多项式运算

你已经会算 $3x^2\cdot 2x^3$ 了。可一旦题目变成下面这样，视线往往会乱一下：

$$P(x)=4x^3-7x^2+2x-9$$

它有好几个指数、好几个正负号，还夹着一个没有 $x$ 的数。到底应该从哪里下手？

先别急着算。多项式最需要的不是某个神奇口诀，而是把结构看清楚。你要知道每一项是谁，同类项能不能合并，乘法时哪些项必须互相相乘，除法时又该怎样一步步消掉最高次项。结构一旦排整齐，计算就会安静很多。

这一章会把这条线完整走一遍：

• 认清项、系数、次数和标准形式；
• 用代入理解多项式的值与恒等；
• 做加、减、乘以及常见的特殊乘积；
• 用长除法和综合除法找商与余式；
• 看懂余式定理，并知道为什么它会通向因式分解；
• 最后碰一碰插值：只知道几个函数值，能不能把多项式找回来。

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先把多项式看清楚

我们先限定在一个变量 $x$ 上。像下面这样的式子，叫作关于 $x$ 的多项式：

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

这里的指数 $0,1,2,\ldots,n$ 都是非负整数，$a_0,a_1,\ldots,a_n$ 是数，叫作系数。

这个定义真正想卡住的是指数。比如：

• $3x^4-2x+7$ 是多项式；
• $\dfrac{1}{2}x^3+\sqrt{2}x-1$ 也是多项式，系数不必是整数；

所以，“有字母”不等于“是多项式”。关键要看变量的指数是否都是非负整数。

项与系数：负号要跟着项走

回到开头的例子：

$$P(x)=4x^3-7x^2+2x-9$$

把加减号看成每一项的分界线，它有四项：

$$4x^3,\qquad -7x^2,\qquad 2x,\qquad -9$$

$-7x^2$ 的系数是 $-7$，不是 $7$。$2x$ 的系数是 $2$。常数项 $-9$ 可以写成 $$，所以它的次数是 。

还有两个经常被省略的系数：

$$x^4=1x^4,\qquad -x=-1x$$

遇到 $x^4$ 或 $-x$ 时，别把系数误看成“没有”。它们分别是 $1$ 和 $-1$。

次数、首项与首项系数

单项式 $7x^5$ 的次数是 $5$。一个非零多项式的次数，是所有非零项里最大的次数。

因此：

$$P(x)=4x^3-7x^2+2x-9$$

是三次多项式。它的最高次项 $4x^3$ 叫作首项，首项的系数 $4$ 叫作首项系数。

零多项式需要单独说一句。它写成 $0$，也可以写成 $0x^3+0x^2+0x+0$。因为它没有最高的非零项，所以通常不把它说成零次多项式，而是说它的次数未定义。

如果式子里有多个变量，单项式的次数通常指各变量指数的和。例如 $-3x^2y^3$ 的系数是 $-3$，次数是 $2+3=5$；多项式的次数仍取所有非零项中的最大值。本章的加减乘法对多个变量同样有效，不过长除法和综合除法先只讨论一个变量。

