第6章 原子与量子物理实验

显微镜视野里，一颗油滴只是忽明忽暗的小点；电子管面板上，一条电流曲线只是在起伏；光电管输出的电流甚至小到会被漏电和零点漂移盖住。可正是这些并不起眼的读数，分别留下了电荷量子化、原子能级分立和光量子能量关系的证据。

困难也在这里：仪器不会直接显示“一个电子的电荷”或“普朗克常量”。我们真正测到的是运动时间、电压和微弱电流，再通过条件明确的模型把它们翻译成微观量。本章把密立根油滴、夫兰克—赫兹、光电效应以及LED阈值法组织成一个近代物理实验项目组。学校会按设备、课时和安全条件选做其中一项或几项；它们是实验课程里的综合或近代物理项目，并不等于每名学生必须在一次课内全部完成。

一颗看得见的油滴，怎样替电子“上秤”

电子太小，不能把它放在天平上。密立根油滴实验换了一个对象：让一颗带电油滴在空气中运动。显微镜能追踪油滴，平行极板能提供可控电场，于是难以直接测量的电荷量，变成了可以记录的距离、时间和电压。

先看油滴的受力。设油滴半径为 $r$，油和空气的密度分别为 $\rho_o$、$\rho_a$。重力减去浮力后的有效重力为

半径很小、运动缓慢且可近似为球形时，油滴受到的黏滞阻力方向与速度相反；在斯托克斯近似下，大小为

其中 $\eta$ 是空气黏度。极板间距为 $d$、电压为 $U$ 时，若忽略边缘区域，电场大小近似为 $E=U/d$，电场力大小为 $|q|E$。

现在先不加电场。油滴刚进入视野时可能还在加速，过一小段时间才以稳定速度 $v_f$ 下落。只有在这个稳定区间，才有

从而得到

你可能会这样想：既然测了下落速度，把任何一段路程除以时间都能代入。注意，这是个陷阱。若油滴尚未达到稳定终速，阻力并未与有效重力平衡，上式就失去了成立条件。更稳妥的做法是在同一段标尺上重复计时，观察相邻区间速度是否相近，并避开视野边缘、漂移明显或发生碰并的油滴。

小油滴的尺度接近空气分子平均自由程时，连续介质下的斯托克斯公式还需要滑移修正。修正形式和常数随仪器说明、气压记录与所用模型而定，不能把某台仪器的常数生搬到另一套设备。基础实验报告至少要说明是否采用修正、参数来自何处；若课程只要求未修正模型，也应把它列为系统偏差来源，而不是假装模型绝对精确。

平衡法和动态法不是同一组读数

给极板加适当方向的电场，使油滴悬停。此时速度为零，电场力平衡有效重力：

这叫平衡法。若调整电压使油滴以稳定速度 $v_r$ 向上运动，电场力同时克服有效重力和向下的黏滞阻力，于是

即

这叫动态测量的一种常见形式。式中的 $v_f$ 是无场稳定下落速度，$v_r$ 是指定电场方向下的稳定上升速度，两个量不能拿同一次运动随意替换。油滴若在电场中仍向下运动，还要重新按实际方向列受力方程，不能继续套“速度相加”的式子。

先辨认电场方向与油滴带电符号，再在悬停受力图中同时计入重力、电场力和空气浮力。

实际操作通常依次经历喷雾、调焦、选滴、无场计时、加场观察和重复测量。选滴不是挑“跑得最快的”，而是选亮度合适、运动缓慢、轨迹较直、在电压范围内能上下控制且不易丢失的油滴。每次改换电场状态后应等运动重新稳定，再开始计时。

下面的数据台把半径估计、受力方向和电荷计算放在同一条证据链上。先故意选择一段未稳定的数据，看看结果为什么会漂，再换成稳定区间。

从许多油滴中看见电荷量子化

单个油滴得到 $q=4.7\times10^{-19}\,\mathrm C$，能直接宣布基本电荷就是这个数吗？不能。油滴可能带一个、两个或更多个基本电荷，计时与半径估计也有波动。实验的关键不是找“最小的那一次”，而是测量多颗油滴，检验各电荷量能否在不确定度范围内写成

