宇宙学基础

宇宙是一切物质与能量的总和，也是物理学研究的最宏观对象。几百年前，人们以为地球是宇宙的中心；近代天文学发现，太阳不过是银河系中数千亿颗恒星之一；而银河系本身，又只是可观测宇宙中数千亿个星系之一。20世纪以来，天文观测技术的飞速进步让人类第一次开始定量地研究宇宙的结构、起源与演化。

宇宙学将广义相对论、粒子物理和热力学统统融合在一起，回答宇宙从哪里来、将向何处去这类最根本的问题。本章围绕四个核心内容展开：宇宙膨胀与哈勃定律、大爆炸模型、宇宙微波背景辐射，以及至今仍是谜题的暗物质与暗能量。

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宇宙的尺度

在讨论宇宙膨胀之前，需要先建立对宇宙尺度的直观认识。描述日常物体用米，描述地球到太阳的距离则要用天文单位（AU），$1\,\text{AU} = 1.5 \times 10^{11}\,\text{m}$，光从太阳到地球大约需要 8 分钟。

在星际和星系尺度上，天文学常用光年（ly）：光在真空中传播 1 年所走过的距离，约为 $9.46 \times 10^{15}\,\text{m}$。更专业的距离单位是秒差距（pc），定义为地球公转引起的视差角为 1 角秒时对应的距离，$1\,\text{pc} \approx 3.26\,\text{ly} \approx 3.09 \times 10^{16}\,\text{m}$。

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哈勃定律与宇宙膨胀

1929 年，美国天文学家埃德温·哈勃系统地测量了数十个河外星系的距离和退行速度，发现了一个简洁的规律：星系离我们越远，它远离我们的速度越快。这就是著名的哈勃定律：

$v = H_0 \, d$

其中 $v$ 是星系的退行速度（$\text{km/s}$），$d$ 是星系到我们的距离（以 $\text{Mpc}$ 即百万秒差距为单位），$H_0$ 是哈勃常数。目前公认值约为：

$H_0 \approx 70\,\text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$

红移：速度的测量方法

哈勃通过红移来测量遥远星系的退行速度。当光源远离观测者时，接收到的光波波长被拉伸、频率降低，向光谱红色端偏移——这是光的多普勒效应。红移量用无量纲参数 $z$ 表示：

$z = \frac{\lambda_{\text{观测}} - \lambda_{\text{发射}}}{\lambda_{\text{发射}}}$

对于退行速度 $v \ll c$（即 $z \ll 1$）的情况，红移与速度的关系近似为：

$v \approx c \, z$

以某星系的氢 $\alpha$ 谱线为例：发射波长 $\lambda_0 = 656.3\,\text{nm}$，观测到的波长为 $\lambda = 669.4\,\text{nm}$，则：

$z = \frac{669.4 - 656.3}{656.3} = \frac{13.1}{656.3} \approx 0.020$

退行速度约为 $v = cz = 3.0 \times 10^5 \times 0.020 = 6000\,\text{km/s}$，代入哈勃定律，该星系的距离约为：

$d = \frac{v}{H_0} = \frac{6000}{70} \approx 86\,\text{Mpc} \approx 2.8 \times 10^8\,\text{ly}$

宇宙膨胀的正确理解

哈勃定律不是说所有星系都在逃离地球，而是说宇宙空间本身在均匀地膨胀，所有星系随着空间的扩张相互远离，就像正在发酵的面团中每颗葡萄干都会看到其他葡萄干离自己越来越远。

上表中 $v/d$ 之比近似恒为 $H_0$，有力支持了宇宙均匀膨胀的图像。

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宇宙大爆炸模型

大爆炸（Big Bang）理论认为，宇宙起源于约 138 亿年前从极高温度、极高密度状态开始的急剧膨胀。“大爆炸”这个名称有些误导——它不是发生在空间某个地点的爆炸，而是空间本身的膨胀，没有中心，也没有边界。

宇宙演化时间线

支撑大爆炸的三条证据

大爆炸理论建立在三个相互独立的观测证据之上，三者相互印证，构成极强的理论支撑。

• 第一条：哈勃定律与宇宙膨胀。 星系退行速度与距离成正比，将时间倒推得到宇宙有一个有限时间前的起点。这是大爆炸理论最直接的运动学证据。

• 第二条：宇宙微波背景辐射（CMB）。 大爆炸遗留的热辐射至今仍可被探测，温度约 $2.725\,\text{K}$，与理论预言高度吻合（详见下一节）。

• 第三条：大爆炸核合成（BBN）。 大爆炸后约前 3 分钟，宇宙温度足以发生核聚变，理论计算预言原始氢约占 $75\%$、氦-4 约占 $24\%$，其余为少量氘与锂-7。这一比例与观测到的宇宙原始元素丰度完全吻合，而这个特定的比例在任何恒星核合成模型中都无法单独解释。

