广义相对论初步

牛顿力学用了两百多年时间成功解释了从苹果落地到行星运动的几乎一切力学现象。然而进入20世纪，爱因斯坦意识到，牛顿的引力理论与他自己刚刚建立的狭义相对论在根本层面存在矛盾：牛顿引力是超距作用，信息传播速度无限快，这与狭义相对论规定的光速上限直接冲突。为了解决这个矛盾，爱因斯坦花费了整整十年时间，于1915年完成了广义相对论。

这一理论彻底改变了人类对引力本质的认识。在广义相对论中，引力不再是一种力，而是时空弯曲的几何效应——有质量的物体使周围时空发生弯曲，其他物体在弯曲时空中沿最短路径运动，这种运动看起来就像是受到了「引力」的作用。广义相对论预言了黑洞的存在、引力使光线弯曲、引力波的传播，这些预言在一百年间被一一实验证实。

等效原理

广义相对论的出发点是一个思想实验：一个人站在密闭电梯里，感受到了「重力」。他无法判断，这究竟是地球引力拉着他向下，还是电梯正在以某个加速度向上加速，两种情况在物理上完全无法区分。这一深刻认识被爱因斯坦总结为等效原理。

等效原理有两种表述层次：

弱等效原理早在伽利略时代就被实验验证：无论轻重，物体在真空中下落的加速度相同，均为 $g$。牛顿曾用摆长相同、摆球材质不同的摆做过精确实验，确认摆的周期与材质无关，从而验证了引力质量与惯性质量之比对各种物质都相同。现代 Eötvös 实验将这一比值的精度验证到了 $10^{-13}$ 量级。

强等效原理则更为深刻。它意味着，在一个自由下落的参考系内（如绕地球运行的空间站），局部区域内的引力效应完全消失，物理规律与没有引力的惯性系完全相同。宇航员在空间站中感受不到重力，正是这一原理的直接体现。

等效原理有一个重要推论：引力使光线弯折，也使光的频率发生变化。在一个向上加速的电梯中，从下方发出的光打到上方时，由于上方已经比光发出时运动得更快，接收到的光频率会略低于发出时的频率。由等效原理，均匀引力场中从低处发出的光传到高处时，频率同样会降低——这称为引力红移。

引力红移的公式为：

$\frac{\Delta \nu}{\nu} = -\frac{gh}{c^2}$

其中 $g$ 是引力加速度，$h$ 是高度差，$c$ 是光速。1959年，庞德和雷布卡在哈佛大学22.6米高的楼内，用穆斯堡尔效应测量了 $\gamma$ 射线从底部传到顶部时的频率变化，实验结果与上式预言吻合到1%以内，是等效原理的直接实验验证之一。

弯曲时空的几何图像

要理解弯曲时空，先来看一个二维类比。地球表面是一个曲面，两个人从赤道上相距1000千米的两点同时向正北方向出发，一开始两人的路径是平行的。但走到北极时，两条路径会相交于一点。如果不知道地球是球形的，站在曲面上的人会说：「一定有什么力在把我们向彼此吸引。」然而真相是：他们只是在弯曲曲面上沿测地线（曲面上两点间最短路径）行走，「引力」是曲面弯曲的几何效应。

广义相对论把这个思想推广到四维时空。爱因斯坦的核心方程——爱因斯坦场方程——描述了物质-能量分布如何决定时空的弯曲程度：

$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

其中 $G_{\mu\nu}$ 是描述时空曲率的爱因斯坦张量，$T_{\mu\nu}$ 是描述物质能量分布的能动量张量，$G$ 是牛顿引力常数。这个方程的含义可以用约翰·惠勒的一句话概括：「物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。」

在弱引力、低速的极限下，广义相对论退化为牛顿引力理论，牛顿的万有引力公式 $F = GMm/r^2$ 是广义相对论的近似。但在强引力或高速情形下，两者给出截然不同的预言。

