耦合振动与简正模式

两个单独的摆，各自以固有频率摆动，相互毫无影响。但用一根细弹簧把它们连在一起，情形就完全不同了——摆动着的一个会把能量悄悄地“送”给静止的另一个，直到第一个停下来，第二个充分振动起来，接着能量再流回来。这种神奇的能量传递，源于耦合振动的基本规律。理解耦合振动，不仅能解释这一奇特现象，还能揭示分子振动、电路谐振等众多物理问题的共同本质。

两个耦合摆的建模

取两个完全相同的单摆，摆长均为 $L$，摆球质量均为 $m$，固有角频率为 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$。在两摆球之间连一根劲度系数为 $k_c$ 的细弹簧。当两摆球偏离平衡位置的位移分别为 $x_1$、$x_2$ 时，弹簧被拉伸（或压缩）了 $x_1 - x_2$，因此对摆球 1 产生向左的弹力 $-k_c(x_1 - x_2)$，对摆球 2 产生向右的弹力 $+k_c(x_1 - x_2)$。

根据牛顿第二定律，两摆球的运动方程为：

$m\ddot{x}_1 = -m\omega_0^2 x_1 - k_c(x_1 - x_2)$

$m\ddot{x}_2 = -m\omega_0^2 x_2 + k_c(x_1 - x_2)$

整理后，引入耦合参数 $\kappa = k_c/m$，方程组变为：

$\ddot{x}_1 = -\omega_0^2 x_1 - \kappa(x_1 - x_2)$

$\ddot{x}_2 = -\omega_0^2 x_2 + \kappa(x_1 - x_2)$

这两个方程是相互关联的——$x_1$ 的运动会影响 $x_2$，反之亦然。直接求解这种耦合方程组，需要用到巧妙的方法：引入两个组合坐标。

令 $q_1 = x_1 + x_2$，$q_2 = x_1 - x_2$，将两个方程相加、相减，分别得到：

$\ddot{q}_1 = -\omega_0^2 q_1$

$\ddot{q}_2 = -(\omega_0^2 + 2\kappa)\, q_2$

两个方程现在完全解耦——$q_1$ 和 $q_2$ 各自独立振动，互不干扰。

简正模式的识别

从 $q_1$ 和 $q_2$ 的方程可以直接读出两个简正模的角频率：

$\omega_- = \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \quad \text{（同相模）}$

$\omega_+ = \sqrt{\omega_0^2 + 2\kappa} = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2k_c}{m}} \quad \text{（反相模）}$

下面对比了两种简正模的基本特征：

同相模中，两个摆球始终保持相同的位移，向同一方向运动，弹簧既不拉伸也不压缩，始终处于自然长度。此时系统的表现完全等同于单个摆，频率与固有频率相同，耦合弹簧不起任何作用。

反相模中，两摆球始终位移大小相等、方向相反，弹簧交替被拉伸和压缩。弹簧的弹力叠加在单摆的恢复力之上，使振动频率升高。耦合越强（$k_c$ 越大），频率差越大。

• 两个简正模的频率之差 $\omega_+ - \omega_-$ 是衡量耦合强弱的标志：耦合越强，两个频率分裂得越开。

例题 1： 两个完全相同的单摆，摆长 $L = 0.25\ \text{m}$，摆球质量 $m = 0.2\ \text{kg}$，之间用劲度系数 $k_c = 0.5\ \text{N/m}$ 的弹簧相连。求两个简正模的频率。

固有角频率：

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{10}{0.25}} = \sqrt{40} \approx 6.32\ \text{rad/s}$

耦合参数：$\kappa = k_c/m = 0.5/0.2 = 2.5\ \text{rad}^2/\text{s}^2$

同相模频率：$f_- = \omega_0 / (2\pi) \approx 1.006\ \text{Hz}$

反相模角频率：

$\omega_+ = \sqrt{40 + 2 \times 2.5} = \sqrt{45} \approx 6.71\ \text{rad/s}$

$f_+ = \omega_+ / (2\pi) \approx 1.068\ \text{Hz}$

两个频率相差约 $0.062\ \text{Hz}$，耦合较弱时频率差较小。

能量在两摆之间的转移

实验中最引人注目的现象是这样的：将摆 1 拉开振幅 $A$，摆 2 静止，同时松手。接下来会看到摆 1 的振幅逐渐减小，摆 2 的振幅逐渐增大，最终摆 1 停下，摆 2 达到振幅 $A$；随后这一过程反转，能量再流回摆 1——如此循环往复。

这种现象本质上是两个简正模的叠加产生的拍。初始条件 $x_1(0)=A$、$x_2(0)=0$，对应同相模和反相模各以振幅 $A/2$ 振动：

$x_1(t) = \frac{A}{2}\cos(\omega_- t) + \frac{A}{2}\cos(\omega_+ t) = A\cos\!\left(\frac{\omega_+ - \omega_-}{2}t\right)\cos\!\left(\frac{\omega_+ + \omega_-}{2}t\right)$

