振动的叠加与拍现象

两把吉他同时拨响，音调近似却不完全相同，耳边会出现一种忽强忽弱的“嗡嗡”起伏声；钢琴调音师将音叉靠近琴弦，正是听这种起伏声来判断音高是否准确。这种现象叫做拍，它是两列频率相近的振动叠加后产生的自然结果。振动的叠加，是理解波动、声音、光学等一切后续内容的基础。

同频率同方向振动的叠加

两列振动方向相同、频率相同的简谐振动同时作用在同一物体上：

$x_1 = A_1\cos(\omega t + \phi_1), \quad x_2 = A_2\cos(\omega t + \phi_2)$

根据叠加原理，合位移为 $x = x_1 + x_2$。利用三角公式展开合并同类项，结果仍然是同频率的简谐振动：

$x = A\cos(\omega t + \phi)$

合振幅 $A$ 和合相位 $\phi$ 由以下公式确定：

$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2\cos(\phi_2 - \phi_1)}$

$\tan\phi = \frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}$

合振幅的大小完全取决于两列振动的相位差 $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$：

例题 1： 两列同频率振动 $x_1 = 3\cos(\omega t)\ \text{cm}$，$x_2 = 4\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{cm}$，求合振动的振幅和初相位。

两振动的初相位分别为 $\phi_1 = 0$、$\phi_2 = \pi/2$，振幅 $A_1 = 3\ \text{cm}$、，相位差 。

$A = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2\times3\times4\times\cos\frac{\pi}{2}} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}$

$\tan\phi = \frac{3\sin 0 + 4\sin\frac{\pi}{2}}{3\cos 0 + 4\cos\frac{\pi}{2}} = \frac{0 + 4}{3 + 0} = \frac{4}{3}$

$\phi = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.1°$

合振动为 $x = 5\cos(\omega t + 53.1°)\ \text{cm}$，振幅恰好是 $3{-}4{-}5$ 直角三角形的斜边。

相量图法

同频率叠加的计算也可以用相量图（矢量图）直观完成，避免繁琐的三角运算。

做法：把每列振动 $A_i\cos(\omega t + \phi_i)$ 用一个长度为 $A_i$、与水平轴夹角为 的矢量（相量）表示，将所有相量，合相量的长度就是合振幅，合相量与水平轴的夹角就是合相位。

以三列振动叠加为例：

$x_1 = 2\cos\omega t,\quad x_2 = 2\cos\!\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right),\quad x_3 = 2\cos\!\left(\omega t+\frac{4\pi}{3}\right)$

三个相量长度均为 $2$，方向互差 $120°$，恰好构成等边三角形，首尾相接后终点回到起点，合相量为零。

$A_{\text{合}} = 0$

三列等幅、均匀分布（相差 $120°$）的振动完全抵消，合振动为零。这一结果在三相交流电的分析中有重要应用。

例题 2： 用相量图求四列振动 $A_i = 3\ \text{cm}$，初相分别为 $0°,\ 90°,\ 180°,\ 270°$ 的合振动。

水平分量之和 $= 3 + 0 - 3 + 0 = 0$，竖直分量之和 $= 0 + 3 + 0 - 3 = 0$，合振幅为零。四个方向均匀分布的等幅振动同样完全抵消。

不同频率的叠加与拍现象

两列频率相近（但不相等）的同方向振动叠加时，情况发生了根本变化。设：

$x_1 = A\cos(2\pi\nu_1 t), \quad x_2 = A\cos(2\pi\nu_2 t)$

（为简化讨论，取两振幅相等、初相为零。）利用积化和差公式：

$x = x_1 + x_2 = 2A\cos\!\left(2\pi\cdot\frac{\nu_1-\nu_2}{2}\cdot t\right)\cos\!\left(2\pi\cdot\frac{\nu_1+\nu_2}{2}\cdot t\right)$

这个结果可以理解为：一个以平均频率 $\dfrac{\nu_1+\nu_2}{2}$ 振动的振动，其振幅被 $2A\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(2\pi \cdot {\displaystyle \frac{{\nu }_1-{\nu }_2}{2}}$ 调制。振幅忽大忽小，当 很小时，振幅变化比主振动慢得多，人耳恰好能听出这种“强弱起伏”，这就是。

振幅每完成一次从大到小再到大的循环，称为一次拍，单位时间内出现的拍的次数，称为拍频：

$\Delta\nu = |\nu_1 - \nu_2|$

下表展示了不同频率差对应的拍频及听感：

例题 3： 调音师用标准音叉（$440\ \text{Hz}$）检验钢琴的 A 键。两者同时发声时，每 $2\ \text{s}$ 听到 $3$ 次明显的强弱起伏。求钢琴该键的频率。

每 $2\ \text{s}$ 出现 $3$ 次拍，拍频 $\Delta\nu = 3/2 = 1.5\ \text{Hz}$。

$\nu_{\text{钢琴}} = \nu_{\text{音叉}} \pm \Delta\nu = 440 \pm 1.5\ \text{Hz}$

钢琴该键频率为 $438.5\ \text{Hz}$ 或 $441.5\ \text{Hz}$，需要通过拉紧或放松琴弦进一步判断方向并调准。

拍现象的生活应用

乐器调音

所有弦乐、管乐和键盘乐器的调音都依赖拍现象。调音时将乐器与标准音源（音叉、调音器或已定准的乐器）同时发声，缓慢调整张力或气柱长度，使拍频逐渐减小直至消失，此时两者频率完全一致。

吉他手在台上的临时调音步骤如下：

无线电中的拍频检波

在无线电通信中，接收机内部产生一个本地振荡信号，其频率与外来射频信号相差一个固定的中频（例如 $455\ \text{kHz}$）。两者叠加产生该中频的拍信号，后续放大电路只处理这个固定中频，大幅提升接收灵敏度，这就是超外差接收机的基本原理。