标准形式：先把队伍排好

多项式的项可以交换位置，但做运算时最好按 $x$ 的次数从高到低排列，并把同类项合并。这样的写法叫作标准形式。

例如：

$$3-2x^3+5x-x^2+4x^3-7x$$

先合并同类项，再按降幂排列：

$$(-2+4)x^3-x^2+(5-7)x+3$$ $$=2x^3-x^2-2x+3$$

有时中间少了一次，不代表那一列不存在。例如：

$$2x^4-3x+1$$

做竖式时可以把它看成：

$$2x^4+0x^3+0x^2-3x+1$$

这些 $0$ 不改变多项式，却能防止 $x^2$ 项和 $x$ 项错位。后面做长除法时，这个习惯尤其有用。

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代入一个数，多项式会变成什么

多项式不是一串只能摆着看的符号。给 $x$ 一个具体数，它就会算出一个具体结果。

如果：

$$P(x)=2x^3-x^2+4x-5$$

那么 $P(2)$ 的意思就是把式子里的每一个 $x$ 都换成 $2$：

$$P(2)=2\cdot 2^3-2^2+4\cdot 2-5$$ $$=16-4+8-5=15$$

这里有个小坑：代入负数时一定加括号。比如 $x=-2$：

$$P(-2)=2(-2)^3-(-2)^2+4(-2)-5$$

如果把 $(-2)^2$ 写成 $-2^2$，符号就已经变了。

霍纳式写法：少做几次乘方

次数高一点时，直接逐项算并不总是最省事。把多项式改写成层层套括号的样子，会更快也更不容易漏项。

例如：

$$P(x)=2x^3-3x^2+4x-5$$

可以写成：

$$P(x)=((2x-3)x+4)x-5$$

算 $P(2)$ 时，只要沿着括号往外走：

$$((2\cdot 2-3)\cdot 2+4)\cdot 2-5=7$$

这个写法背后还是分配律。它并没有改变多项式，只是把计算顺序整理得更紧凑。后面你会发现，综合除法的数字流程和它非常相似。

系数和为什么只要代入 1

假设：

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

把 $x=1$ 代进去，所有 $1^k$ 都等于 $1$：

$$P(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0$$

所以 $P(1)$ 就是全部系数的和。

同样，把 $x=-1$ 代进去，偶次幂给出 $1$，奇次幂给出 $-1$，于是 $P(-1)$ 会得到“偶次项系数之和减去奇次项系数之和”。

举个例子：

$$P(x)=3x^4-2x^3+5x-7$$

全部系数的和是：

$$P(1)=3-2+0+5-7=-1$$

注意缺少的 $x^2$ 项系数是 $0$。它虽然不写出来，但在“系数表”里仍然占一个位置。

代几个值相等，能说明两个多项式相等吗

不能急着下结论。

比如：

$$A(x)=x^2,\qquad B(x)=x$$

在 $x=0$ 和 $x=1$ 时，两者的值都相等；但在 $x=2$ 时，$A(2)=4$，$B(2)=2$，它们显然不是同一个多项式。

要证明两个多项式恒等，最稳的办法是把两边都整理成标准形式，比较每一次幂的系数。如果对应系数全部相同，它们才是同一个多项式。

反过来，要证明两个多项式不相等，只要找出一个让它们取值不同的 $x$ 就够了。一个反例就能把“对所有 $x$ 都相等”推翻。

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加减法：只有同类项才能合并

多项式加减最像对账。$x^3$ 项和 $x^3$ 项放在一起，$x^2$ 项和 $x^2$ 项放在一起，不能跨种类相加。

同类项必须满足两件事：变量完全相同，各变量的指数也完全相同。

所以：

• $3x^2$ 与 $-5x^2$ 是同类项；
• $3x^2$ 与 $3x^3$ 不是；

合并同类项时，只动系数，变量部分原样保留：

$$3x^2-5x^2=(3-5)x^2=-2x^2$$

你不能把 $3x^2+5x$ 写成 $8x^3$。前者不是同类项，根本没有合并的资格。

加法：按次数对齐

计算：

$$(3x^3-2x+7)+(x^2+5x-4)$$

把同次项放到一列来看：

$$(3x^3+0x^2-2x+7)+(0x^3+x^2+5x-4)$$

于是：

$$=3x^3+x^2+3x+3$$

减法：减号要分给整个括号

计算：

$$(5x^2+3x-1)-(2x^2-4x+6)$$

括号前面的减号表示“减去整个多项式”。所以第二个括号里的每一项都要变号：

$$5x^2+3x-1-2x^2+4x-6$$

再合并同类项：

$$=3x^2+7x-7$$

很多错误就发生在这一步：只把 $2x^2$ 变成 $-2x^2$，后面的 $-4x$ 和 $6$ 却原封不动。稳一点的做法是先完整去括号，再合并，别把两步挤在脑子里一起做。

