行进波——波的传播

在绷紧的弦上拨出一个波形，它会向两端传播；人说话时，声音从嘴边向四周扩散；地震发生时，地震波从震源出发，数百公里外的地面也随之颤动。这些现象有一个共同点：振动状态从一处传向另一处，能量随之转移。这就是行进波与驻波的本质区别——驻波把能量锁定在固定区域，行进波则把能量从一处带向另一处。

振动与波——传播的本质

单个质点的振动是局部运动，能量储存在振动质点本身。而波是振动状态在介质中的逐点传递，介质中每一个质点依次重复前一个质点的运动，形成向外传播的图案。关键在于：介质本身并不随波向前移动，只是振动状态在传递。

把一块石头投入平静的水池，水面出现一圈圈向外扩散的波纹。漂浮在水面的软木塞并不随波漂向远处，而是在原位上下起伏，最终回到初始位置。水波带走的是振动的能量，而不是水本身。

例题 1： 拨动吉他弦，弦上产生行进波向两端传播。弦上某质点的振动方向与波的传播方向之间有什么关系？

弦上的波是横波，质点振动方向（垂直于弦）与波的传播方向（沿弦）相互垂直。能量随波向两端传播，弦上每个质点只在垂直方向上来回运动，并不沿弦移动。

简正模式与行进波的关系

驻波由两列沿相反方向传播、振幅相同的行进波叠加而成。一列向右传播的正弦波与另一列向左传播的同幅正弦波相遇时，两者叠加得到的合波即为驻波：

$A\cos(kx - \omega t) + A\cos(kx + \omega t) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$

右边的 $\cos(kx)$ 描述空间中节点和波腹的位置，$\cos(\omega t)$ 描述随时间的振荡，这正是驻波的形式。任何驻波都可以分解为两列方向相反、幅度相同的行进波的叠加。

行进波的数学描述

一列沿 $+x$ 方向传播的简谐行进波，用下面的波函数来描述：

$y(x, t) = A\cos(kx - \omega t)$

沿 $-x$ 方向传播的行进波，波函数写成 $y(x, t) = A\cos(kx + \omega t)$。波数 $k$ 在空间上的意义，类似于角频率 $\omega$ 在时间上的意义： 描述单位时间内振动的周数， 描述单位长度内振动的周数。

例题 2： 一列行进波的波函数为

$y(x, t) = 0.02\cos(4\pi x - 100\pi t) \quad (\text{SI 单位})$

求该波的振幅、波长、频率、波速，并判断传播方向。

从波函数读取：$A = 0.02\ \text{m}$，$k = 4\pi\ \text{rad/m}$，$\omega = 100\pi\ \text{rad/s}$。

$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.50\ \text{m}$

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100\pi}{2\pi} = 50\ \text{Hz}$

$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100\pi}{4\pi} = 25\ \text{m/s}$

$kx - \omega t$ 中 $kx$ 与 $\omega t$ 符号相反，说明波沿 $+x$ 方向传播。

波速与介质的关系

波速由介质的弹性（恢复力的大小）和惯性（质量密度）共同决定，与波的频率或振幅无关。弦上横波的波速为：

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$T$ 为弦的张力，$\mu$ 为线密度。气体中纵波（声波）的波速取决于气体的体积弹性模量 $B$ 和密度 $\rho$：

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$

室温（约 $20\ ^\circ\text{C}$）下空气中的声速约为 $340\ \text{m/s}$。固体中纵波的波速由杨氏模量 $E$ 和密度 $\rho$ 决定：

$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$

• 波速由介质决定，与频率无关（在非色散介质中）。同一介质中，不同频率的声波以相同速度传播。

例题 3： 空气温度每升高 $1\ ^\circ\text{C}$，声速约增加 $0.6\ \text{m/s}$。在 $0\ ^\circ\text{C}$ 时声速为 $331\ \text{m/s}$，求 $25{}^{}$ 时的声速。若某音叉发出频率为 的声音，求两种温度下声波的波长。

