从距离到范数：无限维空间的第一眼

从“距离”到“长度”：无限维空间的第一眼

你已经知道怎样在 $\mathbb R^n$ 里计算两点的距离。现在把对象换成一条函数，或者一串无穷序列，问题会立刻变得具体起来：两条函数“差不多”到底是什么意思？只要每个点的函数值都接近，就算接近吗？还是要控制整个区间上的最大误差？

本章只围绕一个稳定目标展开：FA-NORM——给出范数和它诱导的收敛，比较有限维与无限维的几何差异，并能为具体空间选择合适的范数。 读完之后，你应能把一个范数检查到每个公理，说明范数为什么给出度量，判断一个序列是否 Cauchy，并解释为什么有限维里的闭有界紧性不能直接搬到无限维。

平面上三种范数的单位球边界叠加对比图示说明：同一平面向量在 $\ell^1$ 、 $\ell^2$ 和 $\ell^\infty$ 三种范数下的单位球，突出“长度规则改变，集合形状也改变”。

一个先摆在桌面上的问题

在 $[0,1]$ 上考虑一列连续函数。它们可能在大多数位置都很接近，却在一个越来越窄的区间里出现越来越高的尖峰。若只看积分意义下的平均误差，尖峰似乎正在消失；若看最大误差，尖峰始终可见。

所以我们需要的不是一句模糊的“函数接近”，而是一种能量化对象大小的规则。这个规则要兼容向量加法和数乘，还要让“差向量很小”真正定义出距离。它就是范数。

范数把“大小”写成公理

设 $V$ 是实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$ 上的向量空间。一个函数

\|\cdot\|:V\longrightarrow[0,\infty)

称为范数，如果任意 $x,y\in V$ 和标量 $\lambda$ 都满足：

正定性： $\|x\|\ge 0$ ，且 $\|x\|=0$ 当且仅当 $x=0$ ；
绝对齐次性： $\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|$ ；
三角不等式： $\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$ 。

写成二元组 $(V,\|\cdot\|)$ ，就是一个赋范空间。这里的对象可以是 $\mathbb R^n$ 中的坐标，也可以是函数、序列、矩阵或算子。范数公理不关心对象长什么样，只规定“大小”应当怎样和线性运算相处。

三角不等式说的是：沿着一条中间路线走，花费不会少于直接走。对向量而言， $x+y$ 的大小不会超过先承担 $x$ 再承担 $y$ 的总大小。后面所有距离、收敛和 Cauchy 估计，都会反复使用这一条。

为什么三条公理缺一不可

正定性排除了“非零向量却没有大小”的退化情况。绝对齐次性规定放大 $x$ 时大小按放大倍数变化；在复数域上，倍数的方向无关紧要，所以出现的是 $|\lambda|$ 。三角不等式把加法和大小接起来，使误差可以逐段估计。

例如在 $\mathbb R^2$ 中，下面三种常用规则都是范数：

\|(x,y)\|_1=|x|+|y|, \qquad \|(x,y)\|_2=(|x|^2+|y|^2)^{1/2}, \qquad \|(x,y)\|_\infty=\max\{|x|,|y|\}.

它们给同一个向量不同的“长度”。例如 $(1,1)$ 的三种长度分别是 $2$ 、 $\sqrt2$ 和 $1$ 。这不是矛盾，因为范数本来就是额外选择的数据；接下来要问的是：不同选择会不会改变分析中的结论。

从范数得到度量

给定范数，定义

d(x,y)=\|x-y\|.

这确实是一个度量。非负性来自范数的值域；对称性来自

d(x,y)=\|x-y\|=\|-(y-x)\|=\|y-x\|=d(y,x);

这里用到了绝对齐次性和 $|-1|=1$ 。若 $d(x,y)=0$ ，正定性给出 $x-y=0$ ，所以 $x=y$ 。最后，

d(x,z)=\|x-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\le\|x-y\|+\|y-z\|=d(x,y)+d(y,z).

