从 $1$ 走到 $-1$，沿上半圆或下半圆，积分会一样吗？如果积分的是 $z^2$，答案相同；换成 $1/z$，两条路就给出不同结果。曲线积分需要同时看函数和它走过的区域，端点相同只是问题的一部分。

把路径写进积分

设 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ 是分段光滑曲线，$f$ 在曲线上连续。定义

$$\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.$$

不要漏掉 $\gamma'(t)$：它记录了移动的方向和速度。只计算 $f(\gamma(t))$ 的积分，相当于把路径上的函数值相加，却没有计入复位移。反向走同一条曲线，积分变号；把曲线首尾接起来，积分相加。

参数 $t$ 描述沿路径行走的位置，$z\prime(t)\,dt$ 同时保留微小位移的长度与方向。

例题： 沿线段从 $1$ 到 $1+2i$ 积分 $z^2$。取 $\gamma(t)=1+2it$，，于是

$$\int_\gamma z^2dz=\int_0^1(1+2it)^2(2i)dt=-4-\frac23i.$$

展开核对：$(1+2it)^2=1+4it-4t^2$，乘 $2i$ 后实部是 ，虚部是 ，分别积分就得到上面的结果。这里的终点不是参数 本身，而是 。

用长度估计一个复积分

复积分通常不是实数，但它的模可以估计。若曲线长为 $L$，曲线上 $|f|\le M$，则

$$\left|\int_\gamma f(z)dz\right| \le\int_a^b|f(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|dt \le M\int_a^b|\gamma'(t)|dt=ML.$$

第一步对复向量的累加使用三角不等式，第二步用统一上界 $M$，最后的积分才是弧长。$L$ 不是两端点的距离，也不是曲线在实轴上的投影长度。

$ML$ 中的 $L$ 是实际路径长度。弯曲路径的长度通常大于端点之间的直线距离。

例如半径 $R$ 的上半圆上，$|1/z^2|=1/R^2$，弧长是 $\pi R$，所以积分模不超过 $\pi/R$，随 趋零。若换成 ，同样估计只给 ，不能由此断言趋零。实际上正向上半圆的积分分别为 和 ；上界与精确值不必相等。

上半圆越大，弧长也越大。这里的三个 $ML$ 上界分别增长、不变、趋零，不能只比较函数值。

把曲线拉大，积分一定变小吗

在实验中切换 $1/z$、$1/z^2$ 和常函数 $1$，改变上半圆半径。把“函数模的上界变小”和“路径长度变大”一起考虑，预测它们的乘积。页面并列显示精确积分与 $ML$：半径增加时，三个函数给出的趋势并不相同。

原函数为什么能消掉路径

若 $F'=f$ 在区域 $D$ 上成立，链式法则给出

$$(F\circ\gamma)'(t)=F'(\gamma(t))\gamma'(t)=f(\gamma(t))\gamma'(t).$$

把它从 $a$ 积到 $b$，就有

$$\int_\gamma f(z)dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).$$

这时积分只看端点。上面的线段例题可以用 $F(z)=z^3/3$ 重算：$((1+2i)^3-1)/3=(-12-2i)/3$。任意一条留在定义域内的同端点曲线都给这个值。

反过来，设 $f$ 在连通开集 $D$ 上连续，并且所有分段光滑闭曲线积分都为零。两条同端点路径拼成闭路，便知积分与路径无关。固定 $z_*$ 后定义 $F(z)=\int_{z_*}^z f(\zeta)d\zeta$。小线段留在 内时，令 ，得到

$$\frac{F(z+h)-F(z)}h=\int_0^1 f(z+th)dt\longrightarrow f(z).$$

连续性让整条小线段上的值都靠近 $f(z)$，所以 $F'=f$。至此，“有原函数”“路径独立”“所有闭路积分为零”之间的关系都有了依据。

上半圆与下半圆

从 $1$ 到 $-1$，上半圆可取 $z=e^{it}$，$t:0\to\pi$；下半圆取 $$，。对 ，两个积分分别是 和 ，差为 。对 ，原函数使两条路径都得到 。

两条路径都是从 $1$ 到 $-1$，但上路辐角增加 $\pi$，下路减少 $\pi$，故积分分别为 $i\pi$ 与 $-i\pi$。

把实验里的路径从半圆改成经过一个可拖动顶点的折线。顶点越过实轴时，观察 $1/z$ 的积分怎样变化；若某段恰好穿过原点，普通路径积分便没有定义。程序给出的奇点提示正是在提醒你检查这一条前提。