$25\ ^\circ\text{C}$ 时的声速：

$v_{25} = 331 + 0.6 \times 25 = 346\ \text{m/s}$

由 $\lambda = v/f$ 计算波长：

温度升高使声速增大，相同频率的声波波长也随之增大，但频率本身不变——频率由波源决定，与介质无关。

波的叠加原理

两列及以上的波同时在介质中传播时，任意位置的合位移等于各列波在该处单独引起的位移之矢量和，各列波在叠加后互不影响、继续独立传播。这就是叠加原理。

两列频率和振幅相同、沿同一方向传播但有初相位差 $\delta$ 的简谐波叠加后，合波仍是简谐波：

$y = A\cos(kx - \omega t) + A\cos(kx - \omega t + \delta) = 2A\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)\cos\!\left(kx - \omega t + \frac{\delta}{2}\right)$

合振幅为 $2A\cos(\delta/2)$，完全由相位差 $\delta$ 决定：

例题 4： 两列正弦波沿同一方向传播，波长 $\lambda = 0.80\ \text{m}$，振幅均为 $A = 0.10\ \text{m}$。两波之间的路程差为 $0.20\ \text{m}$，求合波的振幅。

路程差 $\Delta r = 0.20\ \text{m}$，对应相位差：

$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta r = \frac{2\pi}{0.80} \times 0.20 = \frac{\pi}{2}$

合振幅：

$A_{\text{合}} = 2A\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right) = 2 \times 0.10 \times \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0.20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.141\ \text{m}$

波包与群速度

实际的波信号很少是无限延续的纯正弦波，而是由若干不同频率的正弦波叠加而成的波包——在空间中局域化的振动群。投石入水激起的涟漪，雷达发出的脉冲信号，都是波包。

在非色散介质中，所有频率的分量波速相同，波包整体以相同速度 $v$ 向前移动，形状保持不变。在色散介质中，不同频率的分量波速不同，波包在传播过程中会逐渐展宽。

相速度（phase velocity）是单一正弦分量的波形移动速度：

$v_p = \frac{\omega}{k}$

群速度（group velocity）是波包整体（即包络）移动的速度：

$v_g = \frac{d\omega}{dk}$

在非色散介质中，$v_p = v_g$；在色散介质中两者一般不同。

色散介质与截止频率

在均匀弹性介质（如空气、绷紧的弦）中，波速与频率无关，所有频率的波以相同速度传播，这类介质称为非色散介质。在某些特殊结构中，波速随频率变化，不同频率的分量以不同速度传播，这类介质称为色散介质。

水面波是典型的色散波。深水中，长波长的分量比短波长的分量传播得快（相速度 $v_p \propto \sqrt{\lambda}$），导致波包在传播中逐渐展宽——远处的观察者会先看到长波，再看到短波。

更特别的是截止频率现象：在某些系统中，低于某一临界频率 $f_c$ 的波无法在介质中传播，直接被衰减消除，只有高于截止频率的波才能通过，相当于一个天然的频率过滤器。

例题 5： 深水中，长波（波长 $\lambda_1 = 4\ \text{m}$）的相速度约为 $v_1 \approx 2.5\ \text{m/s}$，短波（波长 $\lambda_2 = 1\ \text{m}$）的相速度约为 。若同时在水面激发这两种波，经 后，两者相距多远？

$\Delta x = (v_1 - v_2) \times t = (2.5 - 1.25) \times 100 = 125\ \text{m}$

由于色散效应，$100\ \text{s}$ 后长波和短波之间相距 $125\ \text{m}$，这正是远处观察到波群逐渐分离的原因。

波的能量与能流密度

机械波在传播过程中携带能量。介质中每个质点都在振动，具有动能和弹性势能；波的传播正是这些能量从一处向另一处转移的过程。

介质中单位体积的平均波动能量密度为：

$\bar{u} = \frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2$

其中 $\rho$ 是介质密度，$\omega$ 是角频率，$A$ 是振幅。能量密度与振幅的平方和频率的平方成正比。

能流密度（又称强度 $I$）是单位时间内通过单位面积的能量：

$I = \bar{u} \cdot v = \frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2$

