第 9 章流形入口：图册、切向量与光滑映射

在球面上画经纬网时，赤道附近的坐标很顺手，到了北极却会出现一个问题：同一个点周围的经度线全都挤在一起。若把经度当作一个普通实数，走过一整圈以后， $0$ 和 $2\pi$ 又必须代表同一个方向。单张坐标图为什么总会在某处失效？当我们不再把曲面当成 $\mathbb R^3$ 里的“那一块东西”时，切向量又该怎样定义？

这一章把前面曲线和曲面中的局部计算换一种语言重写。图册负责把局部坐标拼起来，切向量被定义成作用在光滑函数上的导子，余切向量则记录线性测量；光滑映射的微分最终仍然是一张 Jacobian，只是它不再依赖某一张坐标图的选择。

9.1 一张坐标图只看得到一小块

设 $M$ 是一个集合。一个 $m$ 维坐标图是一个二元组 $(U,\varphi)$ ，其中 $U\subset M$ ，而

\varphi:U\longrightarrow \varphi(U)\subset\mathbb R^m

是双射，并且 $\varphi(U)$ 是 $\mathbb R^m$ 中的开集。 $U$ 是这张图看到的那一块， $\varphi(p)=(x^1(p),\ldots,x^m(p))$ 是点 $p$ 的局部坐标。

“坐标图”不是把 $M$ 永久塞进某个坐标系，而是暂时选一块区域，把它摊开成欧氏空间中的开集。开集这一条件很重要：在边界点附近，微分、方向和小范围扰动都要有足够的活动空间。

第 9 章教学图 1

图 9.1 局部坐标图只描述一块邻域；坐标平面中的开集让微分运算可以在点的两侧进行。

为了让这种局部描述真的像一个空间，通常还要求 $M$ 满足两个拓扑条件：任意两个不同点可以用不相交的邻域分开（Hausdorff 条件），并且存在可数的拓扑基（第二可数条件）。本章不展开拓扑证明，只把它们看成排除病态集合的背景条件。

如果两张坐标图 $(U,\varphi)$ 和 $(V,\psi)$ 有重叠，重叠部分的坐标转换是

\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V).

当这个映射及其逆映射都是光滑的时，两张图相容。覆盖 $M$ 的一族两两相容坐标图叫作一个光滑图册。于是， $m$ 维光滑流形可以粗略地理解为：一个满足上述拓扑条件、并且能被相容的 $\mathbb R^m$ 坐标图覆盖的空间。

这里的“光滑”是局部定义的。对映射 $f:M\to\mathbb R$ ，只要对每一张坐标图，函数

f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\longrightarrow\mathbb R

是通常意义下的 $C^\infty$ 函数，就称 $f$ 光滑。图册相容保证了换一张图以后不会得到矛盾的光滑性判断。

坐标图的坐标值不是点本身，也不是点的某种绝对标签。换图时坐标会按过渡映射改变；真正应该独立于坐标的，是光滑性、切向量、微分以及由度量得到的长度和角度。

9.2 圆需要多张图册

先看单位圆

S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}.

在删去北极 $N=(0,1)$ 后，从北极向 $x$ -轴作立体投影，得到

U_N=S^1\setminus\{N\},\qquad \varphi_N(x,y)=\frac{x}{1-y}.

在删去南极 $S=(0,-1)$ 后，类似地定义

U_S=S^1\setminus\{S\},\qquad \varphi_S(x,y)=\frac{x}{1+y}.

两张图合起来覆盖整个圆。它们的逆映射分别是

\varphi_N^{-1}(u)=\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{u^2-1}{1+u^2}\right),

以及

\varphi_S^{-1}(v)=\left(\frac{2v}{1+v^2},\frac{1-v^2}{1+v^2}\right).

在两张图的重叠部分， $u\ne0$ ，并且

v=\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=\frac1u.

