方程组

先看一道很像生活常识、但只靠一个未知数不太好说清楚的问题。

电影院一共卖出 14 张票。成人票每张 30 元，学生票每张 18 元，总收入是 324 元。成人票和学生票各卖了多少张？

你当然可以从 0 张成人票开始，一个个试。可数学更关心另一件事：能不能把题目里的两个条件都写下来，再让它们一起工作？

设成人票卖了 $x$ 张，学生票卖了 $y$ 张。总张数给出一条关系：

总收入又给出一条关系：

任何一个答案都得同时通过这两道检查。只让票数相加等于 14 不够，只让收入等于 324 也不够。方程组要找的，正是让所有条件同时成立的那一组数。

方程组在说什么

最常见的二元一次方程组写成：

其中 $x$、$y$ 是未知数，每个方程里未知数的最高次数都是 $1$。左边没有 $xy$ 这样的乘积，也没有 $x^2$、$\sqrt{x}$ 之类的项。若要让每一行都确实表示一条直线，还要保证同一行里 、 的系数不同时为 。

花括号不是装饰。它表达的是“并且”：第一行成立，并且第二行也成立。

解是一对有顺序的数

二元方程组的一个解通常写成有序对 $(x,y)$。所谓“有序”，就是第一个数交给 $x$，第二个数交给 $y$，位置不能随手交换。

例如：

把 $(3,4)$ 代入第一行，确实有 $3+4=7$；可代入第二行得到 $2\times3-4=2$，也成立，所以 $(3,4)$ 是解。

若换成 $(4,3)$，第一行仍然成立，第二行却变成 $2\times4-3=5$。这说明 $(4,3)$ 不是解。两个数一样，顺序换了，含义也跟着换了。

解集是两个条件的公共部分

一个含有 $x$、$y$ 的一次方程通常有很多组解。比如 $x+y=7$ 允许 $(0,7)$、$(1,6)$、，还允许无穷多组实数解。

第二个方程也有自己的解。方程组做的事情，是把两边的解摆在一起，只留下公共的部分。用集合语言写，就是：

$S_1$ 是第一个方程的解集，$S_2$ 是第二个方程的解集，方程组的解集 $S$ 是它们的交集。

这也解释了“解方程组”的完整含义：找出全部公共解；如果根本没有公共解，就要说明为什么没有。算出“无解”并不是失败，它也是一个完整结论。

方程和恒等式不是一回事

像 $x+y=7$ 这样的等式，只在某些 $(x,y)$ 下成立，所以我们要找它的解。

而下面这个等式：

对任意实数 $x$、$y$ 都成立。它表达的是分配律，不需要求解。分清这两类等式很有用：分配律这样的恒等关系，是我们展开括号、整理方程时能够放心使用的工具；方程则是等待我们找出满足值的条件。

为什么可以代入和消元

代数变形不能只追求“看起来更简单”。真正的要求是：变形前后的方程组必须拥有同一个解集。这样的两个方程组叫作等价方程组。

下面三类操作会反复出现。

把一个方程乘以非零数

如果

成立，那么把等号两边同时乘以非零数 $k$，得到：

新旧两个方程有相同的解，因为还可以把新方程两边同时除以 $k$，回到原式。这里必须有 $k\neq0$。如果乘以 $0$，任何方程都会变成 $0=0$，原来的信息就被抹掉了。

给整条方程乘倍数时，每一项都要乘。比如：

乘以 $3$ 后是：

左边的两项和右边的常数必须一起变化。这个展开正是分配律在起作用。

用一个方程替换另一个方程里的相等量

如果一行已经告诉你 $y=3x-4$，那么在另一行中，$y$ 可以整体换成 $3x-4$。相等的量彼此替换，不会改变真假。

“整体”两个字别漏掉。若另一行里出现的是 $2y$，代入后应该是：

括号去掉后才是 $6x-8$。写成 $6x-4$，等于只让括号里的第一项乘了 $2$。

用一行加上另一行的倍数

假设方程组的两行分别记作 $F=0$ 和 $G=0$。保留第一行，把第二行换成：

解集不会改变。因为任何原方程组的解都让 $F=0$、$G=0$，自然也让 $G+kF=0$。反过来，如果 $F=0$ 且 ，再减去 ，就能还原出 。

这正是消元法背后的理由。

图解法：把公共解看成交点

每个二元一次方程在坐标平面上都表示一条直线。直线上的任意一点，其坐标都满足这个方程。

因此，方程组的公共解就是两条直线的公共点。

来看：

第一条直线斜率为 $2$，经过 $(0,1)$；第二条直线斜率为 $-1$，经过 $(0,7)$。画出两条线后，它们在 $(2,5)$ 相交。把这个点代回去：

两行都成立，所以交点坐标就是方程组的解。

图解法的价值很直接：你能看见两条线究竟是相交、平行还是重合，也能估计交点落在哪里。它的局限也同样直接。若交点是 $\left(\dfrac{7}{13},-\dfrac{2}{13}\right)$，手绘图很难读出准确分数；线画得稍粗一点，读数还会继续漂移。