一种处理方法是先估计 $e$，为每个 $|q_i|$ 指派最接近的正整数 $n_i$，再检验余差 $|q_i|-n_ie$ 是否随机分布、是否与测量不确定度相容。也可用 对 作过原点的加权拟合，以斜率估计 。若强迫一个明显不合适的整数编号也能“凑整齐”，或者删掉所有不靠近整数倍的数据，结论就失去了可复核性。

所谓“最小公约数法”在理想整数上很直观，在含噪声的实测小数上却很脆弱。报告应保留每滴的原始时间、电压、温度、气压、计算所得 $|q_i|$、所选 $n_i$ 和残差，而不是只交一个平均值。布朗运动、油滴挥发、对流、极板不水平、计时反应、焦平面漂移和滑移修正都会让点簇变宽；它们解释散布，却不能成为任意删点的理由。

电子为什么会一段一段地“交出能量”

如果原子能量可以任意改变，让电子穿过稀薄原子蒸气时，收集极电流应该随加速电压平滑变化。夫兰克—赫兹实验却得到一串近似周期的峰和谷。这种起伏不是电源“喘气”，而是电子与原子发生非弹性碰撞的宏观痕迹。

实验管内的热阴极发射电子，电子在加速电压作用下获得动能，穿过含原子蒸气的区域，再克服收集极前的拒斥电势到达收集极。低能碰撞大多近似弹性，电子仍有机会被收集；当电子动能达到某一激发能 $E_1$ 时，它能在一次非弹性碰撞中把近似 $E_1$ 交给原子，自身能量骤减，无法越过拒斥区，于是收集电流下降。继续增大加速电压，电子又能在碰撞后重新获得足够能量，电流再次上升。

把电子经过的加速碰撞区与减速筛选区分开，并用下方电势示意核对电极关系。

当电子能够经历一次、两次乃至多次激发碰撞时，曲线形成连续峰列。相邻同类峰或同类谷的电压差近似满足

因此以电子伏特表示激发能时，其数值等于以伏特表示的激发电势。对某种气体，应该使用该仪器所装气体和实验指导书给出的参考范围，不能把汞管、氖管等不同介质的数据混在一起。

将间隔标记对准曲线的相邻峰顶，比较多个周期；首峰横坐标不能直接代替激发电势。

现在想一想：为什么通常用多个相邻峰距的平均值或对峰序号作线性拟合，而不直接把第一个峰的位置当作激发电势？因为阴极与栅极材料的接触电势、空间电荷、电压零点以及电子初能分布会整体移动曲线。它们对绝对峰位影响明显，却往往不会同样改变相邻峰距。若峰位记为 $U_k$，可拟合

用斜率求激发电势，把截距当作综合偏移的诊断量，而不轻率赋予单一物理意义。

对采用加热蒸气管的装置，温度调节尤其容易被误解。温度太低，蒸气密度小，电子很少发生有效非弹性碰撞，峰谷不明显；温度太高，碰撞过于频繁，电子能量和碰撞位置分布变宽，曲线也可能模糊。灯丝电流过大还会加重空间电荷效应。正确顺序是按本机说明预热，在允许范围内调温和灯丝，先用较粗步长寻找完整曲线，再在峰谷附近细测；对没有独立炉温控制的型号，则记录其规定的工作与稳定条件，不能照搬另一型号的调温步骤。任何装置都不能为了“峰更高”无上限地加热或增大电压。

原始记录要保留加速电压、收集电流、温度设定与稳定时间、灯丝和拒斥电压、扫描方向及步长。升压和降压曲线若不重合，本身就是热漂移或迟滞的线索，不应只挑更漂亮的一条。峰位可用统一判据确定，并用步长、噪声和重复扫描估计不确定度；最终至少报告各峰序号、峰位、相邻间距、拟合斜率和残差。