例题 4： 某超外差收音机，本地振荡频率为 $1910\ \text{kHz}$，中频为 $455\ \text{kHz}$。该收音机当前接收的广播电台频率是多少？

$\nu_{\text{电台}} = \nu_{\text{振荡}} - \nu_{\text{中频}} = 1910 - 455 = 1455\ \text{kHz}$

该收音机正在接收 $1455\ \text{kHz}$ 的中波广播。

同频率垂直方向振动的叠加

前面讨论的都是同方向（例如都沿 $x$ 轴）的叠加。若两列振动方向互相垂直（一列沿 $x$ 方向，另一列沿 $y$ 方向），叠加后的轨迹就不再是一条直线，而是一条曲线。

设：

$x = A_1\cos(\omega t), \quad y = A_2\cos(\omega t + \delta)$

合运动的轨迹方程（消去 $t$）为：

$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} - \frac{2xy}{A_1 A_2}\cos\delta = \sin^2\delta$

这是一个椭圆方程（特殊情况退化为直线或圆）。不同相位差对应不同的轨迹形状：

例题 5： 两列振动 $x = 3\cos(\omega t)\ \text{cm}$，$y = 3\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{cm}$，写出合运动的轨迹方程并描述轨迹形状。

$A_1 = A_2 = 3\ \text{cm}$，$\delta = \pi/2$，代入轨迹方程：

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} - \frac{2xy}{9}\cos\frac{\pi}{2} = \sin^2\frac{\pi}{2}$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 9$

轨迹为半径 $3\ \text{cm}$ 的正圆，合运动为匀速圆周运动（圆偏振）。

练习题

选择题

1. 两列同频率振动 $x_1 = A\cos(\omega t)$，$x_2 = A\cos(\omega t + \pi)$ 叠加，合振动为？（知识点：同频同方向振动叠加、相位差的影响）

A. 振幅为 $2A$ 的简谐振动

B. 振幅为 $A$ 的简谐振动

C. 振幅为 $\sqrt{2}A$ 的简谐振动

D. 合振动为零，物体静止

2. 调音师将频率为 $440\ \text{Hz}$ 的音叉与某乐器同时发声，听到每秒 $4$ 次拍。则该乐器的发声频率可能是？（知识点：拍频公式）

A. 只可能是 $444\ \text{Hz}$

B. 只可能是 $436\ \text{Hz}$

C. 可能是 $444\ \text{Hz}$ 或 $436\ \text{Hz}$

D. 可能是 $448\ \text{Hz}$ 或 $432\ \text{Hz}$

3. 三列等幅振动 $A_i = 5\ \text{cm}$，初相分别为 $0°,\ 120°,\ 240°$，用相量图法求合振幅。（知识点：相量图法，等幅均匀分布的叠加）

A. $15\ \text{cm}$

B. $5\sqrt{3}\ \text{cm}$

C. $5\ \text{cm}$

D. $0$

4. 两列振动 $x = A\cos(\omega t)$，$y = A\cos(\omega t + \pi/2)$ 垂直叠加，合运动轨迹为？（知识点：垂直方向同频叠加，圆偏振）

A. 沿 $45°$ 方向的直线

B. 椭圆，长轴沿 $x$ 轴

C. 正圆

D. 沿 $y$ 轴方向的直线

计算题

5. （知识点：同频振动叠加，合振幅与相位差的计算）两列同频简谐振动：

$x_1 = 6\cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)\ \text{cm}, \quad x_2 = 6\cos\!\left(\omega t + \frac{5\pi}{6}\right)\ \text{cm}$

（1）求两列振动的相位差 $\Delta\phi$。

（2）用合振幅公式求合振幅 $A$。

（3）若将 $x_2$ 的初相改为 $\pi/6 + \pi/3$，合振幅变为多少？

6. （知识点：拍频计算，调音应用）一位小提琴手在演出前调弦。用频率 $392\ \text{Hz}$（$\text{G}$ 音）的标准音叉与小提琴 G 弦同时发声，测得每 $5\ \text{s}$ 出现 $8$ 次拍。

（1）求拍频 $\Delta\nu$。

（2）小提琴 G 弦的实际频率可能是多少？

（3）小提琴手缓慢调紧弦（提高频率），发现拍频逐渐减小并消失，说明调紧前弦的频率偏高还是偏低？消失时弦的频率是多少？

（2）合振幅：

$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2\cos\Delta\phi} = \sqrt{36 + 36 + 2\times36\times\cos\frac{2\pi}{3}}$

$= \sqrt{72 + 72\times\left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6\ \text{cm}$

（3）$\Delta\phi' = \pi/3$ 时的合振幅：

$A' = \sqrt{36 + 36 + 72\cos\frac{\pi}{3}} = \sqrt{72 + 72\times\frac{1}{2}} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10.4\ \text{cm}$

相位差减小（两列振动更接近同相），合振幅增大。

可能为 $393.6\ \text{Hz}$ 或 $390.4\ \text{Hz}$。

（3）判断方向与最终频率：

调紧弦使频率升高，拍频减小说明弦的频率向 $392\ \text{Hz}$ 靠近。若弦原来为 $390.4\ \text{Hz}$（偏低），调紧后频率升高趋近 $392\ \text{Hz}$，拍频确实减小——此判断成立。若弦原来为 $393.6\ \text{Hz}$（偏高），调紧后频率继续升高，偏离更大，拍频应增大而非减小——矛盾。

因此，调紧前弦的频率为 $390.4\ \text{Hz}$，偏低。拍频消失时弦的频率恰好等于音叉频率：

$\nu_{\text{弦}} = 392\ \text{Hz}$