这个过渡映射在 $u\ne0$ 的开集上光滑，逆映射也是自己。注意它并没有在 $u=0$ 处被要求光滑，因为 $u=0$ 对应北图删去的南极，而南图在那个点并不需要与北图同时工作。

第 9 章教学图 2

图 9.2 两张局部坐标图覆盖圆；坐标转换在重叠处是 $v=1/u$ ，而不是把两个坐标数值直接当成相等。

这个例子也说明了为什么不能简单地用一个角度坐标 $t\in[0,2\pi)$ 覆盖整个 $S^1$ 。端点 $0$ 和 $2\pi$ 必须粘在一起，区间本身又不是没有边界的开集；如果强行把它当作一个全局坐标，接缝就会被隐藏在定义里。图册把接缝变成了明确的过渡映射。

在实际计算中，常把图册理解为一种“坐标接口”：每张图内部用多变量微积分，接口负责检查不同局部计算能否拼接。

两张坐标图在重叠区域上需要检查的核心对象是什么？

9.3 球面的两张立体投影图

单位球面

S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2=1\}

可以用两张二维坐标图覆盖。删去北极 $N=(0,0,1)$ ，定义

\varphi_N(x,y,z)=\left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right)=(u,v).

它的逆映射为

\varphi_N^{-1}(u,v)= \left(\frac{2u}{1+u^2+v^2},\frac{2v}{1+u^2+v^2}, \frac{u^2+v^2-1}{1+u^2+v^2}\right).

删去南极 $S=(0,0,-1)$ ，定义

\varphi_S(x,y,z)=\left(\frac{x}{1+z},\frac{y}{1+z}\right)=(a,b),

其逆映射为

\varphi_S^{-1}(a,b)= \left(\frac{2a}{1+a^2+b^2},\frac{2b}{1+a^2+b^2}, \frac{1-a^2-b^2}{1+a^2+b^2}\right).

在两图的重叠部分，令 $r^2=u^2+v^2$ 。直接代入球面上的 $x,y,z$ ，得到

\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\frac1{u^2+v^2}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.

也就是说，过渡映射先把半径 $r$ 变成 $1/r$ ，再保留方向。它在 $(u,v)\ne(0,0)$ 的开集上光滑，且再次应用仍回到原坐标。

第 9 章教学图 3

图 9.3 球面的南图和北图分别漏掉一个极点；在重叠处，坐标过渡是二维反演。

经纬坐标也能覆盖球面的大部分区域，但在极点处，纬线方向退化，因而不能当作一个覆盖全局的正则二维坐标。立体投影图的价值不在于“画得更好看”，而在于它把每个局部坐标域都选成真正的二维开集，并且让过渡函数可以直接微分。

在后面的计算里，我们经常只在一张图上工作。只要最终表达满足过渡映射下的变换律，就不必把所有公式同时写成三维坐标和二维坐标两套版本。

第 9 章教学图 4

图 9.4 球面过渡映射 $q(p)=p/\lVert p\rVert^2$ 对径向与切向微小变化的伸缩方向不同。

在这个交互中，可以先预测：把北图坐标点沿一条射线向外移动时，南图坐标会向原点靠近还是远离？拖动半径后观察 $r\mapsto1/r$ 的变化，再回到上面的过渡公式检查。特别留意 $r=1$ 的单位圆，它在两套坐标中的半径都不变，但这不意味着其他点的坐标也不变。

9.4 切向量是作用在函数上的导子

在 $\mathbb R^m$ 中，我们把点 $p$ 处的向量 $v$ 作用在函数 $f$ 上，写成方向导数 $D_vf(p)$ 。这个操作只需要知道函数在 $p$ 附近如何变化，并不需要先把向量画成某个箭头。因此，在抽象流形上可以直接把“切向量”定义为一种对函数的作用。

设 $p\in M$ 。点 $p$ 处的切向量是一个线性映射

X:C^\infty_p(M)\longrightarrow\mathbb R

满足 Leibniz 规则

X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g).

这里 $C^\infty_p(M)$ 表示在 $p$ 的某个邻域内光滑的函数；只要两个函数在 $p$ 附近相同，它们对切向量的作用就相同。所有这样的导子组成向量空间，记作 $T_pM$ ，称为 $p$ 处的切空间。

为什么这个定义仍然有 $m$ 个自由方向？取一张坐标图 $(U,\varphi)$ ，记坐标函数为 $x^1,\ldots,x^m$ 。定义

\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p(f) =\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i}\bigg|_{\varphi(p)}.

任意 $X\in T_pM$ 都可以写成

X=\sum_{i=1}^m X(x^i)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p.

