有界线性算子与对偶：把空间之间的作用量化

在有限维线性代数里，矩阵乘法很直接：给定一个向量，矩阵告诉你输出是什么。可是当向量变成函数或无限序列时，光写出公式还不够。我们还要回答一个更实际的问题：输入改变得很小，输出是否也一定改变得很小？这种“稳定”能不能用一个数衡量？

设 $T:X\to Y$ 是线性作用。若 $x_n\to x$，我们希望 $Tx_n\to Tx$；若一列近似解 $x_n$ 的误差趋于零，也希望经过 $T$ 后误差不会被无限放大。本章把这个要求写成有界性和算子范数，再观察它如何控制核、像、复合、对偶以及两种不同的收敛方式。

我们会反复做两种计算。一种是对所有输入给出同一个误差上界；另一种是挑一个输入，检验上界还能不能缩小。两种计算缺一不可。等到讨论像空间和对偶时，你会看到：稳定的正向作用，并不自动带来稳定的逆向恢复。

$T(x,y)=(2x,y)$ 将单位圆变成半轴为 $2$ 和 $1$ 的椭圆。两个坐标系使用同样的比例；水平方向给出的放大倍数最大，因此 $\|T\|=2$。

小扰动为什么需要一个统一上界

把“连续”直接搬到线性算子上，会得到一个很有力的简化。一般函数要在每个点检查局部行为；线性算子只要检查原点附近，因为

输入的差异被完全变成了一个向量 $x-y$。如果原点附近的输出能够被输入大小统一控制，那么所有点之间的输出差异都被同一个常数控制。

有界线性算子

设 $X,Y$ 是同一个标量域 $\mathbb F$（通常取 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$）上的赋范空间。线性映射 $T:X\to Y$ 称为有界的，如果存在常数 $C\ge 0$，使得对所有 ，

这里的“有界”不是说 $\{Tx:x\in X\}$ 整体落在某个固定球内；只要 $T$ 非零，取 $Tx_0\ne0$，再放大 的倍数，输出就会无限增大。它说的是：输出至多按输入大小的固定倍数增长。

记所有从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子为 $\mathcal B(X,Y)$。若 $Y=\mathbb F$，这些算子就是连续线性泛函，记作 $X^*$。

连续性与有界性的等价

命题　线性映射 $T:X\to Y$ 连续，当且仅当它有界。

我们把两个方向都写出来。以后遇到一个线性公式时，可以根据手头最方便的条件选择证明路线。

连续性给出的常数不一定是最小的。我们接下来把所有可行的 $C$ 压缩成一个最有用的量。

只看函数值，控制不了导数

在 $C^1[0,1]$ 上只使用函数的上确界范数

定义 $S(f)=f'(0)$。这个泛函是线性的，但不是有界的。取

则 $\|f_n\|_\infty\le1/n\to0$，而 $S(f_n)=f_n'(0)=1$。因此不存在固定的 使 。如果把 上的范数改成

同一个 $S$ 就满足 $|S(f)|\le\|f\|_{C^1}$。算子是否有界，和“公式长什么样”同样取决于定义域、陪域以及两边使用的范数。

算子范数：最坏放大倍数

对 $T\in\mathcal B(X,Y)$，定义算子范数

若 $X=\{0\}$，可约定 $\|T\|=0$。对非零空间，还可以写成

归一化把所有非零输入的放大倍数变成单位球面上的输出长度。允许输入进入单位球内部不会增大上确界：内部向量可以沿射线放大到球面。最后一个表达式则说明，这个上确界就是最小的统一估计常数。上确界不一定被某个单位向量取到，所以不要默认存在 $x$ 使 $\|Tx\|=\|T\|$。

完整例题：Volterra 算子的范数

设 $X=Y=C[0,1]$ 都配备上确界范数，定义

求 $\|T\|$。这里有两件事要分开：积分不等式先给出上界，某个具体函数只能帮助我们证明这个上界不能再降。

如果把核 $t$ 换成非负连续函数 $w(t)$，同样的思路会给出从 $C[0,1]$ 到自身的算子

的上界 $\|T_w\|\le\int_0^1w(t)\,dt$。当 $f\equiv1$ 时若 ，这个上界正好取到。这就是“寻找估计中每一步的等号条件”的实际用处。

在平面上寻找最坏方向

先用 $A=\operatorname{diag}(2,1)$ 预测：哪个单位向量的输出最长？把方向转到对角线，再转到横轴，比较当前放大倍数和整个单位圆上的最大值。实验把输入与输出放在同一比例的坐标系里；输出靠得更远，才表示范数确实更大。