一道混合例题

化简：

$$(6x^3-2x^2+x-4)-(3x^3+x^2-5x)+(x^2-3x+7)$$

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乘法：每一项都要乘到

多项式乘法的底层规则只有分配律：

$$a(b+c)=ab+ac$$

两个括号相乘时，可以把它理解成“左边每一项，都要和右边每一项配一次对”。少配一次就会漏项，多配一次就会重复。

单项式乘多项式

计算：

$$3x^2(2x^3-4x+1)$$

$3x^2$ 要分别乘括号里的三项：

$$3x^2\cdot 2x^3=6x^5$$ $$3x^2\cdot(-4x)=-12x^3$$ $$3x^2\cdot 1=3x^2$$

所以：

$$3x^2(2x^3-4x+1)=6x^5-12x^3+3x^2$$

这里同时用了两条老规则：系数相乘，同底数幂的指数相加。

多项式乘多项式

计算：

$$(x^2+2x-1)(x-3)$$

可以先让第一个括号的三项分别去乘第二个括号：

$$x^2(x-3)+2x(x-3)-1(x-3)$$

展开：

$$x^3-3x^2+2x^2-6x-x+3$$

合并同类项：

$$x^3-x^2-7x+3$$

二项式乘二项式时，有人喜欢用“首、外、内、末”提醒四次相乘。这个顺序可以用，但别把它误当成新公式。括号一旦不止两项，这个口令就不够了，真正一直有效的还是分配律。

结果会有多少项

一个有 $m$ 项的多项式乘一个有 $n$ 项的多项式，展开前会产生 $mn$ 个乘积。但整理以后，项数可能变少，因为某些乘积会成为同类项，甚至互相抵消。

比如：

$$(1+x+x^2+x^3)^2$$

机械展开会产生 $4\times 4=16$ 个乘积，合并以后却只有：

$$1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6$$

一共 7 项。

还有两个很快的检查：

1. 两个非零多项式相乘，结果的次数应等于两个因式次数之和。
2. 结果的首项，应由两个因式的首项相乘得到。

例如二次多项式乘三次多项式，结果应是五次。如果你算出四次，通常是最高次项漏乘或被你误消掉了。

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特殊乘积：公式是展开后的固定形状

有些括号反复出现。把它们的展开结果记住，可以少写几步；但最好先知道公式从哪里来，不然符号一变就容易背乱。

和与差的平方

从分配律直接展开：

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$$ $$=a^2+ab+ab+b^2$$ $$=a^2+2ab+b^2$$

同样，把 $b$ 换成 $-b$：

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

最容易丢的是中间项。$(a+b)^2$ 绝不是 $a^2+b^2$，因为两个交叉乘积 $ab$ 和 都存在，它们合起来正好是 。

几何上也能看到这个 $2ab$。边长为 $a+b$ 的正方形，可以切成一个 $a\times a$ 正方形、一个 $b\times b$ 正方形，以及两个 $a\times b$ 长方形。总面积自然是：

$$a^2+ab+ab+b^2$$

平方差

两个括号的结构相同，只有中间符号相反：

$$(a+b)(a-b)$$

展开后：

$$a^2-ab+ab-b^2$$

中间两项抵消，于是：

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

例如：

$$(x^2+5)(x^2-5)=x^4-25$$

这里的 $a$ 是整个 $x^2$，不是 $x$。认公式时要把“整块”看出来。

立方公式不是凭空冒出来的

把平方公式再乘一个 $(a+b)$：

$$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$$

逐项相乘并合并，得到：

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

把 $b$ 换成 $-b$，得到：

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

注意差的立方里符号交替出现：正、负、正、负。中间的 $3$ 来自同类项合并，并不是人为塞进去的。

杨辉三角告诉你系数怎么长出来

把 $(a+b)^n$ 的系数单独排出来，会看到：

$$\begin{array}{ccccccccc}& & & & 1& & & & \\ & & & 1& & 1& & & \\ & & 1& & 2& & 1& & \\ & 1& & 3& & 3& & 1& \\ 1& & \end{array}$$

每行两端都是 $1$，中间的数等于上一行相邻两数之和。例如 $1,3,3,1$ 的下一行是 $1,4,6,4,1$。

因此：

$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

你还能顺手检查两件事：每一项里 $a$ 与 $b$ 的指数和都等于 $4$；系数左右对称，因为交换 $a$ 和 $b$ 不会改变 $(a+b)^4$。

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多项式除法：不断消掉当前最高次项

整数除法会把一个数写成：

$$\text{被除数}=\text{除数}\times\text{商}+\text{余数}$$

多项式除法做的是同一件事。给定被除式 $P(x)$ 和非零除式 $D(x)$，我们要找商 $Q(x)$ 与余式 $R(x)$，使得：

$$P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$$

并且余式为 $0$，或者满足：

$$\deg R<\deg D$$

这条“余式次数必须更低”的要求很重要。否则你还可以继续除，运算就没有真正结束。

如果 $P(x)$ 的次数是 $n$，$D(x)$ 的次数是 $m$，并且 $n\ge m$，那么商的次数恰好是 $n-m$。原因就在第一轮：两个首项相除，指数要相减。满足这些条件的商和余式还是唯一的，所以只要你验算通过，并确认余式次数低于除式，就不可能还有另一套不同的正确答案。