Cauchy–Goursat：局部可微怎样控制闭路

一个实心三角形 $T$ 连同边界都包含在 $f$ 的全纯区域中，则沿它的边界积分为零。这里不额外假设 $f'$ 连续。证明有一个值得认真看清的缩小过程。

连接三边中点，把 $T$ 分成四个小三角形，全部按逆时针方向取边界。公共边会走两遍、方向相反，因此大三角形积分是四个小积分的和。至少有一个小积分的模不小于原来模的四分之一。不断选择这样的子三角形，得到套在一起的 $T_n$，并有

$$\left|\int_{\partial T}f\,dz\right|\le4^n\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right|.$$

每次四分以后，直径与周长各减半；它们的乘积抵消 $4^n$，真正趋零的是可微余项。

设原三角形直径为 $d$、周长为 $p$。第 $n$ 次后，两者分别是 $d/2^n$、$p/2^n$。闭三角形逐步缩小到一个点 $$；复平面的完备性保证这个点不会丢失。由于 在 可微，可以写

$$f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+(z-a)\eta(z),\qquad \eta(z)\to0.$$

前两项都有原函数，沿闭路积分为零。对剩余项用 $ML$，得到

$$\left|\int_{\partial T_n}f\,dz\right| \le \frac{d}{2^n}\frac{p}{2^n}\sup_{T_n}|\eta|.$$

与前面的 $4^n$ 相乘，缩小的两个长度恰好抵消放大的因子，原积分的模不超过 $dp\sup_{T_n}|\eta|\to0$。所以原积分只能是零。可微性在这里的作用很具体：减掉线性主部后，余项比距离还小一个趋零因子。

三角形结论让我们在小圆盘内构造原函数：固定圆心到 $z$ 的线段积分，两条线段与连接端点的小线段围成三角形，积分为零，所以仍可用前面的差商证明原函数存在。更一般地，一条闭曲线如果能在全纯区域内收缩成一点，把这个连续变形细分到足够小的圆盘中，相邻路径的积分由局部原函数保持不变；缩成点后的积分为零。单连通区域保证这样的收缩可以做到，因而全纯函数在其中的闭路积分为零。

孔洞的边界要留下来

在环域中割开一条连接内外边界的小路，沿切口来回走的积分相互抵消。剩下外边界与内边界：若都单独取逆时针方向，两个积分相等；若把它们作为环域的正向边界，则外圈逆时针、内圈顺时针，总和为零。沿边界前进时，区域应在左手边。

沿带孔区域的正向边界行走，区域始终在左侧：外圈逆时针，内圈顺时针。

因此，只要没有穿过奇点，围住某点的正向曲线可以换成以该点为中心的小圆。对 $1/(z-a)$，小圆参数化直接给出 $2\pi i$。这是下一章积分公式的起点。

练习

练习 1｜参数与方向。 沿半径 $2$ 的上半圆从 $2$ 到 $-2$ 计算 $\int dz/z^2$，并用 $ML$ 核对。反向走结果怎样？

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$-1/z$ 是原函数，所以积分为 $-1/(-2)+1/2=1$。曲线上 $M=1/4$、弧长 $L=2\pi$，，估计成立。反向走积分为 ，模的上界不变。

练习 2｜孔洞并不保证非零。 $1/z^2$ 在穿孔平面上全纯。它沿单位圆的积分是不是因为包住原点就一定非零？

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不是。$-1/z$ 在整个穿孔平面上都是单值原函数，闭路积分为零。孔洞使“全纯就能直接用单连通版本”失效，但不意味着每个函数都会产生非零积分。比较 $1/z$ 才能看出区别。

练习 3｜证明中的尺度。 在 Goursat 证明里，如果只使用 $|f(z)|\le M$ 而不减去线性主部，能否让 $4^n$ 倍的小三角形积分估计趋零？

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不能。粗估计为 $4^n M p/2^n=2^nMp$，反而增大。减去有原函数的常数项和一次项后，余项贡献多出距离因子 $d/2^n$ 与 的趋零因子，才得到趋零的 。

1

已有定义在整个区域 D 上的单值原函数 F，沿 D 内闭曲线积分 F'，结果是多少？

A.0B.曲线长度C.只要有孔洞就非零D.取决于所用参数的速度

2

函数在闭曲线附近全纯，其闭路积分仍有可能非零。

正确错误