截止电压把光电子的最大动能留下来

换到光电效应实验台，同样是测电流随电压变化，曲线的含义已经不同。频率为 $\nu$ 的单色光照到光阴极，单个光子的能量为 $h\nu$。逸出功为 $W_0$ 时，光电子最大初动能满足

给光电管施加反向电压，反向电场逐渐阻止电子到达阳极。当电压达到截止值 $U_s$，最快的光电子也刚好不能到达阳极，于是

因此，对多种已知频率测 $U_s$，作 $U_s$—$\nu$ 直线，斜率 $a=h/e$，可得 。如果给的是波长，须先用 转换，并把波长单位由纳米正确换成米。

从电源极性检查反向电场，再把伏安曲线的截止位置对应到截止电压与频率的直线关系。

“电流为零”在真实仪器上没有想象中干脆。暗电流、反向电流、放大器零漂和杂散光会让曲线在零点附近徘徊。实验必须先遮光测暗电流和零点，再按统一判据从净光电流曲线确定截止电压；可以使用交点、外推或仪器规定的方法，但同一组数据不能为每种颜色临时挑一种最顺眼的判据。

你可能会问：把光调亮，电子得到的能量更多，截止电压不也该变大吗？在理想单光子光电效应模型中，光强主要改变单位时间到达的光子数，因此主要改变饱和光电流；单个光子的能量由频率决定，截止电压不因光强增加而成比例增大。真实数据中若 $U_s$ 随光强轻微移动，应先检查截止判据、空间电荷、杂散光和放大器零点，而不是立刻改写基本模型。

接触电势会使整条 $U_s$—$\nu$ 关系发生截距偏移，滤光片带宽、波长标称误差和截止点判定会影响斜率。拟合时应保留每个频率的 $U_s$ 及其不确定度，查看残差是否随机；只报相关系数接近1还不够，因为少量点也可能把系统弯曲藏起来。报告中的 $h$ 要写单位 $\mathrm{J\,s}$，并说明不确定度或相对偏差来自哪些直接测量。

高压汞灯等光源必须充分预热并避免频繁开关，紫外和强光不能直视；光路调节先用屏或低功率指示，激光束不得扫过眼睛高度，也不得用镜面物品随意截光。光电管和微电流放大器要避免强光长时间直射与错误量程造成过载。

LED也能估计普朗克常量，但它不是光电管

有些实验室用不同颜色LED的伏安特性和中心波长估计普朗克常量。LED正向偏置时，电子与空穴复合发光，其光子能量与材料带隙处在同一数量级，于是常用近似关系

建立测量模型。对多种LED提取开启电压 $U_0$，可拟合 $U_0$ 对 $\nu$，以斜率估计 $h/e$；也可拟合 $U_0$ 对 ，其斜率近似为 。

问题在于，LED的伏安曲线没有一个天然锋利的“开启点”。固定小电流法、曲线陡升段切线外推法和肉眼刚见发光法会给出不同 $U_0$。串联电阻、结温、材料的非辐射过程、接触电势、发射光谱宽度和中心波长测量都会进入结果。LED阈值法适合训练建模、拟合和方法比较，但它的 $U_0$ 不是光电子的截止电压，不能把LED曲线硬套成爱因斯坦光电方程。

如果课程安排LED项目，原始记录至少包括每只LED的编号、温度、限流电阻、逐点电压与电流、阈值判据、中心波长及其来源。应先设限流，在低电压下检查极性，再逐步升压；不得把LED直接跨接在电源上。改变阈值判据后重新拟合，所得 $h$ 的变化本身就是方法不确定度的线索。

把项目做成闭环，而不是参观三台仪器

这些项目共享一条实验逻辑：先明确要由哪个可观测量支持哪个微观结论，再检查模型条件，最后才计算常量。密立根实验观察运动时间，要求稳定终速和合理阻力模型；夫兰克—赫兹实验观察峰列，依赖非弹性碰撞与峰距；光电管观察截止电压，LED观察阈值，它们虽然都能估计 $h$，测量模型却不相同。

