连续介质的振动——弦、气柱与驻波

把一根吉他弦绷紧后拨动，弦的每一段都在振动，而整根弦的振动方式却受到两端固定点的严格约束。吹响一支长笛，管内的空气柱同样在振动，音调的高低由管的长度决定。这些振动与弹簧振子的根本区别在于：参与运动的是由无数连续分布质点组成的介质，而非单一质点。连续介质的振动规律，能直接解释乐器发声的原理、调音的方法，以及不同乐器的音色为何各不相同。

从耦合振子到连续介质

前面分析了两个耦合摆的振动，发现系统存在两个简正模。若把耦合摆的数量增加到三个、四个……直至无穷多个，就过渡到了连续介质的振动。把一根绷紧的弦想象成由 $N$ 个小质点通过弹性连接而成，当 $N$ 趋向无穷大、每个质点趋向无穷小，就得到了连续弦的模型。此时系统有无穷多个简正模，对应无穷多个特定频率的振动方式。弦上每一点的横向位移 $y(x, t)$ 同时依赖于位置 $x$ 和时间 $t$，描述这种运动的方程称为波动方程：

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

其中 $v$ 是弦上横波的传播速度：

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$T$ 是弦的张力（单位：$\text{N}$），$\mu$ 是弦的线密度（单位：$\text{kg/m}$，即每米质量）。张力越大、线密度越小，波速越高，弦发出的音调越高——这正是吉他、小提琴调音的物理基础。

例题 1： 一根钢弦的线密度 $\mu = 4.0 \times 10^{-3}\ \text{kg/m}$，张力 $T = 160\ \text{N}$，求弦上横波的传播速度。

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{160}{4.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{40000} = 200\ \text{m/s}$

绷紧弦的边界条件与驻波

一根两端固定的弦（例如吉他弦），两端的位移始终为零，这就是固定端边界条件：

$y(0,\, t) = 0, \qquad y(L,\, t) = 0$

满足这两个条件的振动，在弦上形成驻波。驻波与行进波不同：行进波的波形向前推进，而驻波的波形在固定位置振动，有些点始终静止（称为节点），有些点振幅最大（称为波腹）。

驻波本质上是两列幅度相同、方向相反的行进波叠加的结果。向右传播的波与在固定端反射后向左传播的波相互叠加，形成驻波图案。固定弦上的驻波可以写成：

$y_n(x, t) = A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos(\omega_n t + \phi_n)$

其中 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 标记不同的简正模。每个简正模在弦上形成 $n$ 个半波，两端各有一个节点。

例题 2： 一根长 $L = 0.60\ \text{m}$ 的弦两端固定，在第三简正模（$n = 3$）下振动。求弦上节点和波腹的位置。

第三简正模在弦上形成三个半波，节点共 $n+1 = 4$ 个（含两端固定点）：

$x = 0,\quad \frac{L}{3},\quad \frac{2L}{3},\quad L \;=\; 0,\quad 0.20\ \text{m},\quad 0.40\ \text{m},\quad 0.60\ \text{m}$

波腹共 $n = 3$ 个，分布在相邻节点的中间：

$x = \frac{L}{6},\quad \frac{3L}{6},\quad \frac{5L}{6} \;=\; 0.10\ \text{m},\quad 0.30\ \text{m},\quad 0.50\ \text{m}$

弦的简正模频率与泛音

固定弦的每个简正模对应一个特定频率。由边界条件可推导出，第 $n$ 个简正模的频率为：

$f_n = \frac{nv}{2L} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

$n = 1$ 时的频率 $f_1$ 称为基频（或基音），是该弦能发出的最低频率：

$f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$n = 2, 3, 4, \ldots$ 对应的频率 $f_2 = 2f_1$，$$，……分别称为二次谐波、三次谐波，统称（overtones）。

• 固定弦各次谐波频率是基频的整数倍：$f_n = n f_1$，包含全部谐波系列。

下面列出了前五个简正模的频率与弦上形态：

例题 3： 一根吉他弦，有效振动长度 $L = 0.65\ \text{m}$，线密度 $\mu = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{kg/m}$，张力 $T = 75\ \text{N}$。求基频和前三个泛音的频率。

波速：

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{75}{3.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{25000} \approx 158.1\ \text{m/s}$