所以，图像适合回答“有几个解”和“答案大约在哪儿”，代数方法负责给出精确值。

现实问题还会多一层限制。存款问题中的周数通常要求 $x\geq0$，票数问题中的 $x$、$y$ 还必须是非负整数。代数直线可以向整个平面延伸，但最后解释答案时，要回到题目的实际范围。

代入法：用一条关系改写另一条

当某个方程已经把一个未知数单独写出来时，代入法往往最省事。它的目标不是机械地“代”，而是把二元问题压缩成一个一元方程。

解方程组：

有时方程没有直接写成 $x=\cdots$ 或 $y=\cdots$，但某个未知数的系数是 $1$ 或 $-1$，仍然适合先把它单独留下。

例如：

从第一行得到：

代入第二行：

整理可得 $7y=15$，所以 $y=\dfrac{15}{7}$，再求得 $x=\dfrac{37}{7}$。答案不一定总是整数。只要推导和检验都正确，分数完全可以是正常结果。

代入时可以回代到任意一个原方程，但通常选结构更短、系数更简单的那一行。少做几步，就少一个符号出错的机会。

消元法：设计一次恰好抵消

消元法的目标，是让同一个未知数在两行中拥有互为相反数的系数。两行相加后，这个未知数的两项相消，二元方程组便缩成一元方程。

系数已经配好

解：

$y$ 的系数是 $2$ 和 $-2$，两行直接相加：

于是：

所以 $x=3$。代回第一行：

得到 $y=2$。最后代入第二行检查，$3\times3-2\times2=5$，成立，解为 $(3,2)$。

如果某个未知数的系数相同，也很好处理。把两行相减，那一项就会消失。你也可以先把其中一行乘以 $-1$，再做加法；本质是同一件事。

系数需要先调整

解：

如果想消去 $x$，$4$ 和 $6$ 的最小公倍数是 $12$。把第一行乘以 $3$，第二行乘以 $-2$：

两行相加：

所以 $y=1$。回到第一条原方程：

得到 $x=\dfrac{1}{2}$。检验第二行：

成立，因此解为 $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$。

上面的第二条新方程写成 $-12x+10y=4$，是因为原方程的每一项都乘了 $-2$。负号、常数项和括号，是消元法最常出错的三个地方。

消哪个未知数更合算

没有规定必须先消 $x$ 或先消 $y$。先看系数，选运算量更小的一条路。

比如一边的 $y$ 系数是 $3$ 和 $-5$，要配成 $15$；而 $x$ 系数是 $4$ 和 $6$，只需配成 $12$。这时消 通常更短。

如果两种选择都差不多，就选不容易产生分数的一种。做题不是比赛谁的步骤形式更统一，而是要让每一步都清楚、可逆、好检查。

三种结局：一个解、无解、无穷多解

两条直线之间只有三种位置关系。方程组的解也就出现三种结局。

相交一次：唯一解

例如：

两条直线斜率不同，只会相交一次。令两个 $y$ 的表达式相等：

得到 $x=2$、$y=3$，所以唯一解是 $(2,3)$。

永不相交：无解

例如：

两条线斜率相同，纵截距不同，是平行线。若用代数消元，未知数会全部消失，最后得到：

这是一句不可能成立的话。它说明我们假设存在公共解，会推出矛盾，所以方程组无解。

完全重合：无穷多解

例如：

第二行两边除以 $2$，就是第一行。两个方程只是写法不同，画出来是同一条线。消元后会出现：

这句等式永远成立。它不是在说“答案等于零”，也不是在说“没有答案”；它说明第二个方程没有再增加新的限制。第一条直线上的每个点都满足整个方程组，所以有无穷多解。

从系数判断

对一般形式：

可以计算：

如果 $D\neq0$，两行左边的系数不成比例，方程组有唯一解。

如果 $D=0$，两行左边的系数成比例。这时还不能马上决定是无解还是无穷多解，要继续看常数项是否也按同一个倍数变化：

直接比较比例时可能遇到零作分母，所以用交叉相乘或把整行化简后再比较，通常更稳。

把文字问题翻译成方程组

应用题最难的地方经常不是解方程，而是决定未知数代表什么，并找出彼此独立的两个条件。

一个稳定的建模顺序是：

1. 明确要找的两个量，并写清单位。
2. 为它们设未知数。
3. 把每个条件分别翻译成方程。
4. 选择代入或消元求解。
5. 用原条件检验，还要检查答案是否符合现实范围。

