指数与指数函数

如果一张纸足够大，对折 42 次，厚度会不会到月球？

直觉上很多人会摇头。纸那么薄，怎么可能。可指数最擅长的，就是让“看起来没什么”的小变化，在重复很多次之后突然变得离谱。

一张纸厚度按 $0.1\,\text{mm}$ 算。对折一次，厚度变成 $2$ 倍；对折两次，变成 $4$ 倍；对折十次，已经是 $2^{10}=1024$ 倍。到了四十多次，就不是“多一点”了，而是完全换了一个数量级。

这就是指数的气质：它不是每次加一点，而是每次乘一遍。

上一章我们学方程组，很多情境都是线性的：每周多存 $20$ 元，每小时走 $5$ 公里，每次增加同样多。线性像按电梯，一层一层上。指数像滚雪球，前面安静，后面突然变大。

这一章，我们就把这个“滚雪球逻辑”拆开看清楚：

1. 指数到底是不是“右上角那个小数字”这么简单。
2. 为什么 $a^0=1$，为什么 $a^{-n}$ 会变成倒数。
3. 科学计数法为什么能管住很大很小的数。
4. 当指数从固定数字变成 $x$，指数函数的图像为什么会长成那样。
5. 增长、衰减、复利、半衰期这些现实问题，为什么都离不开指数。

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指数：给重复乘法起一个短名字

先从最朴素的地方开始。

如果你要写 $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$，当然可以老老实实写出来。但如果是 20 个 2 连乘呢？100 个呢？总不能靠数小叉号过日子。

于是数学给它取了一个压缩写法：

$$2^5$$

读作“2 的 5 次方”，意思就是 5 个 2 连乘。

一般来说，$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘：

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ 个}}, \quad n \in \mathbb{Z}^+$$

这里有三个名字要认一下：

• $a$ 叫底数，也就是被反复乘的那个数。
• $n$ 叫指数，也就是反复乘了几次。
• $a^n$ 整体叫幂。

比如 $3^4=81$，因为它是 $3 \times 3 \times 3 \times 3$。$10^3=1000$，因为它是 $10 \times 10 \times 10$。

但指数题最喜欢在正负号上设坑。看这两个式子：

$$(-2)^4$$

和

$$-2^4$$

第一个的底数是整个 $-2$，所以是 $(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16$。第二个是先算 $2^4$，再在前面加负号，所以等于 $-16$。

一句话：括号决定底数是谁。

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指数法则：其实是在数“有几个底数”

很多同学背指数法则时会觉得烦：同底相乘指数相加，幂的幂指数相乘，积的幂分配……

但这些法则不是凭空来的。它们背后只有一个问题：

现在总共有几个 $a$ 在相乘？

同底相乘：指数相加

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

为什么？因为前面有 $m$ 个 $a$，后面有 $n$ 个 $a$，拼在一起就是 $m+n$ 个。

比如：

$$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7$$

同底相除：指数相减

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \quad a \neq 0$$

分子分母里面相同的 $a$ 可以一对一约掉。上面比下面多几个，就剩几个。

比如：

$$\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4$$

幂的幂：指数相乘

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

这句话可以翻译成：一组里有 $m$ 个 $a$，这样的组又重复了 $n$ 次，所以总共是 $m \times n$ 个 $a$。

比如：

$$(3^2)^4=3^{2\times4}=3^8$$

注意它不是 $3^{2^4}$。指数题很怕看顺眼了就乱算。

积的幂和商的幂

$$(ab)^n=a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0$$

意思是括号里的每个因子都要被重复乘 $n$ 次。

比如：

$$(2x)^3=2^3x^3=8x^3$$ $$\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}$$