基频：

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{158.1}{2 \times 0.65} \approx 121.6\ \text{Hz}$

影响弦频率的三个因素

基频公式 $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ 包含三个可调参数，对应弦乐器的主要调音方式：

例题 4： 一根吉他弦的基频为 $f_1 = 330\ \text{Hz}$，若将张力增大为原来的 $1.44$ 倍，其他条件不变，新的基频是多少？

由 $f_1 \propto \sqrt{T}$，得：

$f_1' = f_1 \sqrt{\frac{T'}{T}} = 330 \times \sqrt{1.44} = 330 \times 1.2 = 396\ \text{Hz}$

新基频约为 $396\ \text{Hz}$，比原来的 $330\ \text{Hz}$ 高了约一个大三度（$E4$ 与 $G4$ 之间）。

弦上模式的叠加

拨弦时，弦的初始形状并非某个单一简正模的波形，而是多个简正模的叠加。根据叠加原理，任意初始形状的弦振动，都可以分解为各个简正模的线性组合：

$y(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos(\omega_n t + \phi_n)$

各次谐波的振幅 $A_n$ 取决于拨弦的方式和位置。在弦的正中间拨弦时，初始波形关于中点对称，只激发奇次谐波（$n = 1, 3, 5, \ldots$），偶次谐波的振幅为零。

下图展示了不同拨弦方式对谐波激发程度的影响：

弦的受迫振动与共振

对弦的某一点施加周期性驱动力，当驱动频率恰好等于弦的某个简正模频率时，该模式发生共振，振幅急剧增大。这就是弦的受迫振动共振。

• 弦的共振条件：驱动频率等于弦的任意一个简正模频率，即 $f_{\text{驱}} = nf_1$（$n$ 为正整数）。

钢琴的发声原理是：琴锤敲击琴弦，对弦施加宽频带冲击力，同时激发多个简正模；共鸣箱对某些频率的放大作用更强，最终形成具有独特音色的乐音。

例题 5： 一根长 $L = 0.50\ \text{m}$ 的弦，线密度 $\mu = 5.0 \times 10^{-3}\ \text{kg/m}$，张力 $T = 200\ \text{N}$。在哪些频率下会发生共振？

波速：

$v = \sqrt{\frac{200}{5.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{40000} = 200\ \text{m/s}$

基频：

$f_1 = \frac{200}{2 \times 0.50} = 200\ \text{Hz}$

共振频率系列为 $200\ \text{Hz}$，$400\ \text{Hz}$，$600\ \text{Hz}$，$800\ \text{Hz}$，……当驱动频率等于这些值时，弦产生对应次数的共振驻波。

气柱的纵向振动

管乐器（笛子、单簧管、长号等）的发声原理是管内空气柱的纵向振动。与弦的横向振动不同，气柱振动是纵波——空气分子沿管轴方向来回压缩和稀疏，形成疏密波。声速 $v$ 在室温空气中约为 $340\ \text{m/s}$。

气柱振动的边界条件由管端的开闭状态决定：

管口（开端）：空气与外界大气相通，气压始终等于大气压，压强变化量为零——此处是位移波腹（质点振幅最大）、压强节点（压强不变）。

管底（闭端）：空气无法沿轴向流动，位移为零——此处是位移节点（质点不动）、压强波腹（压强变化最大）。

两端开口管（开管）

两端均为开口，两端都是位移波腹。设管长为 $L$，简正模频率为：

$f_n = \frac{nv}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

与两端固定弦的公式形式完全相同。开管包含全部谐波系列（奇次和偶次均存在）。

一端开口一端闭口管（闭管）

闭端为位移节点，开端为位移波腹。最低频率简正模在管内恰好容纳四分之一波长：

$f_1 = \frac{v}{4L}$

由于两端边界条件不对称，只有在管长内容纳奇数个四分之一波长的频率才满足边界条件，因此只有奇次谐波存在：

$f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

即基频 $f_1$，$3f_1$，$5f_1$，$$，……——偶次谐波缺失。

下面对比了开管与闭管的振动特征：

例题 6： 长笛可近似为两端开口的管，有效管长 $L = 0.66\ \text{m}$，室温声速 $v = 340\ \text{m/s}$。（1）求长笛的基频；（2）若一支单簧管（近似为闭管）要发出与长笛相同的基音，管的有效长度应为多少？