再把两次作用设成 $A=\operatorname{diag}(2,1)$、$B=\operatorname{diag}(1,2)$。各自最大的放大倍数都是 $2$，但 $BA=2I$，最大倍数只有 。两个算子最擅长放大的方向不一致，为什么上界 仍然正确，就很容易理解了。

复合、次乘性与算子空间

如果 $T:X\to Y$、$S:Y\to Z$ 都有界，那么复合 $S\circ T$ 也有界。对任意 $x\in X$，

所以

这称为次乘性。它通常不是等式，但在估计多次作用时非常稳定：每经过一个算子，误差放大因子至多乘上该算子的范数。

若 $X=Y$，写 $\mathcal B(X)=\mathcal B(X,X)$。当 $X\ne\{0\}$ 时恒等算子 满足 ；若 ，则按约定它的范数为 。

先用 $T$ 把输入送到中间空间，再用 $S$ 得到最终输出。这是三个空间之间的作用示意，不按箭头长度表示范数；复合的最大放大倍数要用上面的实验计算。

算子列的极限还在算子空间中

若 $Y$ 是 Banach 空间，那么 $\mathcal B(X,Y)$ 在算子范数下也是 Banach 空间。注意这里不要求 $X$ 完备；算子列的极限是在每个 $x$ 上落到 $Y$ 中，再用统一的算子范数控制收敛。

特别地，$\mathbb F$ 完备，所以任何赋范空间的对偶 $X^*=\mathcal B(X,\mathbb F)$ 都是 Banach 空间，即使 $X$ 本身还不完备。

固定输入得到逐点极限，只完成了第一步。把同一个 Cauchy 估计传到极限后，才能对所有单位输入统一控制误差。

核与像：连续性保护什么

对线性算子 $T:X\to Y$，

核记录“被算子完全看不见”的方向，像记录“算子真正能够产生”的输出。连续性对两者的影响并不对称。

核一定闭

若 $T$ 连续，则 $\ker T$ 是 $X$ 的闭子空间。设 $x_n\in\ker T$ 且 $x_n\to x$。连续性给出

所以 $x\in\ker T$。这正是闭集的序列判别法。

对 $T(x,y)=x$，整条纵轴都是核。图上三个不同的核中向量，输出全是零；核不是输出端的一片区域。

像不一定闭

仅仅知道 $T$ 连续，不能推出 $T(X)$ 闭。一个有用的充分条件是：存在 $c>0$，使得

此时称 $T$ 在下方有界。它排除了非零输入被压缩到任意小的情况。

命题　设 $X$ 是 Banach 空间，$Y$ 是赋范空间。若线性算子 $T:X\to Y$ 有界，且满足 $\|Tx\|\ge c\|x\|$，其中 $c$，则 在 中闭。此外， 自动单射，逆映射 有界，且 。

去掉完备性，命题会失败。例如自然包含 $c_{00}\hookrightarrow\ell^2$ 保持范数，满足 $c=1$ 的下方估计；它的像却是稠密真子空间，不闭。逆映射的有界估计本身不需要完备性，需要完备性的是上面取得 $x\in X$ 的那一步。下方有界是一个很强的条件，但它比“连续”多出的正是我们需要的反向控制。

完整例题：一个连续但像不闭的对角算子

在 $\ell^2$ 上定义

判断 $D$ 是否有界、核是否闭、像是否闭。

这个例子还说明了为什么 $D$ 没有下方有界估计：$\|De_n\|_2=1/n$，而 $\|e_n\|_2=1$。算子把越来越靠后的方向压得越来越小。

对偶空间：用标量读出向量

在有限维空间中，坐标函数、内积和矩阵转置让我们可以从向量得到数字。一般范数空间未必有内积，但连续线性泛函仍然可以承担“读出信息”的角色。

对赋范空间 $X$，其对偶空间定义为

对 $f\in X^*$，赋予算子范数

因此每个 $f\in X^*$ 都满足

这条不等式既是定义的直接结果，也是以后反复使用的误差传递估计。

范数可以由对偶测试恢复

给定一个向量，能不能挑一个泛函恰好读出它的范数？下一章的 Hahn–Banach 定理会保证答案是肯定的。这里先说明这个结论怎样从延拓得到，延拓定理本身留到下一章证明。

对 $x\ne0$，在一维子空间 $\operatorname{span}\{x\}$ 上定义 $f_0(\lambda x)=\lambda\|x\|$。它是线性的，且 ，范数为 。Hahn–Banach 定理把它延拓到整个 ，仍保持范数 。因此实数域、复数域都能直接得到 。