三角不等式正是在这里把范数升级成了距离。

反过来，范数本身也能由距离读出来： $\|x\|=d(x,0)$ 。因此范数空间不是“向量空间加一个装饰长度”，它同时带有一套由线性结构控制的度量结构。

一个常用的估计：反三角不等式

由三角不等式，

\|x\|=\|(x-y)+y\|\le\|x-y\|+\|y\|,

所以 $\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$ 。交换 $x,y$ 后得到 $\|y\|-\|x\|\le\|x-y\|$ 。两式合在一起就是

\big|\|x\|-\|y\|\big|\le\|x-y\|.

这说明范数函数本身是一个 1-Lipschitz 函数。以后只要知道 $x_n\to x$ ，就能立刻得到 $\|x_n\|\to\|x\|$ ，不需要重新展开范数的具体公式。

收敛和 Cauchy 性都由范数决定

在赋范空间中，序列 $(x_n)$ 按范数收敛到 $x$ ，记作 $x_n\to x$ ，是指

\|x_n-x\|\longrightarrow0.

这句话的核心对象是误差向量 $x_n-x$ 。例如在 $C[0,1]$ 的上确界范数中， $f_n\to f$ 意味着

\sup_{0\le t\le1}|f_n(t)-f(t)|\longrightarrow0,

也就是一致收敛；在别的范数下，同一列函数可能有不同的收敛结论。

序列 $(x_n)$ 称为 Cauchy 序列，如果对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使得当 $m,n\ge N$ 时，

\|x_n-x_m\|<\varepsilon.

收敛序列一定是 Cauchy 序列。证明只用三角不等式：若 $x_n\to x$ ，给定 $\varepsilon>0$ ，取 $N$ 使 $\|x_n-x\|<\varepsilon/2$ （ $n\ge N$ ），则

\|x_n-x_m\|\le\|x_n-x\|+\|x_m-x\|<\varepsilon.

反过来，Cauchy 序列是否一定收敛，要等到下一章讨论完备性时回答。此处先把逻辑分开：Cauchy 条件只比较序列后部的项彼此是否靠近，它没有直接告诉你极限在哪里。

“每个 $x_n$ 都有界”“序列有一个收敛子列”和“序列是 Cauchy”是三件不同的事。Cauchy 要求尾部任意两项都靠近；有界只要求所有项落在某个大球里，距离可能始终很大。

例题：在一个非标准范数下同时检查距离和收敛

在 $\mathbb R^2$ 上定义

N(x,y)=|x|+2|y|.

证明 $N$ 是范数，并判断 $u_n=(1/n,(-1)^n/n)$ 是否按 $N$ 收敛；若收敛，求极限。

这里直接逐条检查公理最稳妥：公式是坐标绝对值的加权和，三角不等式可以分别在两个坐标上使用。

非负性显然。若 $N(x,y)=0$ ，则 $|x|=0$ 且 $2|y|=0$ ，所以 $x=y=0$ ；反过来 $N(0,0)=0$ ，正定性成立。

对任意标量 $\lambda$ ，有

N(\lambda x,\lambda y)=|\lambda x|+2|\lambda y|=|\lambda|(|x|+2|y|)=|\lambda|N(x,y).

所以绝对齐次性成立。

对 $u=(x_1,y_1)$ 、 $v=(x_2,y_2)$ ，实数绝对值的三角不等式给出

N(u+v)=|x_1+x_2|+2|y_1+y_2|\le |x_1|+|x_2|+2|y_1|+2|y_2|=N(u)+N(v).

因此 $N$ 是范数。

令 $u_n=(1/n,(-1)^n/n)$ 。有

N(u_n)=\frac1n+2\frac1n=\frac3n\longrightarrow0=N(0,0).