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宇宙微波背景辐射

宇宙微波背景辐射（Cosmic Microwave Background，CMB）是大爆炸遗留至今的光。

在宇宙诞生后约 38 万年，温度冷却到约 $3000\,\text{K}$，电子被质子大量俘获，形成中性氢原子。在此之前，宇宙中充满自由电子，光子与自由电子频繁散射，无法自由传播——宇宙对光是不透明的。自由电子密度骤降后，光子终于可以自由传播，这一时刻称为复合时期，此时释放的光子就构成了 CMB。

由于宇宙持续膨胀，这些光子的波长被不断拉伸，原本约 $3000\,\text{K}$ 的热辐射今天已红移到微波波段，温度降至 $2.725\,\text{K}$。CMB 的频谱是迄今观测到最完美的黑体辐射谱，其峰值波长由维恩位移定律给出：

$\lambda_{\max} = \frac{b}{T} = \frac{2.898 \times 10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}}{2.725\,\text{K}} \approx 1.06\,\text{mm}$

这正处于微波波段，与实验测量完全吻合。

发现经过

1965 年，美国贝尔实验室的阿诺·彭齐亚斯和罗伯特·威尔逊在测试射电天线时，发现无论天线指向何处，始终有一个无法消除的背景噪声，对应温度约 $3.5\,\text{K}$ 的微波辐射。起初他们怀疑是鸽子粪便污染了天线，彻底清洗后噪声依然如故。后经普林斯顿大学物理学家提醒，他们才意识到这正是大爆炸理论预言的宇宙背景辐射。两人因此荣获 1978 年诺贝尔物理学奖。

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暗物质与暗能量

20 世纪下半叶的天文观测揭示了宇宙中两种神秘的成分：暗物质（Dark Matter）和暗能量（Dark Energy）。它们合计占宇宙总能量的约 $95\%$，但迄今仍无法在实验室中直接探测到其本质。

暗物质的证据

证据一：星系旋转曲线。 根据万有引力定律，在星系边缘运动的恒星，其轨道速度应随到中心距离 $r$ 的增大而降低，类似于行星在太阳系中的分布：

$v(r) \propto \frac{1}{\sqrt{r}} \quad \text{（若质量集中在中心区域）}$

然而天文学家维拉·鲁宾等人在 20 世纪 70 年代观测发现，大多数旋涡星系的旋转曲线几乎是平坦的——远离中心的恒星速度并不下降，而是保持在约 $200 \sim 300\,\text{km/s}$。

平坦旋转曲线意味着 $v(r) \approx \text{常数}$，代入向心力公式：

$\frac{v^2}{r} = \frac{GM(r)}{r^2} \implies M(r) = \frac{v^2 r}{G} \propto r$

即使在看不见任何发光物质的外围区域，总质量依然随半径线性增加，说明星系外围存在大量不发光的暗物质晕（Dark Matter Halo）。

证据二：子弹星系团。 2006 年，天文学家通过 X 射线和引力透镜观测了两个正在碰撞的星系团（称为“子弹星系团”）。碰撞中，热气体（X 射线源，占可见物质大部分）因电磁相互作用减速滞留在中间，而通过引力透镜测量的质量中心却穿过对方继续前行，与热气体明显分离。这说明大量质量来自几乎不参与电磁相互作用的暗物质成分，是迄今对暗物质存在最直观的证据之一。

暗能量与宇宙加速膨胀

1998 年，两个独立研究团队通过观测遥远的 Ia 型超新星，发现宇宙的膨胀不是在减速，而是在加速。Ia 型超新星是标准烛光——峰值光度已知，通过测量视亮度可精确确定距离。观测发现高红移的超新星比预期的更暗（更远），说明宇宙膨胀正在加速。

驱动加速膨胀的神秘成分被称为暗能量，等效于爱因斯坦广义相对论场方程中的宇宙学常数 $\Lambda$。索尔·珀尔马特、布莱恩·施密特和亚当·里斯三位科学家因这一发现共同获得 2011 年诺贝尔物理学奖。