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零指数和负指数：不是规定，是规则逼出来的

很多人第一次见到 $a^0=1$，会觉得这像老师拍脑袋规定的。

其实不是。

我们从同底相除看：

$$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$$

但一个非零数除以自己，结果一定是 $1$。所以为了让法则不崩掉，就必须有：

$$a^0=1, \quad a \neq 0$$

这不是随便定的，是指数法则一路推下来，只能这么定。

负指数也一样。看这个式子：

$$\frac{a^0}{a^n}=a^{0-n}=a^{-n}$$

左边又等于：

$$\frac{1}{a^n}$$

所以：

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0$$

负指数最容易被误解成“结果是负数”。其实不是。负指数表示倒数方向。

比如：

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$$

它是正数，不是 $-8$。

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科学计数法：给巨大和微小的数换一种说法

现实里的数，有时候很不讲武德。

光速大约是：

$$299{,}792{,}458\,\text{m/s}$$

氢原子的半径大约是：

$$0.000\,000\,000\,053\,\text{m}$$

这种数直接写出来，最大的问题不是长，而是容易数错零。科学计数法就是为了解决这个问题。

它把一个非零数写成：

$$a \times 10^k$$

其中：

$$1 \leq |a| < 10$$

$k$ 是整数。

比如：

$$3{,}040{,}000=3.04\times10^6$$

小数点向左移了 6 位，所以指数是 $6$。

再比如：

$$0.00047=4.7\times10^{-4}$$

小数点向右移了 4 位，所以指数是 $-4$。

这里的正负号很有画面感：

• 大数，小数点往左挪，指数是正的。
• 小数，小数点往右挪，指数是负的。

科学计数法的乘除特别顺，因为它正好借用了指数法则。

$$(3\times10^4)(2.5\times10^{-2})=7.5\times10^2$$

系数 $3$ 和 $2.5$ 相乘，$10^4$ 和 $10^{-2}$ 同底相乘，指数相加。

加减法要小心。不能直接把：

$$3\times10^5+4\times10^4$$

算成 $7\times10^9$ 或 $7\times10^5$。因为两个数的数量级不一样，必须先统一成同一个 $10^k$：

$$3\times10^5=30\times10^4$$

所以：

$$30\times10^4+4\times10^4=34\times10^4=3.4\times10^5$$

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指数函数：让右上角那个数动起来

前面我们一直在算 $2^5$、$3^4$、$10^{-2}$。这些式子里，指数是一个固定数字。

现在把思路反过来：底数固定，让指数变成变量 $x$。

于是就有了指数函数：

$$y=a^x,\quad a>0,\ a\neq1$$

为什么要求 $a>0$？因为我们希望 $x$ 可以取所有实数，如果底数乱来，很多分数指数会变得麻烦。

为什么还要排除 $a=1$？因为：

$$1^x=1$$

无论 $x$ 怎么变，它都是一条水平线，没有指数函数那种“乘法节奏”。

指数函数分两类看就够了。

当 $a>1$：增长型

比如：

$$y=2^x$$

$x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $1$ 到 $2$。从 $1$ 到 $2$，$y$ 从 $2$ 到 $4$。从 $2$ 到 $3$，$y$ 从 $4$ 到 $8$。

每一步都乘以 $2$，所以图像越来越陡。

当 $0<a<1$：衰减型

比如：

$$y=\left(\frac12\right)^x$$

$x$ 每增加 $1$，$y$ 就乘以 $\frac12$。所以它会越来越小，越来越贴近 $x$ 轴。

这两类图像有几个共同特点：

• 定义域是全体实数。
• 值域是 $(0,+\infty)$，也就是结果永远大于 $0$。
• 图像一定经过 $(0,1)$，因为 $a^0=1$。
• $x$ 轴是水平渐近线，图像可以靠近它，但不会真的碰到它。

