第 3 章 正则曲面与切空间

一张曲面可以用不同方式描述。球面常被写成参数方程，也可以写成一个方程的等值集合；圆柱面适合用角度和高度参数化，平面则可以直接写成图面。它们看上去只是记号不同，真正影响计算的却是：参数是否能提供两个独立的切向方向？给定一个方程，梯度为什么会自动指向法向？

这一章建立曲面的局部语言。我们会把参数化、level set、切空间和法向联系起来，再在图面、球面和圆柱面上反复检查条件。重点不是背三种模板，而是看到一个新曲面时，知道应该选择哪种表示、在哪一步检查正则性。

1. 参数化的局部视角

设 $U\subset\mathbb R^2$ 是开集，给定 $C^1$ 映射

$$\mathbf X:U\to\mathbb R^3,\qquad (u,v)\mapsto\mathbf X(u,v).$$

固定 $(u_0,v_0)$，改变 $u$ 而保持 $v=v_0$，得到一条参数曲线；改变 而保持 ，得到另一条参数曲线。因此

$$\mathbf X_u(u_0,v_0),\qquad \mathbf X_v(u_0,v_0)$$

是曲面上点 $p=\mathbf X(u_0,v_0)$ 的两个候选切向量。

如果这两个向量线性无关，即

$$\mathbf X_u\times\mathbf X_v\ne\mathbf0,$$

则称该参数化在 $(u_0,v_0)$ 处是正则的。它的微分把参数平面里的两个独立方向送到空间中两个独立的方向，局部上不会把一个二维小片压扁成一条线。正则曲面要求每一点附近都存在这样的正则参数化；“正则”描述的是局部可展开性，不要求一张曲面只有一个全球参数化。

切空间的定义

设 $S\subset\mathbb R^3$，$p\in S$。如果 $\boldsymbol\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ 是一条 曲线且 ，那么 是沿着曲面走过 时可能出现的速度向量。所有这样的速度向量组成的集合定义为切空间

$$T_pS=\{\boldsymbol\gamma'(0):\boldsymbol\gamma\text{ 在 }S\text{ 内，且 }\boldsymbol\gamma(0)=p\}.$$

对一个正则参数片，切空间有更容易计算的形式

$$T_pS=\operatorname{span}\{\mathbf X_u(u_0,v_0),\mathbf X_v(u_0,v_0)\}.$$

为什么两者相同？若 $\boldsymbol\gamma(t)=\mathbf X(u(t),v(t))$，链式法则给出

$$\boldsymbol\gamma'(0)=\mathbf X_u u'(0)+\mathbf X_v v'(0),$$

所以曲面内曲线的速度一定落在右侧张成的平面中。反过来，对任意常数 $a,b$，取参数平面中的直线 $(u(t),v(t))=(u_0+at,v_0+bt)$，则

$$\frac d{dt}\mathbf X(u_0+at,v_0+bt)\bigg|_{t=0}=a\mathbf X_u+b\mathbf X_v.$$

局部性保证这条参数直线在足够小的 $t$ 范围内留在 $U$ 中，因此每个线性组合都确实是曲面内曲线的速度。

若 $\mathbf X_u\times\mathbf X_v\ne0$，可以取单位法向量

$$\mathbf n=\frac{\mathbf X_u\times\mathbf X_v}{\lVert\mathbf X_u\times\mathbf X_v\rVert}.$$

换成 $\mathbf X_v\times\mathbf X_u$ 会得到相反方向的法向量；法向的方向选择有两个，但法向线本身是唯一的。

2. 方程描述的曲面：level set

设 $F:\mathbb R^3\to\mathbb R$ 是 $C^1$ 函数，考虑

$$S=F^{-1}(0)=\{(x,y,z):F(x,y,z)=0\}.$$

如果在 $p\in S$ 处

$$\nabla F(p)\ne\mathbf0,$$

那么 $p$ 是 level set 的正则点。隐函数定理保证：在 $p$ 附近，至少可以把一个坐标写成另外两个坐标的函数，因而 $S$ 局部是一张正则曲面。梯度不为零是关键条件，不能只因为方程看起来光滑就省略。

