复导数的门槛不是“偏导数会算”，而是二维平面上每个方向的微小变化都必须由同一个复数乘法描述。这一章把这个门槛写成 Cauchy–Riemann 方程。

复导数要求方向一致

在 $z_0$ 处，复导数定义为

$$f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},$$

这里的 $h$ 是复数，既能沿实轴靠近，也能沿虚轴或任意斜线靠近。极限存在时，所有方向的差商都必须收敛到同一个复数。

写 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。沿实方向 $h=\Delta x$，差商的极限是 $u_x+iv_x$；沿虚方向 ，除以 后的极限是 。两者相等便给出

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$

这就是 Cauchy–Riemann 方程，简称 CR 方程。若方程在某邻域成立且偏导连续，则它不仅是必要条件，也是复可微的充分条件。

增量 $h$ 趋于零时，差商必须沿所有趋近方式到达同一个极限。

两个方向的检查怎样变成充分条件

CR 方程本身只比较了两个方向。让它管住所有方向，需要实二维可微性：记 $h=\Delta x+i\Delta y$，若 $u,v$ 在该点实可微，则

$$f(z_0+h)-f(z_0)=(u_x+iv_x)\Delta x+(u_y+iv_y)\Delta y+o(|h|).$$

该点满足 CR 时，第二个系数等于 $i(u_x+iv_x)$，于是主项合成 $(u_x+iv_x)h$。除以 后，余项的模趋于零，复导数就存在了。邻域内一阶偏导存在并在该点连续，是保证实可微的一条常用充分条件；它不是单点复可微的必要条件。

乘以 $1+i$ 把两个坐标方向同时旋转 $45^\circ$、放大 $\sqrt2$ 倍。CR 方程要求局部线性部分具有这种共同作用。

从 CR 计算导数

满足 CR 后，导数可以从任意一组相邻偏导得到：

$$f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y.$$

例题： 证明 $f(z)=e^z$ 全纯并求导。复指数按

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

定义，所以 $u=e^x\cos y$、$v=e^x\sin y$。计算得到

$$u_x=e^x\cos y=v_y,\qquad u_y=-e^x\sin y=-v_x.$$

偏导连续且 CR 处处成立，故 $e^z$ 全纯；导数为

$$f'(z)=u_x+iv_x=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z.$$

检查时不能只写“指数函数导数仍是自身”，因为这里正要验证复变量版本为什么仍然成立。

反例： $f(z)=\bar z=x-iy$ 有 $u=x,v=-y$，于是 而 ，CR 在任何点都失败，因此它没有任何点的复导数。它虽然连续、实部和虚部也都有偏导，却不是全纯函数。

共轭的差商随增量方向改变；在两条坐标方向得到的结果已经不一致。

熟悉的求导规则，仍要检查定义域

和、积、商以及复合函数的求导公式与实变量相同，前提是相关复导数存在，商的分母还须非零。理由也可直接从线性主部看出：若 $f(z+h)=f(z)+f'(z)h+o(|h|)$， 也有这样的展开，把两式相乘，一次项就是 ，其余高阶项除以 后趋零。把一个线性近似代入另一个，则得到 ；这里 保证余项仍为 。

因此多项式处处全纯，有理函数在分母非零处全纯。复正弦和余弦可以从指数定义：

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2.$$

由刚才的规则直接求导，仍有 $(\sin z)'=\cos z$、$(\cos z)'=-\sin z$，且它们在整个复平面全纯。不过实轴上的有界性没有跟过来： 的模会随 增大。后面用 Liouville 定理时，必须检查整个复平面的界。

极坐标形式

当 $z=re^{i\theta}$，把 $u,v$ 看作 $u(r,\theta),v(r,\theta)$，CR 方程变成

$$u_r=\frac1r v_\theta,\qquad v_r=-\frac1r u_\theta\quad(r>0).$$

它适合处理关于原点有旋转结构的函数。注意 $r=0$ 时公式含 $1/r$，不能直接代入；原点需要回到笛卡尔坐标或导数定义单独检查。

这两条关系可以由链式法则核对。例如

$$u_r=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta,$$ $$\frac{v_\theta}{r}=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta.$$

代入 $v_x=-u_y$、$v_y=u_x$，右边正好等于 。同样，。分母里的 来自角向位移的弧长，不是额外添加的修正项。

径向微小位移为 $dr$，切向的一阶位移为 $r\,d\theta$。这就是极坐标 CR 方程中出现 $1/r$ 的原因。

例题： 研究 $f(z)=z^2$。极坐标下 $u=r^2\cos2\theta$、$v=r^2\sin2\theta$。于是 ，而 ；同样 。这与直接求导 一致，也揭示了平方映射把角度加倍。

对数分支：导数相同，定义域不能省略

在割去非正实轴的平面中，连续选取 $-\pi<\theta<\pi$，定义 $L(z)=\log r+i\theta$。这是一个单值的对数分支，因为 $e^{L(z)}=z$。它在极坐标中满足 、，偏导连续，故在这个割平面全纯。对 求导，得到 ，所以 。