宇宙的成分组成

根据普朗克卫星的最新测量结果，宇宙能量构成如下：

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练习题

选择题

第 1 题 某星系的钙吸收线发射波长 $\lambda_0 = 393.4\,\text{nm}$，观测到的波长 $\lambda = 401.4\,\text{nm}$。取光速 $c = 3.0 \times 10^5\,\text{km/s}$，$H_0 = 70\,\text{km/s/Mpc}$，该星系的红移量 $z$ 和距离 $d$ 约为多少？

A. $z \approx 0.020$，$d \approx 86\,\text{Mpc}$

B. $z \approx 0.020$，$d \approx 43\,\text{Mpc}$

C. $z \approx 0.040$，$d \approx 86\,\text{Mpc}$

D. $z \approx 0.040$，$d \approx 172\,\text{Mpc}$

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答案：A

红移量：

$z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{401.4 - 393.4}{393.4} = \frac{8.0}{393.4} \approx 0.0203 \approx 0.020$

退行速度（$z \ll 1$）：

$v = cz = 3.0 \times 10^5 \times 0.020 = 6000\,\text{km/s}$

由哈勃定律得距离：

$d = \frac{v}{H_0} = \frac{6000}{70} \approx 86\,\text{Mpc}$

B 错：距离计算错误，将速度除以 $2H_0$；C、D 错：红移计算错误（分母应为发射波长 $\lambda_0$，不应用观测波长 $\lambda$）。

第 2 题 关于宇宙大爆炸模型，以下说法正确的是：

A. 大爆炸是发生在宇宙某个特定地点的爆炸，该中心就是银河系所在位置

B. 大爆炸之后宇宙一直在减速膨胀，未来将逐渐停止

C. 宇宙大爆炸模型的三条主要支柱证据是：哈勃定律、宇宙微波背景辐射和轻元素丰度

D. 宇宙年龄约为 46 亿年，与太阳系形成时间相同

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答案：C

A 错：大爆炸不是空间中某处发生的爆炸，而是空间本身的膨胀，没有中心点，每个观测者都看到其他星系在远离自己。

B 错：1998 年超新星观测表明，宇宙目前正处于加速膨胀阶段，暗能量驱动了这一加速。

C 正确：哈勃定律（宇宙膨胀）、CMB（大爆炸遗留热辐射）、大爆炸核合成（氢与氦丰度与理论吻合）是大爆炸理论的三条独立主要证据。

D 错：宇宙年龄约为 138 亿年，太阳系形成于约 46 亿年前，两者并不相同。

第 3 题 宇宙微波背景辐射（CMB）在物理意义上最重要的是：

A. 首次证明宇宙中存在微波辐射，由此开创了射电天文学

B. 直接证明了暗物质的存在，暗物质辐射主要集中在微波波段

C. 证明宇宙正在加速膨胀，从而支持暗能量的存在

D. 是大爆炸后约 38 万年“复合时期”遗留的热辐射，为大爆炸理论提供了直接的观测证据

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答案：D

CMB 是大爆炸后约 38 万年复合时期遗留的光子，由于宇宙膨胀被红移至微波波段，温度约 $2.725\,\text{K}$，谱型为完美黑体辐射谱，是大爆炸理论最直接的观测支撑之一。

A 错：射电天文学早于 CMB 发现便已存在；CMB 意义在于印证大爆炸，而非开创射电天文。

B 错：暗物质不辐射任何电磁波，CMB 与暗物质无关。

C 错：宇宙加速膨胀是通过 Ia 型超新星亮度-距离关系发现的，与 CMB 无关。

第 4 题 根据最新宇宙学观测，以下关于宇宙成分的说法正确的是：

A. 普通重子物质（恒星、气体、行星等）约占宇宙能量的 $50\%$

B. 暗物质和暗能量合计约占宇宙总能量的 $95\%$

C. 暗能量与暗物质都产生引力吸引效应，两者本质已被实验室实验证实

D. 暗物质候选粒子已在加速器实验中被发现，质量约为质子的 1000 倍

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答案：B

根据普朗克卫星测量结果：普通物质约 $4.9\%$，暗物质约 $26.8\%$，暗能量约 $68.3\%$。

$26.8\% + 68.3\% \approx 95.1\% \approx 95\%$

B 正确。

A 错：普通物质仅约占 $5\%$，而非 $50\%$。

C 错：暗物质和暗能量的本质至今是未解之谜，实验室尚未直接探测到。此外，暗能量产生的是负压强，效果是排斥性的（驱动宇宙加速膨胀），而暗物质产生的是引力吸引，二者效果相反。