为什么梯度是法向量？设 $\boldsymbol\gamma(t)$ 是留在 $S$ 内的曲线，且 $\boldsymbol\gamma(0)=p$。因为 $F(\boldsymbol\gamma(t))\equiv0$，对 求导：

$$0=\frac d{dt}F(\boldsymbol\gamma(t)) =\nabla F(\boldsymbol\gamma(t))\cdot\boldsymbol\gamma'(t).$$

在 $t=0$ 处，所有切向量 $\boldsymbol\gamma'(0)$ 都与 $\nabla F(p)$ 正交。因此

$$T_pS=\{\mathbf w\in\mathbb R^3:\nabla F(p)\cdot\mathbf w=0\},$$

法向线由 $\nabla F(p)$ 张成。

如果已知一个正则参数化 $\mathbf X(u,v)$ 满足 $F(\mathbf X(u,v))=0$，也能从同一条恒等式得到

$$\nabla F(\mathbf X)\cdot\mathbf X_u=0,\qquad \nabla F(\mathbf X)\cdot\mathbf X_v=0.$$

所以 level set 法向与参数化叉积法向平行。前者通常适合从隐式方程直接求法向，后者同时给出切向基和参数方向。

3. 图面是最容易检查的正则曲面

给定 $C^1$ 函数 $f:U\subset\mathbb R^2\to\mathbb R$，它的图面为

$$\mathbf X(u,v)=(u,v,f(u,v)).$$

两个偏导是

$$\mathbf X_u=(1,0,f_u),\qquad \mathbf X_v=(0,1,f_v),$$ $$\mathbf X_u\times\mathbf X_v=(-f_u,-f_v,1).$$

最后一个坐标恒为 $1$，因此叉积永远不为零；任何 $C^1$ 图面都是正则的。它也可以写成 level set

$$F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$$

其梯度为 $(-f_x,-f_y,1)$，与参数化叉积完全一致。

图面在 $p=(u_0,v_0,f(u_0,v_0))$ 处的切平面是

$$z-f(u_0,v_0)=f_u(u_0,v_0)(x-u_0)+f_v(u_0,v_0)(y-v_0).$$

这是多变量微积分中线性近似的几何版本：两个水平坐标发生小变化时，高度的一阶变化由梯度给出。

完整例题：抛物面上的切平面与法向

求曲面

$$S:\ z=x^2+2y^2$$

在 $p=(1,1,3)$ 处的切空间、一个单位法向量和切平面，并检查一条确实位于曲面内的曲线是否给出切向量。

这里优先选图面参数化，因为题目给出的是显式图面，偏导直接提供切向基；再用 level set 作独立检查，可以避免把法向符号或点坐标算错。

4. 球面：参数图的边界不一定是曲面奇点

半径为 $R$ 的球面可用球坐标参数化：

$$\mathbf X(\theta,\varphi)= (R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\sin\varphi,\ R\cos\theta),$$

其中 $0<\theta<\pi$，$0<\varphi<2\pi$ 是一个常见的局部参数范围。参数偏导在极点 $\theta=0,\pi$ 会退化，因为不同的 $$ 在极点表示同一个点，且 。这不意味着球面在极点不正则，只说明这一个坐标图在极点失效；可以换另一张参数图，或直接使用 level set。