所以 $u_n\to(0,0)$ 。符号 $(-1)^n$ 让第二个坐标来回变号，但范数控制的是它的绝对值；只要绝对值趋于零，变号不会阻碍收敛。

这个例子还给出一个可复用的做法：判断范数收敛时，不要只看坐标是否“看起来趋近”，而要把误差代入当前范数，真正算出 $\|u_n-u\|$ 的极限。

有限维里，范数选择不会改变拓扑

两个定义在同一向量空间上的范数 $\|\cdot\|_a$ 和 $\|\cdot\|_b$ 称为等价范数，如果存在常数 $c,C>0$ ，使任意 $x$ 都有

c\|x\|_a\le\|x\|_b\le C\|x\|_a.

这两个不等式分别控制一个方向，合起来说明一个范数小，当且仅当另一个范数也小。因而它们定义相同的收敛序列、Cauchy 序列、开集和闭集。

先看坐标范数之间的直接比较

对 $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$ 或 $\mathbb C^n$ ，有

\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty.

第一条是因为最大坐标的绝对值不超过所有绝对值之和；第二条是因为每个 $|x_i|\le\|x\|_\infty$ ，逐项相加即可。

更一般地，若 $1\le p<\infty$ ，则

\|x\|_\infty\le\|x\|_p\le n^{1/p}\|x\|_\infty.

右侧仍来自 $|x_i|^p\le\|x\|_\infty^p$ 的逐项相加。左侧取达到最大值的坐标 $j$ ，有 $|x_j|^p\le\sum_i|x_i|^p$ 。

有限维范数等价定理

定理。 在有限维向量空间上，任意两个范数都等价。

这条结论的证明值得完整保留，因为它明确指出了有限维假设在哪里使用。设 $V$ 的维数为 $n$ ，选定基 $e_1,\dots,e_n$ ，并用坐标定义

\|x\|_\infty^{\text{coord}}=\max_{1\le i\le n}|x_i|, \qquad x=\sum_{i=1}^n x_i e_i.

对任意给定范数 $\|\cdot\|$ ，先证明它与这个坐标范数等价。

第一步给出上界。由三角不等式和绝对齐次性，

\|x\|=\left\|\sum_{i=1}^n x_i e_i\right\|\le\sum_{i=1}^n |x_i|\,\|e_i\|\le\left(\sum_{i=1}^n\|e_i\|\right)\|x\|_\infty^{\text{coord}}.

令 $M=\sum_i\|e_i\|$ ，得到

\|x\|\le M\|x\|_\infty^{\text{coord}}.

这一步只用到了有限个基向量，因此是有限维的第一处入口。

第二步控制反方向。考虑坐标单位球面

S_\infty=\{x\in V:\|x\|_\infty^{\text{coord}}=1\}.

它在坐标空间中是闭且有界的，所以由有限维 Heine–Borel 定理是紧集。上面已经证明 $\|x\|\le M\|x\|_\infty^{\text{coord}}$ ，再用反三角不等式可得

\big|\|x\|-\|y\|\big|\le\|x-y\|\le M\|x-y\|_\infty^{\text{coord}}.

所以 $x\mapsto\|x\|$ 在 $S_\infty$ 上连续。它在 $S_\infty$ 上处处为正；紧性保证它取得正的最小值 $m>0$ 。于是对任意非零 $x$ ，令 $u=x/\|x\|_\infty^{\text{coord}}$ ，则 $u\in S_\infty$ ，从而

\|x\|=\|x\|_\infty^{\text{coord}}\|u\|\ge m\|x\|_\infty^{\text{coord}}.

零向量时不等式也成立。于是

m\|x\|_\infty^{\text{coord}}\le\|x\|\le M\|x\|_\infty^{\text{coord}}.

任意两个范数都分别与坐标范数等价，因此彼此等价。

有限维范数等价的真正结论不是“各种公式差不多”，而是它们给出同一套拓扑语言：收敛、Cauchy、开闭性都不依赖你选 $\ell^1$ 、 $\ell^2$ 还是 $\ell^\infty$ 。但常数会影响计算效率；做估计时，仍应选择最顺手的范数。

例题：用坐标变换检查一个范数并找比较常数

在 $\mathbb R^2$ 上定义

N(x,y)=\max\{|x|,|x-y|\}.