另一方面，每个 $\|f\|\le1$ 的泛函都满足 $|f(x)|\le\|x\|$。两边合起来，

$x=0$ 时两边都是零。这条公式既告诉我们泛函不会放大超出范数的信息，也告诉我们总有合适的泛函看见整个范数。

箭头给出等值线的法向。图中的几条线穿过单位球内部；要找到泛函在球上的最大值，还要继续平移等值线，直到它刚好接触球的边界。

对偶算子

给定 $T\in\mathcal B(X,Y)$，定义

也就是

它把“在输出空间上读数”的方式拉回到输入空间。由

可得 $\|T^*g\|\le\|T\|\|g\|$，所以 $T^*$ 有界且 $\|T^*\|\le\|T\|$。反过来，对每个 ，刚才的对偶公式给出

再对 $x$ 取上确界，就得到 $\|T\|\le\|T^*\|$。所以在下一章的延拓定理基础上，

复合的次序会反过来：若 $S:Y\to Z$，则

直接在 $g\in Z^*$、$x\in X$ 上检验： $( (S\circ T)^*g)(x)=g(S(Tx))=(T^*(S^*g))(x)$。

这里的 $T^*$ 是连续对偶之间的算子。复向量空间中若用线性坐标泛函作基，矩阵仍是转置；后面 Hilbert 空间把泛函通过内积表示成向量时，伴随矩阵才表现为共轭转置。先把作用对象分清，两个写法就不会混淆。

ℓ¹ 与 ℓ² 的对偶预览

写

（$1\le p<\infty$）。此外 $\ell^\infty$ 是所有有界序列组成的空间，范数为 $\|a\|_\infty=\sup_n|a_n|$。

完整例题：从 ℓ∞ 构造 ℓ¹ 上的泛函

给定 $a=(a_n)\in\ell^\infty$，定义

证明 $f_a\in(\ell^1)^*$，并计算其范数；再说明每个 $\ell^1$ 上的连续线性泛函都来自某个 $$。

结论是等距识别

这里的“识别”不是说两个集合字面相同，而是说 $a\mapsto f_a$ 是线性双射，并且保持范数。

同一个泛函，换一个单位球

先固定实系数 $a=(1,1)$，预测 $f_a(x)=x_1+x_2$ 在三种单位球上的最大值。拖动 去找最大点，再换球，观察接触点有时是一个点，有时是一整条边。

在 $\ell^1$ 球中，把全部长度预算给任一个系数最大的坐标即可；在欧氏球中，最佳方向沿着 $a$；在 $\ell^\infty$ 球中，各坐标可以同时取到符号对应的端点。实验是实二维模型，帮助我们理解估计中的等号，不代替无限序列的收敛证明。

不借助一般表示定理，算出 ℓ² 的对偶

对 $\ell^2$，Cauchy–Schwarz 不等式给出：每个 $y\in\ell^2$ 都定义

取 $x=y/\|y\|_2$（$y\ne0$）可见 $\|g_y\|=\|y\|_2$； 时结论也成立。还要证明没有漏掉别的泛函。

给定 $f\in(\ell^2)^*$，令 $a_k=f(e_k)$。记 ，把有限向量 代进去，得到

若 $S_N>0$，除以 $\sqrt{S_N}$ 得 ；若为零，这个估计本来就成立。因此单调递增的部分和 有界，。置 。利用截断 和 的连续性，

这就得到了全部泛函，表示也因 $y_k=\overline{f(e_k)}$ 而唯一。因此

实数域上，$y\mapsto g_y$ 是线性等距对应；复数域上，它是共轭线性的，因为 $g_{\lambda y}=\overline{\lambda}g_y$。写“ 的对偶可由 表示”时，要把这个标量约定一起记住。

这两个例子放在一起：$\ell^1$ 的对偶变成更大的 $\ell^\infty$，而 $\ell^2$ 在对偶下保持自身。后一个现象和内积结构有关，后续 Hilbert 空间内容会把它解释得更完整。

强收敛与弱收敛

在范数空间 $X$ 中，$x_n$ 强收敛（也叫范数收敛）到 $x$，是指

$X$ 中的序列 $x_n$ 弱收敛到 $x$，记作 $x_n\rightharpoonup x$，是指对每个 $$ 都有

强收敛要求向量本身越来越近；弱收敛要求每一个固定泛函的读数都收敛，但允许达到同一误差所需的时间依赖这个泛函。范数收敛则通过对偶公式同时控制所有单位泛函。差别在于是否统一控制，不能理解成只检查几种读数。