（1）开管基频：

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{340}{2 \times 0.66} = \frac{340}{1.32} \approx 257.6\ \text{Hz}$

（2）闭管产生同一基频时，由 $f_1 = v/(4L')$：

$L' = \frac{v}{4f_1} = \frac{340}{4 \times 257.6} \approx 0.33\ \text{m}$

闭管只需约 $0.33\ \text{m}$，恰好是长笛的一半。

傅里叶分析的物理含义

一根弦或一段气柱实际发声时，同时振动着多个简正模。基频决定音高，各次谐波的相对强弱决定音色。这就是为什么钢琴和吉他演奏同一音符时，声音截然不同——两者的基频相同，但高次谐波的分布规律各异。

任意复杂的周期振动，都可以分解为若干正弦分量的叠加——这就是傅里叶分析的核心思想。在弦振动和气柱振动中，这些正弦分量恰好就是各个简正模。无需深入数学推导，只需记住这一物理事实：任何周期振动的音色，由其所含谐波的种类与比例完全决定。

• 决定音色的，是谐波的组成方式，而非单一的基频。这一规律适用于所有乐器，也适用于人的嗓音。

下图展示了几种典型乐器的谐波能量分布（定性比较）：

单簧管在偶次谐波处能量极低，导致其音色偏柔和、低沉；长笛各次谐波分布较均匀，音色偏明亮；钢琴泛音丰富，音色介于两者之间。

练习题

1. 一根两端固定的弦，长度为 $L$，在第三次谐波（$n = 3$）振动时，弦内部（不含两端）的节点个数为

（A）1 个

（B）2 个

（C）3 个

（D）4 个

2. 一根吉他弦的基频为 $f_1$，若将弦的有效振动长度缩短为原来的 $1/2$（其他条件不变），基频变为

（A）$f_1/2$

（B）$f_1$

（C）$2f_1$

（D）$4f_1$

3. 与同样长度的开管相比，一端封闭的闭管的基频为开管基频的

（A）4 倍

（B）2 倍

（C）$1/2$ 倍

（D）$1/4$ 倍

4. 关于闭管（一端封闭、一端开口）的振动，下列说法正确的是

（A）闭管的谐波系列包含所有整数倍频率（1, 2, 3, 4 次……）

（B）闭管在开口端形成位移节点，在闭端形成位移波腹

（C）闭管只能激发奇次谐波（1, 3, 5 次……），偶次谐波不存在

（D）闭管与相同长度开管的基频完全相同

5. 一根钢弦，长度 $L = 0.80\ \text{m}$，线密度 $\mu = 5.0 \times 10^{-3}\ \text{kg/m}$，张力 $T = 200\ \text{N}$。求该弦的基频、第二谐波和第三谐波的频率，并指出各模式弦上节点和波腹的位置。

6. 一支长号的管可近似为两端开口管（忽略管口修正），室温下声速 $v = 340\ \text{m/s}$。若长号的最低音基频为 $f_1 \approx 58.3\ \text{Hz}$，求长号此时的有效管长，并计算前三个谐波频率。若将一端完全堵住（变为闭管），新的最低频率是多少？此时只能激发哪些谐波？

基频：

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{200}{2 \times 0.80} = 125\ \text{Hz}$

第二谐波：$f_2 = 2f_1 = 250\ \text{Hz}$

第三谐波：$f_3 = 3f_1 = 375\ \text{Hz}$

开管前三个谐波频率：

$f_1 = 58.3\ \text{Hz}, \quad f_2 = 116.6\ \text{Hz}, \quad f_3 = 174.9\ \text{Hz}$

堵住一端后变为闭管，基频变为：

$f_1' = \frac{v}{4L} = \frac{340}{4 \times 2.92} = \frac{340}{11.68} \approx 29.1\ \text{Hz}$

新的基频约为原来的一半（$29.1\ \text{Hz}$），比原最低音低一个八度。闭管只激发奇次谐波：$29.1\ \text{Hz}$，$87.3\ \text{Hz}$，$145.5\ \text{Hz}$，$203.7\ \text{Hz}$，……