还有一个很漂亮的关系：

$$\left(\frac12\right)^x=2^{-x}$$

把 $x$ 换成 $-x$，图像就会关于 $y$ 轴翻过去。所以 $y=2^x$ 和 $y=(\frac12)^x$ 是镜像关系。

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增长和衰减：现实世界里的指数函数

指数函数真正厉害的地方，不是在坐标系里画一条弯弯的线，而是它能描述很多现实问题。

线性增长是：

每次加同样多。

指数增长是：

每次乘同一个倍数。

这两句话差别很小，但结果差别很大。

指数增长模型

如果初始量是 $N_0$，每个周期增长率是 $r$，那么：

$$N(t)=N_0(1+r)^t$$

这里的 $1+r$ 叫增长因子。

比如某城市现在有 $500$ 万人，每年增长 $2\%$，那么 $10$ 年后约为：

$$500(1.02)^{10}\approx609.5$$

注意它不是 $500+2\%\times10$。每一年增长的基础，都是上一年的新人口。

指数衰减模型

如果每个周期减少 $r$，那么：

$$N(t)=N_0(1-r)^t$$

这里的 $1-r$ 是衰减因子，它在 $0$ 和 $1$ 之间。

放射性衰变常用半衰期来描述。半衰期就是“减少到一半所需的时间”。如果半衰期是 $T_{1/2}$，模型可以写成：

$$m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}$$

每经过一个半衰期，指数就多走一格，质量就再乘一次 $\frac12$。

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指数方程：先想办法变成同一个底数

指数方程看起来吓人，其实很多题的核心都很固定：

把两边都写成同一个底数的幂。

比如：

$$4^{x+1}=8$$

看到 $4$ 和 $8$，先想它们是不是都能写成 $2$ 的幂：

$$4=2^2,\quad 8=2^3$$

于是：

$$(2^2)^{x+1}=2^3$$

用幂的幂法则：

$$2^{2(x+1)}=2^3$$

底数一样，指数就必须一样：

$$2(x+1)=3$$

所以：

$$x=\frac12$$

为什么可以直接让指数相等？因为当 $a>0$ 且 $a\neq1$ 时，指数函数 $a^x$ 是严格单调的。不同的 $x$ 不会给出同一个值。

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例题

例题 1：指数法则综合化简

化简（设 $a>0$）：

$$\frac{(a^3)^2\cdot a^{-4}}{a^5\cdot a^{-7}}$$

例题 2：零指数和负指数计算

计算：

$$(-5)^0+3^{-2}-2^{-3}$$

例题 3：科学计数法应用

地球到太阳的平均距离约为 $1.5\times10^{11}\,\text{m}$，光速约为 $3\times10^8\,\text{m/s}$。光从太阳到地球大约需要多少秒？

例题 4：同底化解指数方程

解方程：

$$9^{x-1}=27$$

例题 5：指数增长模型

一个培养皿里最初有 $500$ 个细菌，每小时增长 $40\%$。写出 $t$ 小时后的数量，并计算 3 小时后大约有多少个。

例题 6：半衰期模型

碳-14 的半衰期约为 $5730$ 年。某古骨中碳-14 的含量只剩初始量的 $25\%$，估计这块骨头大约有多少年历史。

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自我练习

练习 1：化简（设 $a>0$）：

$$\frac{a^2\cdot(a^{-1})^3}{a^{-4}}$$

显示答案

$(a^{-1})^3=a^{-3}$，所以分子为 $a^2\cdot a^{-3}=a^{-1}$。再除以 $a^{-4}$，得到 $a^{-1-(-4)}=a^3$。

练习 2：某地人口为 $200$ 万人，每年增长 $3\%$。（1）写出 $t$ 年后人口表达式；（2）已知 $(1.03)^{20}\approx1.806$，估算 20 年后人口。

显示答案

增长因子是 $1.03$，所以 $P(t)=200(1.03)^t$（万人）。20 年后 $P(20)=200\times1.806=361.2$（万人）。

练习 3：解方程：

$$8^{2x}=32$$

显示答案

$8=2^3$，$32=2^5$。所以 $(2^3)^{2x}=2^5$，即 $2^{6x}=2^5$。底数相同，$6x=5$，所以 $x=\dfrac56$。

练习 4：某放射性物质半衰期为 $10$ 天，初始量为 $80\,\text{g}$。多少天后，剩余量首次低于 $5\,\text{g}$？

显示答案

每 10 天减半：$80\to40\to20\to10\to5\to2.5$。第 40 天恰好是 $5\,\text{g}$，还没有低于；第 50 天是 $2.5\,\text{g}$，首次低于。所以答案是 50 天。

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小结

指数不是“写在右上角的小数字”这么简单，它记录的是重复乘法的次数。指数法则的本质，是在数相同底数到底出现了几次。

$a^0=1$ 和 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ 不是硬背规定，而是为了让同底相除的规则一直成立。科学计数法则把 $10$ 的幂拿来管理数量级，让巨大和微小的数都变得好读、好算。

当指数变成变量 $x$，就得到指数函数 $y=a^x$。底数大于 $1$，它增长；底数在 $0$ 和 $1$ 之间，它衰减。复利、人口增长、药物代谢、放射性衰变，本质上都是这套“每次乘同一个因子”的故事。