把辐角范围改成 $0<\theta<2\pi$，应改为割去非负实轴；这时负实轴附近反而连续。沿一整圈追踪辐角会增加 $2\pi$，因此不能把一个分支直接铺到整个穿孔平面。导数 $1/z$ 可以在更大的区域有定义，不代表它的某个单值原函数也覆盖那里。

选定 $L$ 后，还可定义非整数幂 $z^\alpha=e^{\alpha L(z)}$。同一分支内求导得 $\alpha e^{\alpha L(z)}/z$；若把 换成 ，幂函数会多出因子 。第 9 章钥匙孔两侧留下的差别，就来自这个因子。

全纯、解析与无限可导

如果 $f$ 在区域 $D$ 的每一点都有复导数，就称它在 $D$ 上全纯。Cauchy 理论会证明，全纯函数自动拥有任意阶导数，并且在小圆盘内等于自己的 Taylor 级数。于是“复可微一次”远比实变量中“可微一次”强。

在本课范围里，“解析”指局部可展开为收敛幂级数；Cauchy 公式会把全纯与解析连接起来。此刻先区分两个说法：全纯是逐点可微，解析是局部能展开为幂级数。第 5、6 章会证明它们为什么等价。

全纯的条件需要在开邻域内逐点成立；谈某点附近全纯时，要能在定义域里放下一个小圆盘。

全纯函数的 Jacobian 为

$$J_f=\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},$$

其中 $f'=a+ib$。它正是复数乘法的矩阵，所以当 $f'(z)\ne0$ 时局部线性近似是旋转和缩放，不会把一个小圆压成任意的椭圆。

一点可微，并不等于附近全纯

函数 $|z|^2$ 在原点的差商是 $|h|^2/h=\bar h\to0$，因此导数为零。但在非零点，CR 要求 $2$，无法成立。它在原点可微，却没有任何全纯邻域。

还有比这更容易误判的例子：令 $F(0)=0$，在其他点定义 $F(x+iy)=x^3/(x^2+y^2)+i\,y^3/(x^2+y^2)$。原点四个偏导为 、，CR 成立。沿实轴差商为 ，沿 却为 ，所以原点并没有复导数。缺少的正是把偏导拼成统一线性近似的条件。

$|z|^2$ 只有原点复可微；$z^2$ 则在每个点复可微。一个点不能替代一个开邻域。

移动观察点，比较各方向差商

选择 $z^2$、$\bar z$ 或 $|z|^2$，移动 $z_0$，再缩小步长。右侧保留多个方向的差商：是聚到同一点，还是仍围成一圈？同时查看 CR 残差，但不要只凭某次有限步长的图判定导数。将 的观察点移到原点，比较它与整函数 的差别。

转动与反射的区别

把一对有方向的切向量交给 $z^2$、$\bar z$ 或实线性剪切变换，观察它们的像。共轭确实保留无向夹角，却反转方向；这里说的全纯保角还要求保持定向。$z^2$ 在非零点由乘以 $2z_0$ 给出局部旋转缩放，在原点这个线性项消失。缩小观察窗，辨认有限图形变形和局部切向量之间的差别。

练习

练习 1｜直接检查。 判断 $f(z)=x^2-y^2+i(2xy)$ 是否全纯，并求导。

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这里 $u=x^2-y^2,v=2xy$。有 $u_x=2x=v_y$，，偏导连续，所以全纯。导数为 。

练习 2｜可微点能组成一条线吗？ 判断 $f(x+iy)=x^2+y^2+2ixy$ 在哪些点复可微，求这些点的导数，并判断它能否在某个非空开集上全纯。

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这里 $u_x=2x,v_y=2x$，第一条 CR 恒成立；第二条要求 $u_y=2y=-v_x=-2y$，等价于 。偏导在整个平面连续，所以这些必要条件也是充分条件。函数恰好在实轴上的点复可微，导数为 。实轴不包含任何小圆盘，因此没有非空开集能完全落在这些可微点中，函数不能在某个区域上全纯。可微点有无穷多个，也不等于它们围成了一个可使用全纯定理的邻域。

练习 3｜从极坐标检查分支。 在 $r>0,\ -\pi<\theta<\pi$ 上取 $f(re^{i\theta})=\sqrt r\,e^{i\theta/2}$。验证极坐标 CR，并求导。为何不能原样包含负实轴两侧？

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$u=\sqrt r\cos(\theta/2)$、$v=\sqrt r\sin(\theta/2)$，故 ，。偏导连续，函数在割平面全纯。由 和 ，得 。靠近负实轴时， 与 给出 和 两个不同的边界值，不能用同一个公式连续跨过支割线。

练习 4｜复合函数的禁区。 $h(z)=1/(e^{2z}-1)$ 在哪里全纯？求其导数。

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先解分母为零：$e^{2z}=1$ 要求 $2\operatorname{Re}z=0$ 且 $2\operatorname{Im}z=2k\pi$，所以排除 ，。其余点由商与链式法则得 。公式和定义域缺一不可。

1

CR 方程在邻域内成立且相关偏导连续时，能推出什么？

A.函数在该邻域全纯B.函数只连续C.函数一定有极点D.函数一定是常数

2

函数在某一点满足 CR 方程，就一定在该点复可微。

正确错误