球面是

$$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2=0$$

的 level set。只要 $R>0$，球面上 $\nabla F=2(x,y,z)\ne0$，所以每一点都是正则点，法向方向就是径向方向。

5. 圆柱：同一曲面两种表达各有用途

半径为 $R>0$ 的圆柱面可参数化为

$$\mathbf X(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z).$$

偏导为

$$\mathbf X_\theta=(-R\sin\theta,R\cos\theta,0), \qquad \mathbf X_z=(0,0,1),$$

叉积为 $(R\cos\theta,R\sin\theta,0)$，长度为 $R$，所以参数化处处正则。它的 level set 写成

$$F(x,y,z)=x^2+y^2-R^2=0,$$ $$\nabla F=(2x,2y,0).$$

参数化告诉我们两个自然切向方向：绕轴的圆周方向和沿轴方向；level set 直接告诉我们法向是水平径向方向。遇到需要描述切向量时，参数化更方便；遇到需要写法平面或检查某点是否正则时，梯度通常更快。

完整例题：圆柱上一条曲线的切向量

设 $S:x^2+y^2=4$，并考虑曲线

$$\boldsymbol\gamma(t)=(2\cos t,2\sin t,t).$$

求 $t=\pi/3$ 处的切向量，判断它是否位于圆柱的切空间中，并求该点的单位法向量。

这次使用 level set 检查切向量，再用参数化理解切空间的两个方向。两种方法的交会正好展示了隐式和显式描述的互补。

在交互中选择同一个球面或圆柱面，切换参数化与 level set 表示。先预测两种表示算出的法向是否只差一个正负号，再观察坐标图在球面极点附近为什么会失效。重点不是记住某个控件的输出，而是把“参数退化”和“曲面本身不正则”区分开。

可以在曲面上移动点，拖动一条留在曲面内的曲线方向，检查速度向量与梯度的点积。若点积不为零，说明拖动的方向并非真正沿曲面；重置后比较图面、球面和圆柱的法向变化，能把局部线性近似与几何约束连起来。

练习

练习 1（理解：正则参数化）

判断 $\mathbf X(u,v)=(u+v,u-v,0)$ 是否正则，并求其切平面方向。

查看解答

$\mathbf X_u=(1,1,0)$、$\mathbf X_v=(1,-1,0)$，两者不成比例，叉积为 。因此处处正则，切空间是 平面，两个参数方向给出其中一组切向基。

练习 2（应用：level set）

求椭球面 $S:x^2+4y^2+z^2=9$ 在 $p=(1,1,2)$ 处的一个法向量和切平面方程。

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取 $F=x^2+4y^2+z^2-9$，则 $\mathrm{\nabla }F=(2x,$，在 处为 ，可化为法向量 。切平面为 ，即 。同时 ，所以该点是正则点。

练习 3（应用：图面）

对图面 $z=xy$，求点 $(1,2,2)$ 处的切平面。

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令 $f(x,y)=xy$，有 $f_x=y$、$f_y=x$。在 处二者分别为 ，所以切平面为 ，整理得 。

练习 4（迁移：参数奇点）

球面参数化在北极处对角度参数退化。这个事实是否说明北极不是正则曲面点？给出判断理由。

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不说明。该球面参数图在北极处把所有角度压到同一点，导致该坐标图的一个偏导为零；这是坐标图失效，不是曲面本身失去局部平面结构。用 $F=x^2+y^2+z^2-R^2$ 描述时，北极处梯度为 ，所以北极仍是 level set 的正则点。

练习 5（迁移：切向量判别）

设 $S:F(x,y,z)=0$，$\nabla F(p)\ne0$。如何判断一个向量 $\mathbf w$ 是否属于 ？这个判别为什么只需要一条方程？

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计算 $\nabla F(p)\cdot\mathbf w$。若结果为零，$\mathbf w$ 与 level set 的法向正交，因而属于切平面；若不为零，则含有法向分量，不能是曲面内曲线在 $p$ 处的速度。正则条件使切空间恰好是法向量的正交补，在三维中一个非零法向的正交补是二维平面，所以一个线性方程足以刻画它。

6

对 level set F(x,y,z)=0，在点 p 处最先应检查哪一条件？

A.F 的值必须等于 1B.梯度 ∇F(p) 必须非零C.参数域必须是整个 R²D.曲面必须能用一张全球参数图覆盖