沿实轴算出极限是 $0$，沿虚轴也算出 $0$，就能放心了吗？在平面上，两条轴只检查了很少的点。要证明极限存在，我们需要一种能管住整个小圆盘的估计；要否定极限，倒只需找到两条结果不同的路径。

邻域是平面里的小圆盘

点 $z_0$ 的 $\delta$ 邻域写成 $|z-z_0|<\delta$。去掉中心后的穿孔邻域是 $0<|z-z_0|<\delta$。说 $f(z)\to L$ 当 $z\to z_0$，意思是：无论从哪一条路径、以什么速度进入这个小圆盘，$f(z)$ 都能进入任意给定的 $L$ 的小圆盘。

把“都能进入”写成可以检验的条件：对每个 $\varepsilon>0$，都能找到 $\delta>0$，使定义域中的点满足

$$0<|z-z_0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(z)-L|<\varepsilon.$$

这里假设 $z_0$ 是定义域的聚点，也就是它附近总有不同于它的定义域中的点。$\delta$ 可以依赖 $\varepsilon$，但不能随着点的方向临时改变。定义没有要求 $f(z_0)$ 存在。

给定输出误差 $\varepsilon$，输入半径 $\delta$ 必须对定义域内所有满足穿孔条件的点同时有效。图中三个点只作示意。

用序列表达，就是每一列定义域中的点 $z_n\ne z_0$，只要 $z_n\to z_0$，就必须满足 。因此找到两条路径给出不同结果，足以否定极限；但沿几条路径都得到同一结果，还不能单独证明极限存在。

例题： 判断

$$\lim_{z\to0}\frac{\bar z}{z}$$

是否存在。沿实轴取 $z=x\ne0$，比值为 1；沿虚轴取 $z=iy$，比值为 $-1$。两条路径都趋向原点却给出不同结果，所以极限不存在。这个反例特别重要：分子分母都趋于 0，并不意味着可以像一元有理式那样只看形式约分。

对 $\bar z/z$，实轴和虚轴给出不同值；找到这两条路，已足够否定极限。

连续性与复值函数

若 $f$ 在 $z_0$ 定义，且 $\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$，就说它在 连续。写 后，复极限等价于

$$u(x,y)\to u(x_0,y_0),\qquad v(x,y)\to v(x_0,y_0).$$

所以复值函数连续，等价于实部和虚部作为两个实变量函数都连续。多项式、共轭、指数的复变量定义都会在它们的自然定义域内连续；商函数要额外排除分母为零的点。

路径检验与二维估计

有些极限不能靠两条简单直线判定。比如

$$\lim_{z\to0}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0$$

可以用 $|x^2y|\le (x^2+y^2)^{3/2}$，于是

$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le\sqrt{x^2+y^2}=|z|\to0.$$

这是一种夹逼思路：把表达式的大小压到只依赖 $|z|$ 的量，才能同时控制所有方向。只验 $y=mx$ 会漏掉抛物线路径；估计法能处理一整个邻域。

例题： 判断

$$\lim_{z\to0}\frac{x^3}{x^2+y^2}$$

是否为 0。因为沿实轴 $y=0$ 时表达式为 $x$，确实趋于 0；并且

$$\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|\le|x|\frac{x^2}{x^2+y^2}\le |x|\le|z|,$$

故极限为 0。这里分母可能为 0 只发生在原点，而极限使用的是穿孔邻域。

全部直线也可能漏检

把函数换成 $F(x+iy)=x^2y/(x^4+y^2)$，暂不在原点定义。沿直线 ，当 时它等于 ；沿实轴和虚轴也都为 。但沿抛物线 ，它恒为 。问题不只是“检查的直线不够多”：这里所有直线都通过了，极限仍然不存在。

怎样真正选出一个邻域

试着证明 $z^2\to1$ 当 $z\to1$。拆因子得到

$$|z^2-1|=|z-1||z+1|.$$

若限制 $|z-1|<1$，三角不等式给 $|z+1|\le|z-1|+2<3$。因此给定误差 ，选 就够了。这里先限制邻域，是为了让另一个因子始终有同一个上界，并没有挑选某条路径。

右边是允许的误差圆盘，不是左圆盘在平方映射下的精确像。统一估计保证像落在其中。

连续性要求相近输入产生相近输出；网格可以帮助观察，但有限采样本身不是证明。

数列何时能停留在小圆盘里

收敛要求后面的点一直留在任意小的邻域内，偶尔进入一次不算。还可以不预先指定极限，而要求尾部两点互相接近：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使 $m,n\ge N$ 时 $|z_m-z_n|<\varepsilon$。这叫 Cauchy 条件。