关键是确认这不是一个凭经验写下的公式。令 $F=f\circ\varphi^{-1}$ ，在坐标点 $q=\varphi(p)$ 附近，把 $F$ 写成一阶部分加余项：

F(x)=F(q)+\sum_i\frac{\partial F}{\partial x^i}(q)(x^i-q^i)+R(x),

其中 $R$ 在 $q$ 处没有一阶变化。把这个等式看成 $M$ 上的局部函数并让 $X$ 作用，常数项被导子杀掉，余项的一阶部分为零，于是

X(f)=\sum_i X(x^i)\frac{\partial F}{\partial x^i}(q).

这正是上面的坐标基展开。这里使用了 $F$ 在 $q$ 处可微；所以实分析中的一阶展开和多变量微积分的链式法则是这一定义能够工作的基础。

换一张坐标 $y^1,\ldots,y^m$ 时，链式法则给出

\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p =\sum_{a=1}^m\frac{\partial y^a}{\partial x^i}(p) \left.\frac{\partial}{\partial y^a}\right|_p.

切向量的分量按 Jacobian 变换，而不是保持不变。这个事实正是“坐标向量”和“几何方向”之间的区别。

第 9 章教学图 5

图 9.5 同一个切向量可以用不同坐标基表示；系数变化由过渡映射的 Jacobian 决定。

完整例题：在球面两张坐标图中变换同一个切向量

取球面上的点 $p=(1,0,0)$ 。在北图和南图中，它的坐标分别都是 $(u,v)=(1,0)$ 与 $(a,b)=(1,0)$ 。设

X=2\left.\frac{\partial}{\partial u}\right|_p +3\left.\frac{\partial}{\partial v}\right|_p.

求 $X$ 在南图坐标基下的表达，并用球面嵌入 $\mathbb R^3$ 做一次检查。

这里选择“先变换坐标基、再用嵌入检查”的方法，是因为题目问的是同一个抽象切向量的两套分量；直接从三维箭头猜分量，反而容易把坐标基的伸缩漏掉。

北图到南图的过渡映射是 $a=u/(u^2+v^2)$ 、 $b=v/(u^2+v^2)$ 。在 $(1,0)$ 处，它的 Jacobian 为 $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ，因为 $\partial a/\partial u=-1$ 、 $\partial a/\partial v=0$ 、 $\partial b/\partial u=0$ 、 $\partial b/\partial v=1$ 。

用切向量基的变换律，得到 $\partial_u|_p=-\partial_a|_p$ ，而 $\partial_v|_p=\partial_b|_p$ 。因此

X=-2\left.\frac{\partial}{\partial a}\right|_p+3\left.\frac{\partial}{\partial b}\right|_p.

检查几何方向。北图逆映射在 $(1,0)$ 的两个偏导分别是 $\partial_u=(0,0,1)$ 、 $\partial_v=(0,1,0)$ ，所以 $X$ 对应的三维向量是 $(0,3,2)$ 。南图逆映射给出 $\partial_a=(0,0,-1)$ 、 $\partial_b=(0,1,0)$ ，代入 $-2\partial_a+3\partial_b$ 仍为 $(0,3,2)$ 。两套坐标表达确实描述同一个方向。

9.5 余切空间：把切向量变成可测量的线性量

切空间 $T_pM$ 的对偶空间叫余切空间，记作

T_p^*M=\operatorname{Hom}(T_pM,\mathbb R).

余切向量不是另一种箭头，而是把每个切向量送到一个实数的线性函数。若 $x^1,\ldots,x^m$ 是局部坐标，则在 $p$ 处定义

dx^i_p(X)=X(x^i).

它们满足

dx^i_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_p\right)=\delta^i_j,

所以 $dx^1_p,\ldots,dx^m_p$ 是切空间坐标基的对偶基。任意余切向量 $\alpha$ 都能写成

\alpha=\sum_i\alpha\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p\right)dx^i_p.

对光滑函数 $f:M\to\mathbb R$ ，其在 $p$ 处的微分是余切向量

df_p(X)=X(f).

如果 $f\circ\varphi^{-1}=F(x^1,\ldots,x^m)$ ，则

df_p=\sum_i\frac{\partial F}{\partial x^i}(\varphi(p))dx^i_p.