证明 $N$ 是范数，并比较它与 $\|(x,y)\|_\infty$ 。这里有两种办法：可以直接逐条验证三角不等式；更省力的办法是把它看成一个可逆线性坐标变换后的上确界范数。

定义线性映射 $T(x,y)=(x,x-y)$ 。它可逆，因为由 $(u,v)=T(x,y)$ 可恢复 $x=u$ 、 $y=u-v$ 。并且

N(x,y)=\|T(x,y)\|_\infty.

上确界范数满足三条范数公理，线性可逆映射的逆像不会把非零向量送到零向量，所以 $N=\|T(\cdot)\|_\infty$ 也是范数。

若 $r=\|(x,y)\|_\infty$ ，则 $|x|\le r$ 且 $|x-y|\le |x|+|y|\le2r$ ，所以

N(x,y)\le2\|(x,y)\|_\infty.

反过来，令 $s=N(x,y)$ 。则 $|x|\le s$ ，而

|y|=|x-(x-y)|\le|x|+|x-y|\le2s.

因此 $\|(x,y)\|_\infty\le2N(x,y)$ ，也就是

\frac12\|(x,y)\|_\infty\le N(x,y)\le2\|(x,y)\|_\infty.

两范数等价，所以用 $N$ 或上确界范数描述 $\mathbb R^2$ 中的收敛，得到的序列完全相同。这里选择坐标变换的方法，避免了对 $|x-y|$ 的三角不等式重复展开。

无限维的第一道裂缝：闭单位球不紧

本节的“单位球”特指闭单位球

\overline B_V=\{x\in V:\|x\|\le1\}.

在有限维空间里，闭且有界的集合紧；在无限维赋范空间里，这个结论失败。更准确地说：

定理。 赋范空间 $V$ 的闭单位球紧，当且仅当 $V$ 是有限维的。

“有限维 $Rightarrow$ 紧”就是有限维坐标下的 Heine–Borel 定理。下面证明更容易被误用的反方向。核心工具是一个简单的距离构造。

Riesz 引理带来的分离序列

若 $M$ 是赋范空间 $V$ 的真闭线性子空间，取 $0<\alpha<1$ ，则存在 $u\in V$ ，满足

\|u\|=1, \qquad \operatorname{dist}(u,M)>\alpha.

证明如下。选 $z\notin M$ 。因为 $M$ 闭， $V\setminus M$ 是开集，所以 $z$ 到 $M$ 的距离

d_0=\inf_{m\in M}\|z-m\|

严格大于 $0$ 。根据下确界的定义，可以选 $m_0\in M$ ，使

\|z-m_0\|<\frac{d_0}{\alpha}.

令 $u=(z-m_0)/\|z-m_0\|$ 。因为 $M$ 是线性子空间，

\operatorname{dist}(u,M)=\frac{\operatorname{dist}(z-m_0,M)}{\|z-m_0\|}=\frac{d_0}{\|z-m_0\|}>\alpha.

这里等式中的平移不改变到子空间的距离，缩放则把距离按正数倍缩放。引理得证。

现在假设 $V$ 无限维。令 $M_0=\{0\}$ ，使用 Riesz 引理选 $u_1\in V$ ， $\|u_1\|=1$ 。递归地令

M_{n-1}=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_{n-1}\}.

它是有限维子空间，因此闭；又因为 $V$ 无限维，它是真子空间。再次使用引理，取 $u_n$ 满足

\|u_n\|=1, \qquad \operatorname{dist}(u_n,M_{n-1})>\frac12.

若 $n>m$ ，则 $u_m\in M_{n-1}$ ，所以

\|u_n-u_m\|\ge\operatorname{dist}(u_n,M_{n-1})>\frac12.