在复平面上，它与收敛等价。收敛到 $a$ 时，让尾部各点到 $a$ 的距离小于 $\varepsilon/2$，三角不等式就给出 Cauchy 条件。反过来，$|\operatorname{Re}(z_m-z_n)|$ 和 都不超过 ，所以实部、虚部各是实 Cauchy 列。用实数的完备性分别取极限，两部分合起来就是复极限。

Cauchy 条件比较尾部任意两点的距离，不要求预先知道极限在哪里。

无穷远是另一个邻域

说 $z\to\infty$，表示 $|z|$ 超过任意大数；方向仍然可以任意变化。把 $w=1/z$ 换进来，$z\to\infty$ 等价于 $w\to0$。例如

$$\lim_{z\to\infty}\frac{1}{z}=0,$$

而 $e^z$ 沿不同方向可能表现完全不同：沿负实轴衰减，沿虚轴只在单位圆上绕圈，不能简单说“指数趋于无穷”。

在无穷远研究邻域，可以用 $w=1/z$ 转到原点附近；半径变大对应 $|w|$ 变小。

积分为什么关心区域的形状

后面谈全纯函数时，定义域通常是开集：每一点周围都能放下一个仍在集合中的小圆盘。例如 $|z|<1$ 是开集，$|z|\le1$ 则不是，因为边界点没有这样的圆盘。区域指非空、连通的开集；连通意味着不能把它拆成两个互不相交的非空相对开部分。对平面中的开集，连通也等价于任意两点能由留在其中的路径连接。

连通还不够说明一个区域“没有洞”。我们把每条闭曲线都能在区域内连续收缩成一个点的区域称为单连通区域。圆盘是单连通的：朝圆心按比例缩小，整个过程始终留在圆盘中。穿孔平面 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 虽然任意两点都能绕开原点相连，绕原点一圈的闭曲线却无法在不碰原点的前提下收缩。它连通，但不是单连通。

第 4 章的积分会用到这一区别。让路径在区域里移动没有越界，并不等于总能把它缩成一个点；中间的洞可能挡住它。

把直线换成弯曲的路径

先选 $x^2y/(x^4+y^2)$，沿几条直线缩小参数，再改成 $y=x^2$。左侧显示点走的路径，右侧保留函数值随趋近过程的变化。直线都给出零以后，抛物线路径会留下什么值？换成 和 ，比较“路径否定”和“统一估计”各适合哪一个问题。

自己选一次 delta

对 $f(z)=z^2$、$z_0=1$，调小允许误差 $\varepsilon$，再选择输入圆盘半径 $\delta$。观察函数像是否留在以 为中心的误差圆盘里。离散采样只能帮你发现反例；真正保证所有点都合格的是 。试试自动给出的保守值，再找出更大的可行半径。

练习

练习 1｜反例。 用两条路径说明 $\lim_{z\to0}z/\bar z$ 不存在。

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沿实轴 $z=x$ 时 $z/\bar z=1$；沿虚轴 $z=iy$ 时 $z/\bar z=-1$。两条路径给出不同极限，故总极限不存在。

练习 2｜估计。 证明 $\lim_{z\to0}|z|^2\sin(1/|z|)=0$。

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因为 $|\sin(1/|z|)|\le1$，所以绝对值不超过 $|z|^2\to0$。这里不需要研究正弦的振荡方向，统一的绝对值上界已经控制了所有路径。

1

证明二维复极限存在时，最有力的常用步骤是哪一种？

A.只代入实轴B.只检查两条直线C.给出依赖 |z−z0| 的统一上界D.把 z 当作实数处理

2

若在某穿孔邻域中恒有 |f(z)−L|≤3|z−z0|，就能推出 f(z) 在 z→z0 时趋于 L。

正确错误

练习 3｜换一个中心。 给定 $\varepsilon>0$，为 $z^2\to-4$（$z\to2i$）选一个有效的 $\delta$，并说明为什么能控制所有方向。

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$|z^2+4|=|z-2i||z+2i|$。限制 $|z-2i|<1$，就有 。取 ，便有 。估计只使用距离，所以没有排除任何方向。

练习 4｜看清定义域。 集合 $1<|z|<3$ 是开集吗？是否连通、是否单连通？给出能支持判断的路径或闭曲线。

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它是开集：每个点到内外边界都有正距离，取比这两个距离都小的圆盘即可。任意两点可以先沿半径方向走到半径为 $2$ 的圆上，沿圆弧相连，再走向终点，因此连通。圆 $|z|=2$ 围住了缺失的内圆盘，不能在环域内缩成一点，所以不单连通。这里的“洞”不是图画上的空白，而是收缩过程不能经过的定义域外的点。