时空弯曲还会影响时间的流逝速率。在引力场中，引力势越低（越靠近大质量天体），时间流逝越慢，这称为引力时间膨胀。对于地球表面引力场，高度差 $h$ 处的时间膨胀为：

$\frac{\Delta t}{t} = \frac{gh}{c^2}$

这个效应虽然极小，却在现实中不可忽视。GPS 卫星轨道高度约 $20200\,\text{km}$，引力时间膨胀使卫星上的钟每天快约 $45.9\,\mu\text{s}$，而狭义相对论的速度时间膨胀效应使卫星上的钟每天慢约 $7.2\,\mu\text{s}$，综合修正为每天快约 $38.4\,\mu\text{s}$。若不对 GPS 卫星的原子钟进行广义相对论修正，导航误差将以每天 $10\,\text{km}$ 的速度累积。

史瓦西解与黑洞

1915年，爱因斯坦场方程发表后仅数周，德国物理学家卡尔·史瓦西就在第一次世界大战的战壕里给出了球对称质量体外部的精确解——史瓦西解。根据史瓦西解，质量为 $M$ 的球对称天体外部时空度规为：

$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2\,dt^2 + \frac{dr^2}{1 - r_s/r} + r^2\,d\Omega^2$

其中 $r_s$ 是一个特殊半径，称为史瓦西半径（Schwarzschild Radius）：

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

当天体的物理半径大于 $r_s$ 时（如地球、太阳），$r_s$ 只是一个数学参数，没有特别的物理意义。但若天体的物理半径被压缩到 $r_s$ 以内，则在 $$ 处出现一个（Event Horizon），任何物体和光子一旦越过这个边界，就无法再逃回外部——这就是。

下表列出了几种天体的史瓦西半径，直观地展示了黑洞形成需要多大的密度：

事件视界是一个单向膜：外部观测者可以看到物体缓慢接近视界（由于引力时间膨胀，物体看起来无限减速、永远到不了），而物体自身穿越视界时感受不到任何特别之处，但之后再也无法发出任何信号到外部。

黑洞的分类

根据质量大小，天文学家将黑洞分为三类：

2019年，「事件视界望远镜」（EHT）项目将全球8台射电望远镜联网，拍摄到了室女座星系 M87 中心超大质量黑洞的首张图像。图像中明亮的光环（吸积盘热气体发出的辐射）和中心暗影（事件视界）与广义相对论预言高度吻合，黑洞从理论概念成为可直接观测的天文实体。2022年，EHT进一步拍摄了银河系中心黑洞人马座 A* 的图像。

引力波

广义相对论预言，加速运动的质量会在时空中激起涟漪，以光速向外传播，这就是引力波（Gravitational Wave）。引力波是时空本身的振荡，它经过时会使空间在两个垂直方向上交替拉伸和压缩：一个方向被拉长时，垂直方向被压缩，就像一块橡皮泥被来回揉搓。

引力波的产生

能够产生可观测引力波的天文事件，需要极端大质量、极端加速度的组合，通常包括：

引力波的强度用应变 $h$（Strain）描述，定义为空间长度的相对变化量：

$h = \frac{\Delta L}{L}$

即探测器臂长 $L$ 因引力波引起的变化量 $\Delta L$ 与 $L$ 之比。来自遥远天体的引力波应变极其微小，第一个被探测到的引力波事件（GW150914）在地球处产生的应变约为 $h \approx 10^{-21}$，相当于在4光年的距离上，长度变化量约为一个质子直径。

LIGO 探测器

为了探测如此微小的应变，美国激光干涉引力波天文台（LIGO）设计了两台巨型迈克尔逊干涉仪：

每台探测器由两条互相垂直的臂组成，臂长 $L = 4\,\text{km}$，激光在臂内来回反射约300次，等效光程约 $1200\,\text{km}$。引力波经过时，两臂长度交替发生微小变化，导致两路激光的光程差改变，干涉条纹发生变化，从而被探测到。两台 LIGO 分别位于美国华盛顿州汉福德和路易斯安那州利文斯顿，相距约 $3000\,\text{km}$，通过两地信号的时间差可以确定引力波到来的方向。