这列单位向量中任意两项都相距超过 $1/2$ 。因此它没有 Cauchy 子列，更不可能有收敛子列。度量空间中的紧集要求每个序列都有收敛子列，于是单位球面不紧；闭单位球包含单位球面，也不紧。

在无限维赋范空间中，闭有界不推出紧。你若把有限维证明里的“闭有界，所以紧”直接套进来，缺失的正是有限个坐标带来的紧性。无限维里可以不断加入新方向，造出彼此始终分离的单位向量。

两类基本的无限维空间

连续函数空间 $C[a,b]$

记

C[a,b]=\{f:[a,b]\to\mathbb R\text{（或 }\mathbb C\text{）}:f\text{ 连续}\}.

常见范数包括上确界范数

\|f\|_\infty=\max_{a\le t\le b}|f(t)|

和对 $1\le p<\infty$ 的积分范数

\|f\|_p=\left(\int_a^b|f(t)|^p\,dt\right)^{1/p}.

上确界是最大值，是因为 $|f|$ 连续而 $[a,b]$ 紧。上确界范数的三角不等式逐点成立：

|f(t)+g(t)|\le|f(t)|+|g(t)|\le\|f\|_\infty+\|g\|_\infty,

对 $t$ 取最大值得到结论。

对积分范数，齐次性来自积分的齐次性。正定性需要用到连续性：若 $\|f\|_p=0$ 但某点 $t_0$ 有 $|f(t_0)|>0$ ，连续性会保证 $t_0$ 附近一小段区间上 $|f|$ 仍有正的下界，积分就会严格大于零，矛盾。三角不等式是 Minkowski 不等式；它由 Hölder 不等式推出，是这里使用测度与积分先修的地方。

两种范数之间总有一个直接的单向估计：

\|f\|_p^p=\int_a^b|f(t)|^pdt\le(b-a)\|f\|_\infty^p,

所以

\|f\|_p\le(b-a)^{1/p}\|f\|_\infty.

反方向在无限维中一般不存在统一常数。这个差别正是“平均误差”和“最大误差”分道扬镳的地方。

高度固定而支撑变窄的连续三角尖峰图示说明： $C[0,1]$ 中的连续三角尖峰 $f_n$ ，高度固定为 $1$ ，支撑区间宽度逐渐缩小；标注最大值与积分面积的变化。

例题：同一列函数在两种范数下走向不同

在 $C[0,1]$ 中定义

f_n(t)=\max\{1-n|t-1/2|,0\}, \qquad n\ge4.

判断 $f_n$ 是否在 $\|\cdot\|_\infty$ 和 $\|\cdot\|_p$ （ $1\le p<\infty$ ）下收敛到零，并据此判断这两个范数在 $C[0,1]$ 上是否等价。

尖峰的最高处和底部面积分别对应两种范数，所以直接计算比抽象比较更清楚。

在 $t=1/2$ 处， $f_n(1/2)=1$ ；同时 $0\le f_n(t)\le1$ 。因此

\|f_n\|_\infty=1

对每个 $n$ 都成立。于是 $f_n$ 不按上确界范数收敛到零。

函数只在 $|t-1/2|\le1/n$ 时非零。令 $s=n|t-1/2|$ ，左右两侧对称，得到

\int_0^1|f_n(t)|^pdt =2\int_0^{1/n}(1-nt)^pdt =\frac2n\int_0^1(1-s)^pds =\frac{2}{n(p+1)}.

所以

\|f_n\|_p=\left(\frac{2}{n(p+1)}\right)^{1/p}\longrightarrow0.

