r=a$ 处的多少？最后比较环形区域 $a<r<2a$ 与 $2 a < r$ 中储存的总场能，并说明为什么不能只比较表中的局部能量密度就下结论。

12. 分层介质的等效电容

平行板电容器极板面积为 $S$ 、间距为 $d$ 。板间沿电场方向依次填入厚度均为 $d/2$ 、介电常数分别为 $2\varepsilon_0$ 和 $4\varepsilon_0$ 的两层介质，界面平行于极板。忽略边缘效应，求等效电容，并与把两种介质各占一半极板面积、都跨越完整间距时比较。

0.0300

=

3.71

\times

10^{- 12}

F

.

C=4\pi(8.85\times10^{-12}) \frac{0.0200\times0.0500}{0.0300} =3.71\times10^{-12}\ \mathrm F.

μ

F

C_3=10.0\ \mu\mathrm F

6

J

.

\Delta W_{\mathrm{field}}=\frac12(C'-C_0)U^2 =8.00\times10^{-6}\ \mathrm J.

100\ \mathrm V

2\sqrt2a

<

4

a

2a<r<4a

$E(r)/E(a)$	1.000	0.707	0.500	0.354	0.250
$w_e(r)/w_e(a)$	1.000	0.500	0.250	0.125	0.0625

第10章 电容器、电介质与静电场能量