如果被除式次数本来就低于除式，例如用 $x^2+1$ 去除 $3x-4$，那就已经不能再消最高次项了。此时商是 $0$，余式就是 $3x-4$。

长除法的四个动作

每一轮都做同样四件事：

1. 除：用当前余式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的一项；
2. 乘：用这项乘回整个除式；
3. 减：对应次数对齐，整行相减；
4. 拉下：把还没处理的下一项带下来，进入下一轮。

别只盯着“除”这一步。真正让次数降下去的是“乘回再相减”：选出的商项正好把当前最高次项抵消掉。

完整例题

计算：

$$(2x^3+3x^2-8x+3)\div(x+3)$$

余式不为零时，别硬除下去

计算：

$$(3x^3-5x^2+2x+1)\div(x^2-x+1)$$

第一轮得到商项 $3x$，相减后是 $-2x^2-x+1$；第二轮得到商项 $-2$，相减后是 $-3x+3$。

现在余式只有一次，而除式是二次。次数已经低下去，应该停止：

$$3x^3-5x^2+2x+1=(x^2-x+1)(3x-2)+(-3x+3)$$

验算比重做一遍更快

长除法算完以后，检查两件事：

• 余式次数是否低于除式次数；
• 把“除式乘商，再加余式”展开，能否回到被除式。

第二条是最可靠的验算。它同时检查了商和余式，而不是只看最后一个数字顺不顺眼。

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综合除法：把长除法压缩成系数运算

当除式恰好是 $x-a$ 时，长除法里反复出现的变量可以省略，只保留系数。这就是综合除法。

例如：

$$(x^3-2x^2+4x-5)\div(x-1)$$

因为 $x-1=x-a$，所以 $a=1$。把被除式的系数依次写成：

$$1,\ -2,\ 4,\ -5$$

流程是“落下、相乘、相加”：

$$\begin{array}{r|rrrr} 1&1&-2&4&-5\\ & &1&-1&3\\ \hline &1&-1&3&-2 \end{array}$$

最后一行的前三个数是商的系数，最后一个数是余数。因此：

$$Q(x)=x^2-x+3,\qquad R=-2$$

也就是：

$$x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(x^2-x+3)-2$$

为什么要补零

如果被除式是 $x^3-3x+2$，$x^2$ 项缺失，系数必须写成：

$$1,\ 0,\ -3,\ 2$$

少写这个 $0$，后面的系数会整体错位，商的次数也跟着乱掉。

哪些除式能直接用

最标准的综合除法针对 $x-a$。看符号时要反着读：

• 除式 $x-4$，表格左边写 $4$；
• 除式 $x+3=x-(-3)$，表格左边写 $-3$。

如果除式是 $2x-3$ 或 $x^2+1$，这套最基础的综合除法不能原样套用。此时回到长除法最稳。

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余式定理：不做除法也能先知道余数

假设多项式 $P(x)$ 除以 $x-a$，商是 $Q(x)$，余数是 $r$。因为除式是一次，余式次数必须低于一次，所以余式只能是一个常数。

按照除法恒等式：

$$P(x)=(x-a)Q(x)+r$$

现在把 $x=a$ 代进去：

$$P(a)=(a-a)Q(a)+r$$

第一项直接变成 $0$，于是：

$$P(a)=r$$

这就是余式定理：$P(x)$ 除以 $x-a$ 的余数，等于 $P(a)$。

拿刚才的例子验证：

$$P(x)=x^3-2x^2+4x-5$$

除以 $x-1$ 的余数应该是：

$$P(1)=1-2+4-5=-2$$

和综合除法最后得到的 $-2$ 完全一致。

因式定理：余数为零会发生什么

如果 $P(a)=0$，余式定理告诉我们，$P(x)$ 除以 $x-a$ 的余数是 $0$。也就是说：

$$P(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-a\text{ 是 }P(x)\text{ 的因式}$$