$x_2(t) = \frac{A}{2}\cos(\omega_- t) - \frac{A}{2}\cos(\omega_+ t) = A\sin\!\left(\frac{\omega_+ - \omega_-}{2}t\right)\sin\!\left(\frac{\omega_+ + \omega_-}{2}t\right)$

从结果可以看出，$x_1$ 和 $x_2$ 的振幅都以半频差 $(\omega_+ - \omega_-)/2$ 缓慢调制。能量从一个摆完全转移到另一个摆所需的时间（即）为：

$T_{\text{拍}} = \frac{2\pi}{\omega_+ - \omega_-}$

例题 2： 接例题 1，求两摆之间的能量交换周期。

$\omega_+ - \omega_- = 6.71 - 6.32 = 0.39\ \text{rad/s}$

$T_{\text{拍}} = \frac{2\pi}{0.39} \approx 16.1\ \text{s}$

也就是说，若将摆 1 拉起静止释放，约 $8\ \text{s}$ 后摆 1 停下摆 2 达到最大，再约 $8\ \text{s}$ 后能量回到摆 1，整个周期约为 $16\ \text{s}$。

下图总结了耦合系数对系统行为的影响规律：

（以 $L = 0.25\ \text{m}$，$m = 0.2\ \text{kg}$ 为参数）

耦合LC电路

电路中也存在完全类似的耦合振动。将两个LC振荡电路（各有电感 $L$ 和电容 $C$）通过一个耦合电容 $C_c$ 连接起来，就构成了耦合LC电路。

设两个回路的电荷分别为 $q_1$、$q_2$，各自回路的固有角频率均为 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$。同样通过组合坐标 ， 解耦，可以得到两个简正模的频率：

$\omega_{\text{同}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \omega_0 \quad \text{（同相模，耦合电容不起作用）}$

$\omega_{\text{反}} = \sqrt{\frac{1}{LC} + \frac{2}{LC_c}} = \omega_0\sqrt{1 + \frac{2C}{C_c}} \quad \text{（反相模）}$

例题 3： 两个相同的LC电路，$L = 1\ \text{mH}$，$C = 100\ \text{pF}$，耦合电容 $C_c = 50\ \text{pF}$，求两个简正模的频率。

固有频率：

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-3} \times 10^{-10}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-6.5}} \approx \frac{1}{2\pi \times 3.162 \times 10^{-7}} \approx 503\ \text{kHz}$

同相模频率 $f_{\text{同}} = f_0 \approx 503\ \text{kHz}$。

反相模频率：

$f_{\text{反}} = f_0\sqrt{1 + \frac{2 \times 100}{50}} = f_0\sqrt{1 + 4} = f_0\sqrt{5} \approx 503 \times 2.236 \approx 1125\ \text{kHz}$

下图对比了电学与力学耦合系统中各物理量的对应关系：

双原子分子的振动

两个原子之间的化学键，相当于一根连接两个质量的弹簧。以最简单的双原子分子（如氮气 $\text{N}_2$、氯化氢 $\text{HCl}$）为例，两个原子在平衡位置附近来回振动，整个系统是一个耦合振动问题的特例。

在质心参考系中，双原子分子的等效质量为折合质量：

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

分子振动的频率为：

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\text{键}}}{\mu}}$

其中 $k_{\text{键}}$ 是化学键的等效弹簧系数，可通过红外光谱测量分子振动频率来反推。

例题 4： 氯化氢（HCl）分子的化学键等效弹簧系数约为 $k_{\text{键}} = 480\ \text{N/m}$，氢原子质量 $m_H = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$，氯原子质量 ，求 HCl 分子的振动频率。

折合质量：

$\mu = \frac{m_H \cdot m_{Cl}}{m_H + m_{Cl}} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 5.87 \times 10^{-26}}{1.67 \times 10^{-27} + 5.87 \times 10^{-26}} \approx 1.63 \times 10^{-27}\ \text{kg}$

振动频率：

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{480}{1.63 \times 10^{-27}}} \approx \frac{1}{2\pi} \times 1.72 \times 10^{14} \approx 8.6 \times 10^{13}\ \text{Hz}$

这个频率落在红外波段，与红外光谱实验测量值吻合，证实了化学键弹簧模型的有效性。

耦合系统的共振特性

对耦合系统施加周期性驱动力（只驱动摆 1），系统会在两个简正模频率处分别出现共振峰，而不是像单个振子那样只有一个共振峰。

当驱动频率等于 $\omega_-$（同相模频率）时，两摆同相共振，振幅极大；当驱动频率等于 $\omega_+$（反相模频率）时，两摆以反相方式大幅振动。两个共振峰之间的频率间隔，正好等于 $\omega_+ - \omega_-$，与耦合强度直接相关。