票数与收入

回到开头的问题。设成人票有 $x$ 张，学生票有 $y$ 张：

第一行乘以 $-18$：

与第二行相加：

所以 $x=6$，再由 $x+y=14$ 得到 $y=8$。

检查总收入：

票数是非负整数，总张数和总收入都符合题意，所以成人票 6 张、学生票 8 张。

混合问题先统一单位

甲原料每千克 80 元，乙原料每千克 120 元。要配成 5 千克、总价 460 元的混合原料。设甲原料 $x$ 千克，乙原料 $y$ 千克：

这里第一行的单位是千克，第二行的单位是元。价格都按“元/千克”给出，所以可以直接相乘。

把第一行乘以 $-80$，再与第二行相加：

所以 $y=1.5$，$x=3.5$。两个质量相加等于 $5$，总价也等于 $460$ 元。

如果题目一会儿用克，一会儿用千克，必须先统一单位。单位没对齐，方程形式再漂亮也没用。

顺流与逆流把速度拆开

设船在静水中的速度为 $v$ km/h，水流速度为 $u$ km/h。顺流速度是 $v+u$，逆流速度是 $v-u$。

如果顺流速度为 $18$ km/h，逆流速度为 $9$ km/h，就有：

两行相加，得到 $2v=27$，所以 $v=13.5$。再代回第一行，得到 $u=4.5$。

这里 $v$、$u$ 都应为正数，并且静水船速要大于水流速度，否则船无法逆流前进。这个检查来自情境本身，不是代数步骤自动替你完成的。

怎么选方法，怎么检查

代入法、消元法和图解法处理的是同一个解集，只是观察角度不同。

先扫一眼结构

• 已经有 $x=\cdots$ 或 $y=\cdots$，优先考虑代入法。
• 某个未知数的系数相同或互为相反数，优先考虑消元法。
• 系数经过一次简单倍乘就能配齐，消元法通常仍然很短。
• 想先判断解的个数、估计交点位置，先画图。
• 需要准确分数或小数时，不能只凭图上读数。

有时题目已经写成两个函数：

这时令 $f(x)=g(x)$，其实就是代入法。因为公共点处，两条规则对同一个 $x$ 必须给出同一个 $y$。

检验分三层

第一层是代数检验。把求出的有序对代回两个原方程，不要只代回经过变形的新方程。原方程才是题目最初给出的条件。

第二层是单位检验。张数不能和金额直接相加，千克和克不能混着用，速度乘时间后应得到路程。

第三层是情境检验。票数通常必须是非负整数，长度不能为负，比例常常要落在 $0$ 到 $1$ 之间。代数算出一个数，不代表它自动适合现实。

常见错误

1. 求出 $x$ 后就停下。方程组要求的是 $(x,y)$，还需要求出另一个未知数。
2. 只验证一条方程。一个点可能在第一条线上，却不在第二条线上。
3. 代入时丢括号。把 $y=2x+3$ 代入 $4y$，应写成 $4(2x+3)$。

练习与解析

下面的题不只练计算，也练“为什么这样做”。先自己写完，再展开解析核对。

判断有序对

方程组为：

判断 $(3,1)$ 和 $(2,3)$ 中，哪一个是方程组的解。

用代入法求解

解：

用直接消元法求解

解：

先倍乘再消元

解：

判断无解与无穷多解

分别判断下面两个方程组的解的个数。

从图像关系判断

不实际画图，判断下面两条直线是否有公共点：

建立方程组

文具店卖出铅笔和笔记本共 20 件。铅笔每支 2 元，笔记本每本 5 元，总收入 64 元。两种文具各卖出多少？

参数改变了解的类型

判断下面方程组在什么情况下无穷多解，什么情况下无解：

收好这套解题语言

方程组解决的是“多个条件同时成立”的问题。解是一组有顺序的值，它必须通过每一条原方程的检查。

代入法利用相等量可以互换，把一个未知数写进另一个方程；消元法利用等价变形，让一个未知数的系数恰好抵消；图解法把公共解显示成直线交点。三种方法说的是同一个对象。

最后的 $0=\text{非零数}$ 表示条件互相冲突，所以无解；最后的 $0=0$ 表示条件重复，所以有无穷多解。正常得到确定的 $x$、$y$，则是唯一解。

做应用题时，先别急着算。把未知数、单位和两个独立条件写清楚，方程组就已经搭好了大半。算完再回到两个原条件核对，这一步不能省。

把 $(2,3)$ 代入第一行，得到 $2\times2+3=7$，这一行成立；代入第二行却得到 $2-3=-1$，不等于 $2$。它只满足一个条件，不是方程组的解。

检验第二行：$3\times10-21=9$，成立。因此解为 $(10,21)$。这里减号作用于整个括号，若写成 $3x-2x+1$，符号就错了。

代回第二行：$2x-2=6$，所以 $2x=8$，$x=4$。检验第一行：$2\times4+3\times2=14$。解为 $(4,2)$。

两行相加：

所以 $x=1$。代回第一行，得到 $3+2y=7$，于是 $y=2$。

检验第二行：$5\times1-3\times2=-1$，成立。解为 $(1,2)$。

也可以化成斜截式：第一条是 $y=2x-3$，第二条是 $y=2x-5$。斜率都为 $2$，纵截距不同，所以方程组无解。

第一行乘以 $-2$，得到 $-2x-2y=-40$。与第二行相加，得到 $3y=24$，所以 $y=8$。再由 $x+y=20$ 得到 $x=12$。

检验：$12+8=20$，$2\times12+5\times8=24+40=64$。两者都是非负整数，因此铅笔卖出 12 支，笔记本卖出 8 本。

这个方程组不会出现唯一解，因为两行左边的系数始终成比例。