例如：

$$P(x)=x^3-3x^2+4$$

先算：

$$P(2)=8-12+4=0$$

所以 $x-2$ 一定是因式。用综合除法得到商 $x^2-x-2$，再分解：

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

于是：

$$P(x)=(x-2)^2(x+1)$$

这就是本章和下一章真正接上的地方：先用代值找出一个根，再把对应的一次因式除掉，原来的高次多项式就降了一次。

一个常见的逻辑漏洞

如果 $a$ 和 $b$ 都是 $P(x)$ 的根，确实可以推出 $(x-a)(x-b)$ 是 $P(x)$ 的因式，但中间需要一步说明。

先由 $P(a)=0$ 写成：

$$P(x)=(x-a)Q(x)$$

再把 $x=b$ 代入。若 $a\ne b$，就有：

$$0=P(b)=(b-a)Q(b)$$

因为 $b-a\ne 0$，只能是 $Q(b)=0$。于是 $x-b$ 又是 $Q(x)$ 的因式，最终才得到：

$$P(x)=(x-a)(x-b)S(x)$$

不能只说“它分别被两个式子整除，所以一定被两者的乘积整除”。整数里 $12$ 能被 $4$ 和 $6$ 整除，却不能被 $24$ 整除。逻辑要走完整。

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从几个值还原多项式：插值的想法

现在把问题倒过来。以前是知道 $P(x)$，去算 $P(1)$、$P(2)$；如果只知道若干个取值，能不能把 $P(x)$ 找回来？

这件事叫作插值。

一次多项式需要两个点

次数不超过 $1$ 的多项式写成：

$$P(x)=ax+b$$

它有两个待定系数 $a,b$，所以通常需要两个互异的 $x$ 值。

已知：

$$P(1)=7,\qquad P(2)=5$$

代入得到：

$$a+b=7$$ $$2a+b=5$$

两式相减得 $a=-2$，再代回得 $b=9$，所以：

$$P(x)=-2x+9$$

从图像看也很自然：两个横坐标不同的点，恰好确定一条直线。

二次多项式通常需要三个点

已知一个次数不超过 $2$ 的多项式满足：

$$P(1)=0,\qquad P(2)=0,\qquad P(3)=4$$

前两个条件先告诉我们，$1$ 和 $2$ 是根，所以：

$$P(x)=c(x-1)(x-2)$$

为什么前面只有一个常数 $c$？因为次数不超过 $2$，不能再乘一个含 $x$ 的多项式，否则次数会超过限制。

再代入 $x=3$：

$$4=P(3)=c(3-1)(3-2)=2c$$

所以 $c=2$，得到：

$$P(x)=2(x-1)(x-2)=2x^2-6x+4$$

为什么次数不超过 n 时需要 n+1 个值

次数不超过 $n$ 的多项式一般有 $n+1$ 个系数：

$$a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$$

在 $n+1$ 个互异的 $x$ 上给出函数值，通常刚好能确定这些系数，而且结果是唯一的。

唯一性可以这样理解。假设 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都满足同样的 $n+1$ 组数据，考虑它们的差：

$$R(x)=P(x)-Q(x)$$

$R(x)$ 的次数仍不超过 $n$，却在那 $n+1$ 个互异的 $x$ 上都等于 $0$。一个非零的 $n$ 次多项式最多只能有 $n$ 个不同的根，所以 只能是零多项式。于是 。

这也补上了前面“代值能不能证明恒等”的问题：如果两个多项式次数都不超过 $n$，并且在 $n+1$ 个互异取值上相等，那么它们确实恒等；若没有次数上界，只检查几个点就不够。