2017年，LIGO 与欧洲 Virgo 探测器联合探测到了双中子星并合事件 GW170817，同时全球70多个电磁波段望远镜观测到了这一事件的伽马射线、X射线、光学和射电对应体，开创了多信使天文学的新纪元。这一事件还为中子星方程的研究提供了宝贵数据。

练习题

选择题

第1题　关于等效原理，下列说法正确的是：

A. 等效原理是说引力与电磁力是等效的，可以相互转化

B. 等效原理是说在足够小的局部区域内，均匀引力场与匀加速参考系在物理上无法区分

C. 等效原理只适用于力学现象，对光学现象不适用

D. 等效原理预言引力红移，但这一现象至今尚未被实验证实

第2题　GPS 卫星在轨道高度约 $20200\,\text{km}$ 处运行，与地面相比，下列哪种效应使卫星上的原子钟走得更快？

A. 狭义相对论的速度时间膨胀效应（卫星高速运动）

B. 广义相对论的引力时间膨胀效应（卫星处引力势较高）

C. 两种效应都使卫星上的钟走得更快

D. 两种效应都使卫星上的钟走得更慢

第3题　某天体质量为 $M$，其史瓦西半径 $r_s = 2GM/c^2$。若将该天体的质量增大为原来的4倍，其史瓦西半径变为原来的多少倍？

A. $2$ 倍

B. $4$ 倍

C. $8$ 倍

D. $16$ 倍

第4题　LIGO 探测引力波时，使用了臂长 $L = 4\,\text{km}$ 的迈克尔逊干涉仪，探测到的引力波应变约为 $h = 10^{-21}$。由此引起的臂长变化量 $\Delta L$ 约为多少？

A. $4 \times 10^{-21}\,\text{m}$

B. $4 \times 10^{-18}\,\text{m}$

C. $4 \times 10^{-15}\,\text{m}$

D. $4 \times 10^{-12}\,\text{m}$

计算题

第5题　引力红移与 GPS 修正。GPS 卫星轨道高度为 $h = 2.02 \times 10^7\,\text{m}$，地球表面重力加速度取 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$，光速 $c=3.0\times {10}^8$。

（1）利用公式 $\Delta t / t = gh/c^2$ 估算引力时间膨胀效应，计算 GPS 卫星上的原子钟每天（$t = 86400\,\text{s}$）因引力时间膨胀比地面快多少微秒。

（2）若不对 GPS 系统进行广义相对论修正，光速 $c = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s}$，每天积累的定位误差（仅考虑引力时间膨胀部分）约为多少米？

第6题　黑洞的史瓦西半径与平均密度。

（1）已知太阳质量 $M_\odot = 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}$，引力常数 $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\text{N}{\cdot}\text{m}^2/\text{kg}^2$，光速 ，计算太阳的史瓦西半径 。

（2）若将太阳全部质量压缩到史瓦西半径以内形成黑洞，计算这个黑洞（以 $r_s$ 为半径的球体）的平均密度 $\rho$，并与水的密度（$1.0 \times 10^3\,\text{kg/m}^3$）做比较。

（3）对于质量为 $M = 10^9\,M_\odot$ 的超大质量黑洞，其史瓦西半径 $r_s'$ 为多少？以 为半径的球体平均密度 又为多少？与（2）的结果相比，你能得出什么结论？

当质量增大为 $4M$ 时：

$r_s' = \frac{2G(4M)}{c^2} = 4 \cdot \frac{2GM}{c^2} = 4r_s$

史瓦西半径变为原来的 4倍，与质量的变化成正比。

若进一步问事件视界面积的变化：面积 $\propto r_s^2 \propto M^2$，质量变为4倍时面积变为16倍。但本题问的是半径，答案是4倍，选B。

$4 \times 10^{-18}\,\text{m}$ 约为质子直径（$\sim 10^{-15}\,\text{m}$）的千分之四，比原子核还小三个数量级。LIGO 能够测量如此微小的长度变化，依赖激光在臂内来回约300次的多次反射（等效光程约 $1200\,\text{km}$）、超高精度的光学系统以及极其精密的隔震措施，是人类精密测量技术的极限挑战。