因此同一列函数按每个有限 $p$ 的积分范数都收敛到零。

如果两范数等价，就应存在常数 $C>0$ ，使 $\|f\|_\infty\le C\|f\|_p$ 对所有 $f\in C[0,1]$ 成立。代入 $f_n$ 得

1=\|f_n\|_\infty\le C\left(\frac{2}{n(p+1)}\right)^{1/p}\longrightarrow0,

矛盾。因此 $\|\cdot\|_\infty$ 与 $\|\cdot\|_p$ 在 $C[0,1]$ 上不等价。

三角尖峰还说明了两种收敛的含义：积分范数允许误差集中在越来越小的区域，上确界范数则会一直记住最高的那一点。选择范数，就是选择你认为哪一种误差更重要。

尖峰序列的上确界范数与有限 p 范数曲线对照图示说明：同一个三角尖峰在上确界范数与 $L^p$ 范数下的数值轨迹，横轴为 $n$ ，突出一条恒为 $1$ 、另一条趋于 $0$ 的曲线。

$C[a,b]$ 是无限维的：多项式 $1,t,t^2,\dots$ 在任意非退化区间上都线性无关。因而函数空间并不是“坐标很多的 $\mathbb R^n$ ”，它真的允许不断加入新的独立方向。

序列空间 $\ell^p$

对 $1\le p<\infty$ ，定义

\ell^p=\left\{x=(x_k)_{k\ge1}:\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p<\infty\right\}, \qquad \|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^p\right)^{1/p}.

还定义

\ell^\infty=\left\{x=(x_k)_{k\ge1}:\sup_k|x_k|<\infty\right\}, \qquad \|x\|_\infty=\sup_k|x_k|.

有限维坐标范数的公式被保留下来，只是求和变成无穷求和。对 $\ell^p$ 来说，齐次性和正定性直接来自级数；三角不等式仍是 Minkowski 不等式的序列版本。

最基本的方向向量 $e_k=(0,\dots,0,1,0,\dots)$ 都属于每个 $\ell^p$ ，且

\|e_k\|_p=1.

当 $j\ne k$ 时， $e_j-e_k$ 有两个非零坐标，因此

\|e_j-e_k\|_p=2^{1/p}\quad(1\le p<\infty), \qquad \|e_j-e_k\|_\infty=1.

这已经给出闭单位球不紧的一个具体反例：单位向量全部在闭单位球中，却没有任何 Cauchy 子列。

ℓp 中标准单位向量彼此保持固定距离图示说明：把 $e_1,e_2,e_3,\dots$ 画成序列空间中的“新方向”，用统一距离标出它们彼此不靠近，帮助理解无限维单位球中的分离序列。

$\ell^2$ 是 Hilbert 空间的入口

在 $\ell^2$ 上定义内积

\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^\infty x_k\overline{y_k}.

由 Cauchy–Schwarz 不等式，这个级数收敛，并且

\|x\|_2=\langle x,x\rangle^{1/2}.

所以 $\ell^2$ 的范数来自内积，后面 Hilbert 空间的正交、投影和最小二乘都会在这里找到熟悉的序列版本。本章只需要记住这一层关系；内积如何带来完备性和投影定理，留到后续章节展开。

交互观察：形状与误差的两次对照

交互：二维单位球随范数改变

先在纸上预测：半径为 $1$ 时， $\ell^1$ 、 $\ell^2$ 、 $\ell^\infty$ 的单位球分别会经过哪些坐标点？改变范数参数或半径时，观察边界如何移动，并回到不等式

\|x\|_\infty\le\|x\|_p\le2^{1/p}\|x\|_\infty

解释三种单位球为什么互相包含在可控的放大版本中。

交互：连续尖峰的两种“大小”

调节尖峰宽度参数 $n$ 和积分范数指数 $p$ 前，先预测哪一个数值会保持不变、哪一个会下降。操作后观察函数图像、 $\|f_n\|_\infty$ 与 $\|f_n\|_p$ 的同步变化，再用支撑区间长度解释为什么面积型误差会消失，而最大误差不会。