D 错：WIMP 等暗物质候选粒子尚未在任何加速器实验中被确认发现，这是当前粒子物理的重大未解问题。

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计算题

第 5 题 利用哈勃定律估算宇宙年龄。

设宇宙自诞生以来一直以恒定速度膨胀（这是简化模型，实际早期减速、近期加速），哈勃常数 $H_0 = 70\,\text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$，已知 $1\,\text{Mpc} = 3.086 \times 10^{22}\,\text{m}$，$1\,\text{yr} = 3.156 \times 10^7\,\text{s}$。

（1）将 $H_0$ 换算为国际单位制（$\text{s}^{-1}$）。

（2）哈勃时间定义为 $t_H = 1/H_0$，计算哈勃时间（单位：亿年），并与实际宇宙年龄 138 亿年进行比较。

（3）利用哈勃定律计算距我们 $d = 200\,\text{Mpc}$ 的星系的退行速度，并求其对应的红移量 $z$（取 $c = 3.0 \times 10^5\,\text{km/s}$）。

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（1）$H_0$ 的单位换算：

$H_0 = \frac{70\,\text{km/s}}{\text{Mpc}} = \frac{70 \times 10^3\,\text{m/s}}{3.086 \times 10^{22}\,\text{m}} \approx 2.27 \times 10^{-18}\,\text{s}^{-1}$

（2）哈勃时间：

$t_H = \frac{1}{H_0} = \frac{1}{2.27 \times 10^{-18}} \approx 4.41 \times 10^{17}\,\text{s}$

换算为年：

$t_H = \frac{4.41 \times 10^{17}}{3.156 \times 10^7} \approx 1.40 \times 10^{10}\,\text{yr} = 140\,\text{亿年}$

哈勃时间约 140 亿年，与实际宇宙年龄 138 亿年非常接近（误差约 $1.4\%$）。在匀速膨胀模型下，哈勃时间是宇宙年龄的良好估算；实际宇宙因早期减速与近期加速效果相互抵消，使两者更为接近。

（3）退行速度与红移：

$v = H_0 \, d = 70 \times 200 = 14000\,\text{km/s}$

红移量（$v \ll c$，$z \ll 1$）：

$z = \frac{v}{c} = \frac{14000}{3.0 \times 10^5} \approx 0.047$

该星系以约 $1.4 \times 10^4\,\text{km/s}$ 的速度远离我们，约为光速的 $4.7\%$，红移量约为 $0.047$。

第 6 题 Ia 型超新星是宇宙学中的标准烛光，其峰值绝对光度（全方向辐射总功率）约为 $L = 1.0 \times 10^{43}\,\text{W}$。某天文学家观测到一颗遥远 Ia 型超新星，测得其峰值视亮度（单位面积接收功率）$F = 2.0 \times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$。已知 $1\,\text{Mpc} = 3.086 \times 10^{22}\,\text{m}$，$H_0 = 70\,\text{km/s/Mpc}$，$c = 3.0 \times 10^5\,\text{km/s}$。

（1）由关系式 $F = \dfrac{L}{4\pi d^2}$ 计算该超新星所在星系的距离 $d$（单位：m，再换算为 Mpc）。

（2）利用哈勃定律估算该星系的退行速度 $v$（单位：km/s）。

（3）估算该星系的红移量 $z$（假设 $z \ll 1$）。

显示答案

（1）距离计算：

由 $F = L/(4\pi d^2)$，解出 $d$：

$d = \sqrt{\frac{L}{4\pi F}} = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{43}}{4\pi \times 2.0 \times 10^{-8}}}$

$= \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{43}}{2.513 \times 10^{-7}}} = \sqrt{3.98 \times 10^{49}} \approx 6.31 \times 10^{24}\,\text{m}$

换算为 Mpc：

$d = \frac{6.31 \times 10^{24}}{3.086 \times 10^{22}} \approx 204\,\text{Mpc} \approx 200\,\text{Mpc}$

（2）退行速度：

$v = H_0 \, d = 70 \times 204 \approx 14280\,\text{km/s} \approx 1.4 \times 10^4\,\text{km/s}$

（3）红移量：

$z = \frac{v}{c} = \frac{14280}{3.0 \times 10^5} \approx 0.048$

该超新星所在星系距我们约 200 Mpc，退行速度约为 $1.4 \times 10^4\,\text{km/s}$（约为光速的 $4.8\%$），红移量约 $0.048$。这一数值属于近邻宇宙范围，$z \ll 1$ 的近似成立。