答案选 B。

$= \frac{9.8 \times 2.02 \times 10^7}{9.0 \times 10^{16}} = \frac{1.98 \times 10^8}{9.0 \times 10^{16}} \approx 2.2 \times 10^{-9}$

每天的时间差：

$\Delta t = \frac{\Delta t}{t} \times t = 2.2 \times 10^{-9} \times 86400\,\text{s} \approx 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s} = 190\,\mu\text{s}$

（注：此处用线性近似 $g = \text{const}$ 估算，实际上随高度 $g$ 减小，精确积分给出约 $45.9\,\mu\text{s}$/天。本题用匀强场近似，数量级正确。）

（2）每天定位误差：

若忽略修正，卫星时钟误差 $\Delta t \approx 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s}$，用时间乘以光速得位置误差：

$\Delta x = c \cdot \Delta t = 3.0 \times 10^8\,\text{m/s} \times 1.9 \times 10^{-4}\,\text{s} \approx 5.7 \times 10^4\,\text{m} = 57\,\text{km}$

这意味着若不进行广义相对论修正，GPS 导航误差每天将累积数十千米，完全无法用于导航定位。这也说明广义相对论不只是高深的理论，而是现代技术不可缺少的实用基础。

$= \frac{2 \times 6.67 \times 1.99 \times 10^{19}}{9.0 \times 10^{16}} = \frac{26.55 \times 10^{19}}{9.0 \times 10^{16}} \approx 2953\,\text{m} \approx 2.95\,\text{km}$

（2）以史瓦西半径为半径的黑洞平均密度：

球体体积：

$V = \frac{4}{3}\pi r_s^3 = \frac{4}{3}\pi (2953\,\text{m})^3 = \frac{4}{3}\pi \times 2.574 \times 10^{10}\,\text{m}^3 \approx 1.08 \times 10^{11}\,\text{m}^3$

平均密度：

$\rho = \frac{M_\odot}{V} = \frac{1.99 \times 10^{30}\,\text{kg}}{1.08 \times 10^{11}\,\text{m}^3} \approx 1.84 \times 10^{19}\,\text{kg/m}^3$

这比水密度（$10^3\,\text{kg/m}^3$）高约 $1.84 \times 10^{16}$ 倍，比核密度（$\sim 2 \times 10^{17}\,\text{kg/m}^3$）还高约100倍，极端致密。

（3）超大质量黑洞的史瓦西半径与密度：

质量 $M' = 10^9 M_\odot = 10^9 \times 1.99 \times 10^{30}\,\text{kg} = 1.99 \times 10^{39}\,\text{kg}$

$r_s' = \frac{2GM'}{c^2} = 10^9 \times r_s = 10^9 \times 2953\,\text{m} = 2.953 \times 10^{12}\,\text{m} \approx 2.95 \times 10^9\,\text{km}$

（约为地球到太阳距离的20倍）

体积：

$V' = \frac{4}{3}\pi (r_s')^3 = \frac{4}{3}\pi (10^9 r_s)^3 = 10^{27} V$

平均密度：

$\rho' = \frac{M'}{V'} = \frac{10^9 M_\odot}{10^{27} V} = \frac{10^9}{10^{27}} \rho = 10^{-18} \times 1.84 \times 10^{19}\,\text{kg/m}^3 \approx 18.4\,\text{kg/m}^3$

这比水的密度（$10^3\,\text{kg/m}^3$）还低约50倍！

结论：史瓦西半径与质量成正比（$r_s \propto M$），而密度与质量的平方成反比（$\rho \propto M/r_s^3 \propto 1/M^2$）。超大质量黑洞的平均密度反而极低，甚至低于水——这意味着如果置身于银河系中心超大质量黑洞的事件视界附近，你甚至感受不到特别强的潮汐力，在不知情的情况下可能已经穿越了视界而浑然不觉。