差分也能透露次数

把多项式在连续整数上的值排成一列，再计算相邻两项之差，叫作一阶差分；对一阶差分再做相邻差，叫作二阶差分。

例如：

$$P(x)=x^2-x-4$$

从 $x=0$ 开始，它的值是：

$$-4,\ -4,\ -2,\ 2,\ 8,\ 16,\ldots$$

一阶差分是：

$$0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots$$

二阶差分变成常数：

$$2,\ 2,\ 2,\ 2,\ldots$$

一般来说，一次多项式的一阶差分是常数，二次多项式的二阶差分是常数，三次多项式的三阶差分是常数。它不能代替完整证明，但能帮助你从数值表里猜出合适的次数。

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练习与解析

先自己写一遍。尤其是加减法的符号、乘法的漏项、除法的缺项占位，这三类错误只有亲手算过才会真正暴露。

结构与取值

练习 1：把下面的式子整理成标准形式，并写出次数、首项系数和常数项。

$$3x-2x^4+5-x^2+7x^4-8x$$

显示答案

先合并同类项：$x^4$ 项系数是 $-2+7=5$，$x$ 项系数是 $3-8=-5$。标准形式是 。次数为 ，首项系数为 ，常数项为 。缺少的 项系数是 。

练习 2：已知：

$$P(x)=2x^4-3x^3+x-6$$

求全部系数之和，以及偶次项系数之和减去奇次项系数之和。

显示答案

全部系数之和等于 $P(1)=2-3+0+1-6=-6$。偶次项系数之和减去奇次项系数之和等于 $P(-1)=2+3-1-6=-2$。这里 项的系数是 。

加减与乘法

练习 3：化简：

$$(4x^2-3x+1)-(x^2+2x-5)+(3x-2)$$

显示答案

第二个括号前是减号，展开后为 $-x^2-2x+5$。原式变成 $4x^2-3x+1-x^2-2x+5+3x-2$。合并同类项得到 。

练习 4：展开并化简：

$$(2x-3)(x^2+x+4)$$

显示答案

让 $2x$ 和 $-3$ 分别乘到第二个括号的每一项：$2x^3+2x^2+8x-3x^2-3x-12$。合并同类项后得到 。结果是三次，和一次乘二次的次数检查一致。

练习 5：尽量使用特殊乘积公式：

$$(3x-2)^2-(3x+2)(3x-2)$$

显示答案

第一部分是差的平方：$(3x-2)^2=9x^2-12x+4$。第二部分是平方差：$(3x+2)(3x-2)=9x^2-4$。相减得到 。最后的 被减掉时变成 ，这里很容易漏符号。

除法与余式

练习 6：用长除法计算，并写成“被除式 = 除式 × 商 + 余式”的形式。

$$(2x^3+x^2-3x+5)\div(x^2+x-1)$$

显示答案

第一轮商项是 $2x$，乘回得 $2x^3+2x^2-2x$，相减得到 $-x^2-x+5$。第二轮商项是 ，乘回得 ，相减得到余式 。所以商是 ，余式是 ，恒等式为 。

练习 7：不用完整长除法，求：

$$P(x)=2x^4-5x^2+3x-7$$

除以 $x+2$ 的余数。

显示答案

$x+2=x-(-2)$，所以根据余式定理，余数是 $P(-2)$。计算得 $2\cdot16-5\cdot4+3(-2)-7=32-20-6-7=-1$。余数是 。

练习 8：判断 $x-2$ 是否是 $x^3-3x^2+4$ 的因式；如果是，继续分解。

显示答案

先代入 $x=2$：$8-12+4=0$，所以 $x-2$ 是因式。综合除法使用系数 $1,-3,0,4$，注意缺少的 项要补 ，商为 。继续分解得到 ，因此原式等于 。

插值

练习 9：次数不超过 $2$ 的多项式 $P(x)$ 满足：

$$P(0)=0,\qquad P(1)=0,\qquad P(2)=6$$

求 $P(x)$。

显示答案

前两个条件说明 $0$ 和 $1$ 是根，所以 $P(x)=cx(x-1)$。代入 $x=2$ 得 $6=2c$，于是 。所以 。

练习 10：两个次数都不超过 $3$ 的多项式，在 $x=-1,0,2,5$ 时取值分别相等。能否断定它们恒等？

显示答案

可以。令两者之差为 $R(x)$，那么 $R(x)$ 的次数不超过 $3$，却有 $-1,0,2,5$ 四个互不相同的根。非零三次多项式最多有三个不同的根，所以 $R(x)$ 只能是零多项式，两者恒等。

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下一章为什么会回到“乘积”

做完这一章，你已经见过同一个多项式的两种样子。

展开式把每一项摆出来，适合加减、比较系数和代值：

$$x^2-5x+6$$

乘积式把结构装回括号，适合找零点和解方程：

$$(x-2)(x-3)$$

多项式运算大多在把括号打开；因式分解则反过来，要从结果猜回这些括号。你在这里练过的分配律、特殊乘积、长除法、余式定理，都会在下一章重新出现，只是方向变了。

以后拿到一个多项式，可以先问自己三句：它现在是不是标准形式？这个问题更需要展开式还是乘积式？算完以后，能不能通过次数、代值或“除式乘商加余式”做一次快速检查？

这三句比多背一个口诀更管用。