强收敛一定推出弱收敛

若 $\|x_n-x\|\to0$，对任意 $f\in X^*$，

因此 $x_n\to x$ 强收敛就必有 $x_n\rightharpoonup x$ 弱收敛。

反向一般不成立。要看清这个差别，最简单的对象就是 $\ell^2$ 的标准基。

完整例题：标准基弱收敛但不强收敛

令 $e_n=(0,\ldots,0,1,0,\ldots)$，其中第 $n$ 个位置为 $1$。证明 $$，但 不强收敛到 。

图中使用内积记号 $\langle u,v\rangle=\sum_k u_k\overline{v_k}$。固定任意 后，；每次把检验向量换成 ，读数却始终是 。

有限维和无限维的分界

在有限维空间中，弱收敛与强收敛等价。以 $\mathbb F^d$ 为例，取坐标泛函 $f_j(x)=x_j$。弱收敛意味着每个坐标 $x_{n,}$；有限个坐标同时收敛时，

由第一章的范数等价性，有限维空间中的其他范数也得到同一结论。无限维时，坐标逐个收敛不再足够，因为误差可以不断移到新的坐标位置。标准基 $(e_n)$ 就是这个现象的最小例子。

有界算子保持弱收敛

若 $T\in\mathcal B(X,Y)$ 且 $x_n\rightharpoonup x$，那么

证明只需把对偶算子写出来。任取 $g\in Y^*$，则 $T^*g=g\circ T\in X^*$，所以

这条关系值得和强收敛的证明并排记住：强收敛使用 $\|T(x_n-x)\|\le\|T\|\|x_n-x\|$；弱收敛使用“先拉回测试泛函”的 $$。

递进练习

做题时把所用范数写在旁边。同一个公式换了定义域范数，有界性可能改变；同一列换了收敛要求，结论也可能改变。遇到范数计算，检查自己是否同时给出了上界和足够接近上界的输入。

巩固：把定义变成估计

题 1　设 $P:\ell^2\to\ell^2$ 为第一坐标投影

求 $\|P\|$，并说明 $\ker P$ 与 $\operatorname{ran}P$。

题 2　在 $C^1[0,1]$ 上分别考虑上确界范数 $\|f\|_\infty$ 和 $C^1$ 范数 。对泛函 ，判断它在两种范数下是否有界，并给出证明所需的序列或估计。

题 3　设 $R:\ell^2\to\ell^2$ 是右移算子 $R(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$。证明 ，并判断 是否满射。

应用：核、像与对偶的具体形状

题 4　设 $J:\ell^1\to\ell^2$ 是自然包含 $Jx=x$。证明 $J$ 有界且 $\mathrm{\parallel }J$，说明它的像空间为什么不闭。

题 5　令 $a=(2,-1,0,1/3,0,\ldots)\in\ell^\infty$，定义 $f_a(x)=\sum x_na_n$。求 ，并计算 ，其中 。

题 6　设 $D:\ell^2\to\ell^2$ 为 $(Dx)_n=x_n/n$。判断下列说法并说明理由： 单射； 在下方有界； 闭。

迁移：换一种读法再做一次

题 7　设 $u_n=e_n+\dfrac1n e_1$，其中 是 的标准基。证明 ，但 不强收敛到 。

题 8　设 $T:X\to Y$ 有界线性，$x_n\rightharpoonup x$。证明 $Tx_n\rightharpoonup Tx$。然后对 和 ，判断 是强收敛还是仅能直接看出弱收敛，并给出范数计算。

题 9　给出两个算子范数均为 $1$ 的非零算子 $A,B:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$，使 $BA=0$。这里使用欧氏范数。

题 10　令 $x^{(n)}=n e_n\in\ell^2$。它的每个固定坐标都趋于零。找一个固定的 $y\in\ell^2$，证明 不弱收敛于零。

题 11　设 $E$ 是赋范空间 $X$ 的稠密线性子空间，$Y$ 完备，$T:E\to Y$ 有界线性。证明它唯一延拓为 $\widetilde T\in\mathcal B(X,Y)$，而且范数不变。说明为什么这是由连续性决定的延拓，与下一章向任意方向延拓泛函的问题不同。

回头再看积分算子和导数泛函：决定稳定性的不是“积分温和、导数危险”这样的印象，而是能否对指定范数找到统一估计。讨论逆问题时，还要追问输入误差能否反过来由输出误差控制。对偶让这些问题多了一种读法：把输出上的测试拉回输入，再看它是否连续、是否保留了所需的信息。