递进练习

快速检查

在无限维赋范空间中，下面哪句话一般不成立？

同一向量空间上的任意两个范数都等价。

由范数诱导的距离是 d(x,y)=____。

巩固：把定义真正用起来

练习 4｜范数检查与收敛。 在 $\mathbb R^2$ 上定义 $N(x,y)=3|x|+|y|$ 。证明 $N$ 是范数，并判断 $v_n=(((-1)^n)/n,2/n)$ 在 $N$ 下的极限。

正定性、绝对齐次性与例题中 $|x|+2|y|$ 的检查完全相同。对三角不等式，分别使用 $|x_1+x_2|\le|x_1|+|x_2|$ 和 $|y_1+y_2|\le|y_1|+|y_2|$ ，得到 $N(u+v)\le N(u)+N(v)$ 。对 $v_n$ ，

N(v_n)=3\frac1n+\frac2n=\frac5n\longrightarrow0.

所以 $v_n\to(0,0)$ 。第一坐标变号不影响结论，因为范数只看到其绝对值。

练习 5｜连续函数中的直接计算。 在 $C[0,1]$ 中取 $f(t)=t$ 。分别计算 $\|f\|_1$ 、 $\|f\|_2$ 和 $\|f\|_\infty$ ，并检查 $\|f\|_p\le\|f\|_\infty$ 是否在这个例子中成立。

因为 $f(t)=t\ge0$ ，

\|f\|_1=\int_0^1t\,dt=\frac12, \qquad \|f\|_2=\left(\int_0^1t^2dt\right)^{1/2}=\frac1{\sqrt3}, \qquad \|f\|_\infty=\max_{0\le t\le1}t=1.

所以 $\|f\|_1\le\|f\|_\infty$ 且 $\|f\|_2\le\|f\|_\infty$ 。这是区间长度为 $1$ 时的一般估计 $\|f\|_p\le(b-a)^{1/p}\|f\|_\infty$ 的具体体现。

应用：选择范数而不是只会代入

练习 6｜同一收敛问题的范数选择。 设 $g_n(t)=t^n$ ， $t\in[0,1]$ 。判断它是否按上确界范数收敛到零；再判断它是否按 $L^1$ 范数收敛到零。说明两种结论为什么不同，并指出这里不能用“有限维范数等价”来解释。

上确界范数为

\|g_n\|_\infty=\max_{0\le t\le1}t^n=1,

因为 $t=1$ 处始终取到 $1$ ，所以不按上确界范数收敛到零。另一方面，

\|g_n\|_1=\int_0^1t^ndt=\frac1{n+1}\longrightarrow0.

这里积分范数忽略了单个端点对积分的贡献，而上确界范数始终记录端点的最大误差。 $C[0,1]$ 含有所有多项式 $1,t,t^2,\dots$ ，是无限维空间；有限维范数等价定理不能使用，事实上尖峰例题已经证明这两种范数不等价。

练习 7｜有限维等价性的迁移。 对 $x\in\mathbb R^3$ 证明

\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt3\,\|x\|_2.

第一条可以直接证明；第二条要求你选择一个合适的不等式。说明这两个范数给出的收敛序列为何相同。

第一条由

\left(\sum_{i=1}^3|x_i|\right)^2=\sum_{i=1}^3|x_i|^2+2\sum_{i<j}|x_i||x_j|\ge\sum_{i=1}^3|x_i|^2

得到，即 $\|x\|_2\le\|x\|_1$ 。第二条使用 Cauchy–Schwarz 不等式：

\|x\|_1=\sum_{i=1}^3|x_i|\le\left(\sum_{i=1}^3 1^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^3|x_i|^2\right)^{1/2}=\sqrt3\,\|x\|_2.