对于从点波源向四面八方均匀辐射的球面波，距波源 $r$ 处的强度满足平方反比律：

$I \propto \frac{1}{r^2}$

距离翻倍，波的强度减少到原来的 $1/4$。

• 波的强度与振幅的平方成正比：$I \propto A^2$。振幅减小为原来的一半，强度减小到原来的 $1/4$。

例题 6： 一个点声源在空气中均匀辐射声能，距声源 $r_1 = 2\ \text{m}$ 处测得声强 $I_1 = 4.0 \times 10^{-3}\ \text{W/m}^2$。求距声源 处的声强，以及两处振幅之比 。

由平方反比律：

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$

$I_2 = \frac{4.0 \times 10^{-3}}{16} = 2.5 \times 10^{-4}\ \text{W/m}^2$

由 $I \propto A^2$，振幅之比：

$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

练习题

1. 一列沿 $+x$ 方向传播的简谐横波，波函数为 $y = 0.05\cos(2\pi x - 80\pi t)$（SI 单位），该波的波长为

（A）$0.25\ \text{m}$

（B）$0.50\ \text{m}$

（C）$1.00\ \text{m}$

（D）$2.00\ \text{m}$

2. 在均匀非色散介质中，机械波的波速

（A）与波的频率成正比

（B）与波的振幅成正比

（C）由介质的弹性和惯性决定，与频率和振幅无关

（D）随波的传播距离增大而减小

3. 两列频率和振幅相同的正弦波沿相同方向叠加，若两波的相位差 $\delta = \pi$，则合波的振幅为

（A）$2A$

（B）$A\sqrt{2}$

（C）$A$

（D）$0$

4. 一个点声源向空间均匀辐射，距声源 $3\ \text{m}$ 处的声强为 $I_0$，则距声源 $9\ \text{m}$ 处的声强为

（A）$I_0/3$

（B）$I_0/6$

（C）$I_0/9$

（D）$I_0/27$

5. 一列行进波的波函数为

$y(x, t) = 0.03\cos(5\pi x - 200\pi t) \quad (\text{SI 单位})$

求该波的振幅、波长、频率、波速，并计算 $t = 0$ 时 $x = 0.10\ \text{m}$ 处质点的位移。

6. 一个点声源在均匀空气中辐射声波，在距声源 $r_1 = 1.0\ \text{m}$ 处测得声强 $I_1 = 1.6 \times 10^{-2}\ \text{W/m}^2$，振幅为 。求：（1）距声源 处的声强 ；（2） 处的振幅 与 之比；（3）若要使某处声强降低到 的 ，该处离声源的距离为多少？

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{200\pi}{2\pi} = 100\ \text{Hz}$

$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{5\pi} = 40\ \text{m/s}$

$t = 0$，$x = 0.10\ \text{m}$ 时：

$y = 0.03\cos(5\pi \times 0.10 - 0) = 0.03\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.03 \times 0 = 0\ \text{m}$

该时刻该位置质点的位移为零，质点正经过平衡位置。

（2）由 $I \propto A^2$：

$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$r_2 = 4.0\ \text{m}$ 处的振幅为 $r_1 = 1.0\ \text{m}$ 处振幅的 $1/4$。

（3）设该处距声源距离为 $r$：

$\frac{I}{I_1} = \frac{r_1^2}{r^2} = 1\% = \frac{1}{100}$

$r^2 = 100 \times r_1^2 = 100 \times 1.0^2 = 100\ \text{m}^2$

$r = 10\ \text{m}$

距声源 $10\ \text{m}$ 处声强降低到 $I_1$ 的 $1\%$，振幅降低到 $A_1$ 的 $1/10$。