预习时就应画好原始记录表，不要等曲线出来后凭记忆补条件。下面这些字段是最低限度，实际实验还要按仪器说明补入型号和设置：

断电不等于已经冷却或没有残余电荷。拆接前须按实验室规程确认冷却与放电完成。

下面先根据设备和课时选择项目，再补齐安全预检、原始观测、模型判断、数据处理与结论边界。若证据链少一环，最后的常量即使很接近公认值，也不能反过来证明过程正确。

一份可复核的报告应包含：项目与实验目的；实际仪器型号和关键量程；装置或连接图；调节顺序与安全确认；未经整理的原始数据；数据筛选规则；模型、公式和适用条件；拟合图、残差与不确定度；异常现象及处理；结论能支持到什么程度。写“误差来自仪器和人为因素”没有诊断价值，应具体到计时分辨、暗电流零漂、接触电势、峰位判据或温度漂移，并说明它主要影响斜率、截距、散布还是整体偏移。

这些项目在课程考核中真正重要的也不是把公认常量抄到足够多位，而是能否让另一位同学沿着记录重做计算、判断删点是否合理，并知道结论受哪些条件限制。当证据链闭合，微弱的光点和电流起伏才真正变成物理证据。

课后练习与实验设计

1. 稳定终速的判断

同一油滴无电场下通过三个连续 $0.20\,\mathrm{mm}$ 区间的时间分别为 $1.10\,\mathrm s$、$1.27\,\mathrm s$、$1.29\,\mathrm s$。能否把三段合并后直接代入斯托克斯平衡式？应怎样选取数据？

2. 平衡法计算油滴电荷

某油滴有效重力由无场稳定运动求得为 $4.80\times10^{-14}\,\mathrm N$。极板间距 $d=5.00\,\mathrm{mm}$，油滴在 $U=150\,\mathrm V$ 时悬停。求电荷量大小，并估计它约含多少个基本电荷，取 。

3. 电荷量子化的数据判读

四颗油滴得到的电荷量为 $(3.22,4.79,6.43,8.05)\times10^{-19}\,\mathrm C$。尝试为它们指派整数 $n_i$，估计 $e$，并说明为什么不能把最小测量值 直接当作基本电荷。

4. 油滴实验误差诊断

同一油滴连续测量时，计算得到的 $q$ 随实验时间单向增大。请给出至少三项检查，并指出哪类现象更像随机误差，哪类更像系统漂移。

5. 夫兰克—赫兹峰间距

一组同类峰位置为 $18.1\,\mathrm V$、$23.0\,\mathrm V$、$27.8\,\mathrm V$、$32.8\,\mathrm V$。估计第一激发电势，并说明为何第一个峰位置不是答案。

6. 曲线不清晰时怎样调

夫兰克—赫兹曲线几乎没有峰谷。有人建议把炉温和灯丝电流都调到最大。评价这个做法，并给出有依据的排查顺序。

7. 光电效应拟合

对若干频率作 $U_s$—$\nu$ 拟合，斜率为 $4.10\times10^{-15}\,\mathrm{V\,s}$。取 $e$，求 。截距明显偏离预期时，是否应直接删去截距？

8. 光强改变了什么

固定入射光频率，把光强增大后观察到饱和光电流明显增大，而截止电压基本不变。这个现象是否与光子模型一致？若截止电压也显著变化，应优先检查什么？

9. 比较LED法与光电管法

说明两种方法各自拟合的观测量与频率关系，并指出为什么不能把LED开启电压称为光电截止电压。

10. 设计一个可复核的选做方案

实验室有一套光电管装置、若干LED和两课时。请在“验证光电规律”和“比较低成本测量方法”中选择一个问题，写出观测量、调节顺序、数据表字段、处理方法、主要系统误差和安全措施。

$|q|/e\approx9.99$，在给定有效数字下约为 $10e$。这并不意味着可只测这一滴来确定 $e$，还需多滴数据检验整数倍关系。

不能直接删去截距。截距包含逸出功项，还可能叠加接触电势和零点偏移；应检查暗电流校正、截止判据、频率数据与残差，再说明截距的物理与仪器来源。