• 单个振子只有一个共振峰；两个耦合振子有两个共振峰。推广来看，$N$ 个耦合振子就有 $N$ 个简正模和 $N$ 个共振频率。

下面展示了驱动频率扫描时两摆的响应特征：

练习题

1. 两个完全相同的单摆用一根弹簧连接，构成耦合系统。当两摆同向同幅摆动（同相模）时，下列说法正确的是

（A）弹簧被反复拉伸和压缩，对系统振动频率有贡献

（B）弹簧始终处于自然长度，振动频率等于单摆固有频率

（C）系统的振动频率高于单摆的固有频率

（D）弹簧的劲度系数越大，同相模频率越高

2. 耦合双摆系统中，反相模的频率 $\omega_+$ 与同相模频率 $\omega_-$ 的关系是

（A）$\omega_+ = \omega_-$，两模式频率相同

（B）$\omega_+ < \omega_-$，反相模频率更低

（C）$\omega_+ > \omega_-$，反相模频率更高

（D）两者大小关系取决于初始条件

3. 将摆 1 拉开振幅 $A$，摆 2 静止后同时释放，能量在两摆之间完整交换一次的时间（能量交换周期）是

（A）$T_{\text{拍}} = \dfrac{2\pi}{\omega_+ + \omega_-}$

（B）$T_{\text{拍}} = \dfrac{2\pi}{\omega_+ - \omega_-}$

（C）$T_{\text{拍}} = \dfrac{\pi}{\omega_+ - \omega_-}$

（D）$T_{\text{拍}} = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$

4. 两个相同的 LC 振荡电路（固有频率均为 $f_0$）通过耦合电容 $C_c$ 连接，构成耦合系统。若增大耦合电容 $C_c$，则

（A）两个简正模的频率差增大，频带变宽

（B）两个简正模的频率差减小，频带变窄

（C）同相模频率升高，反相模频率不变

（D）两个简正模的频率均升高

5. 两个完全相同的单摆，摆长 $L = 1.0\ \text{m}$，摆球质量 $m = 0.5\ \text{kg}$，用劲度系数 $k_c = 2.0\ \text{N/m}$ 的弹簧在距悬挂点 $$ 处连接。取 ，求两个简正模的角频率，并计算若将摆 1 拉起振幅 ，摆 2 静止同时释放，能量完整交换一次需要多长时间。

6. 一个耦合 LC 电路系统，两个回路参数相同：$L = 2\ \text{mH}$，$C = 200\ \text{pF}$，耦合电容 $C_c = 400\ \text{pF}$。求两个简正模的振荡频率，并判断这两个频率之间的关系。

弹簧连接点不在摆球处，等效劲度系数需按力矩折算：$k_{\text{eff}} = k_c \times (0.8/1.0)^2 = 2.0 \times 0.64 = 1.28\ \text{N/m}$

耦合参数：$\kappa = k_{\text{eff}}/m = 1.28/0.5 = 2.56\ \text{rad}^2/\text{s}^2$

同相模角频率：$\omega_- = \omega_0 \approx 3.162\ \text{rad/s}$

反相模角频率：

$\omega_+ = \sqrt{\omega_0^2 + 2\kappa} = \sqrt{10 + 2 \times 2.56} = \sqrt{15.12} \approx 3.889\ \text{rad/s}$

频率差：$\omega_+ - \omega_- = 3.889 - 3.162 = 0.727\ \text{rad/s}$

能量交换周期：

$T_{\text{拍}} = \frac{2\pi}{\omega_+ - \omega_-} = \frac{2\pi}{0.727} \approx 8.6\ \text{s}$

能量从摆 1 完全转移到摆 2 约需 $T_{\text{拍}}/2 \approx 4.3\ \text{s}$，整个来回约需 $8.6\ \text{s}$。

$= \frac{1}{2\pi \times 6.325\times10^{-7}} \approx 251.6\ \text{kHz}$

同相模频率：$f_{\text{同}} = f_0 \approx 251.6\ \text{kHz}$

反相模频率：

$f_{\text{反}} = f_0\sqrt{1 + \frac{2C}{C_c}} = f_0\sqrt{1 + \frac{2 \times 200}{400}} = f_0\sqrt{1 + 1} = f_0\sqrt{2} \approx 251.6 \times 1.414 \approx 355.7\ \text{kHz}$

两个简正模频率之比为 $f_{\text{反}}/f_{\text{同}} = \sqrt{2} \approx 1.414$，反相模频率比同相模高约 $41\%$。当 $C_c = 2C$ 时，这一比值恰好等于 $\sqrt{2}$，是一个特殊的耦合条件，频率分裂适中，在滤波器设计中常用于实现平坦的带通响应。