因此两范数等价。若 $x_n\to x$ 按 $\|\cdot\|_1$ ，则 $\|x_n-x\|_2\le\|x_n-x\|_1\to0$ ；反过来， $\|x_n-x\|_1\le\sqrt3\|x_n-x\|_2\to0$ 。两边的收敛序列相同。

迁移：识别无限维的障碍

练习 8｜ $ℓ^p$ 中的非紧性。 固定 $1\le p<\infty$ ，用标准单位向量 $e_k$ 证明 $\ell^p$ 的闭单位球不紧。再说明 $p=\infty$ 时结论如何改写。

每个 $e_k$ 都满足 $\|e_k\|_p=1$ ，所以都在闭单位球中。若 $j\ne k$ ，则

\|e_j-e_k\|_p=\left(|1|^p+|-1|^p\right)^{1/p}=2^{1/p}.

因此 $(e_k)$ 的任意两项距离都相同且大于零，任何子列都不是 Cauchy 序列，更不可能收敛。度量空间紧性要求每个序列有收敛子列，所以闭单位球不紧。对 $p=\infty$ ，仍有 $\|e_k\|_\infty=1$ ，且 $\|e_j-e_k\|_\infty=1$ ，同样得到非紧性。

练习 9｜用 Riesz 引理自己造分离序列。 设 $V$ 是无限维赋范空间。说明为什么可以递归构造单位向量 $u_1,u_2,\dots$ ，使 $n>m$ 时 $\|u_n-u_m\|>1/2$ 。你的解答必须指出有限维子空间为什么能在下一步使用 Riesz 引理。

令 $M_0=\{0\}$ 。选出 $u_1$ 后，设已经得到 $u_1,\dots,u_{n-1}$ ，令 $M_{n-1}=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_{n-1}\}$ 。它由有限个向量张成，所以是有限维子空间；有限维子空间在赋范空间中闭，因此 $M_{n-1}$ 是真闭子空间。这里“真”来自 $V$ 无限维：有限个向量不可能张成整个 $V$ 。

对 $M_{n-1}$ 使用 Riesz 引理，取 $\|u_n\|=1$ 且 $\operatorname{dist}(u_n,M_{n-1})>1/2$ 。若 $n>m$ ，则 $u_m\in M_{n-1}$ ，于是

\|u_n-u_m\|\ge\operatorname{dist}(u_n,M_{n-1})>\frac12.

递归因此成立，并直接排除了 Cauchy 子列，说明闭单位球不紧。

练习 10｜综合判断。 在 $C[0,1]$ 上，给定一列函数 $h_n$ 满足 $\|h_n-h_m\|_\infty\le2^{-\min\{m,n\}}$ 。证明它在上确界范数下是 Cauchy 序列。这个条件能否仅凭本章内容保证它在 $C[0,1]$ 中收敛？请说明还缺少什么结论。

给定 $\varepsilon>0$ ，选择 $N$ 使 $2^{-N}<\varepsilon$ 。当 $m,n\ge N$ 时， $\min\{m,n\}\ge N$ ，所以

\|h_n-h_m\|_\infty\le2^{-\min\{m,n\}}\le2^{-N}<\varepsilon.

因此 $(h_n)$ 是 Cauchy 序列。但本章只证明了收敛序列一定 Cauchy，没有证明 Cauchy 序列一定收敛。要保证极限仍在 $C[0,1]$ 中，需要下一章的完备性结论： $C[0,1]$ 在上确界范数下是 Banach 空间。

有限维紧性与无限维分离序列的对照图示说明：有限维闭单位球的有限网格覆盖与无限维分离序列的对照；左侧展示可用有限个小球逼近，右侧展示半径固定的小球无法覆盖所有 $e_k$ 。

从范数和距离通向 Banach 与 Hilbert 的路线图图示说明： $C[0,1]$ 、 $\ell^p$ 、 $\ell^2$ 与后续 Banach/Hilbert 空间的关系图，突出“范数—收敛—完备性—内积”从本章通向后续章节的路线。

走到这里，可以把本章的判断顺序压缩成一句可操作的话：面对一个新空间，先确认线性对象和范数公理，再用范数写出距离与收敛，随后检查空间是有限维还是无限维。有限维时，范数之间可以互换拓扑语言；无限维时，先警惕闭有界不紧，并用具体序列寻找失败发生在哪里。