这条公式不是把 $df$ 当成一个形式上的符号；它说明 $df_p$ 确实能作用在每个切向量上，并返回该函数沿该方向的瞬时变化率。

第 9 章教学图 6

图 9.6 $dx^i$ 读取切向量在第 $i$ 个坐标方向上的分量，二者通过 $dx^i(\partial_j)=\delta^i_j$ 配对。

继续使用上一个点 $p=(1,0,0)$ ，令 $z:S^2\to\mathbb R$ 是高度函数。北图中

z(u,v)=\frac{u^2+v^2-1}{1+u^2+v^2},

所以在 $(1,0)$ 处 $dz_p=du_p$ 。南图中

z(a,b)=\frac{1-a^2-b^2}{1+a^2+b^2},

故 $dz_p=-da_p$ 。这两个表达不同，却给出同一个余切向量；对上面的 $X$ 计算， $dz_p(X)=2$ 在两张图中都成立。

可以把一个切向量的坐标分量输入交互，再切换北图和南图，先预测分量会怎样变。观察重点不是箭头的长度是否保持，而是用 Jacobian 变换后的分量作用在 $df$ 上，得到的数值必须保持一致；这正是向量与余向量变换方向不同的原因。

9.6 光滑映射的微分

设 $F:M\to N$ 是两个光滑流形之间的映射。它光滑的意思是：任取 $p\in M$ ，取 $p$ 附近的图 $(U,\varphi)$ 和 $F(p)$ 附近的图 $(V,\psi)$ ，只要 $F(U)\subset V$ ，局部表达

\psi\circ F\circ\varphi^{-1}

就在欧氏空间之间光滑。若 $F$ 只在某个局部图对中落入目标图，换图后的表达由两边的光滑过渡映射复合而成，因此这一条件不依赖坐标选择。

在 $p$ 处， $F$ 的微分定义为线性映射

dF_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N,

其作用由“先复合 $F$ ，再求导”给出：对 $X\in T_pM$ 和光滑函数 $h$ （定义在 $F(p)$ 附近），

(dF_pX)(h)=X(h\circ F).

这个定义立刻解释了链式法则。若 $G:N\to P$ 也光滑，则

d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p.

在坐标基下， $dF_p$ 的矩阵就是局部表达的 Jacobian。于是熟悉的满秩分类仍然存在：若 $dF_p$ 单射，称 $F$ 在 $p$ 处是浸入；若满射，称为淹没；若既是同维且可逆，局部逆函数定理就能提供新的坐标关系。

例题：高度函数如何读取球面上的方向

仍取 $p=(1,0,0)$ ，设 $F:S^2\to\mathbb R$ 为 $F(x,y,z)=z$ ，并令

X=2\partial_u|_p+3\partial_v|_p.

在北图中 $F(u,v)=(u^2+v^2-1)/(1+u^2+v^2)$ ，因此 $dF_p=du_p$ ，从而

dF_p(X)=2.

这与三维检查一致：方向 $(0,3,2)$ 的 $z$ 分量为 $2$ 。这里不能把 $X$ 的“长度”当成 $2$ ； $2$ 是高度函数沿该方向的一阶变化率，属于余切向量作用后的结果。

第 9 章教学图 7

第 9 章教学图 8

从现在起，坐标图只是一种计算窗口。切向量是导子，余切向量是对导子的线性测量，映射的微分是导子之间的线性传递。这样的定义在曲面嵌入三维空间时与熟悉的向量计算相容，但不依赖嵌入本身。

9.7 练习：从坐标接口走向坐标无关

练习 1（理解）

说明为什么圆的单个角度坐标不能作为覆盖整个 $S^1$ 的坐标图，并指出南北立体投影图的过渡映射。

练习 2（应用）

在 $S^2$ 的北图中，求点 $p=(1,0,0)$ 的坐标，并计算 $z|_{S^2}$ 在 $p$ 处的微分对 $\partial_u|_p$ 和 $\partial_v|_p$ 的作用。

练习 3（应用）

在球面的重叠坐标中，求过渡映射 $q(u,v)=(u,v)/(u^2+v^2)$ 在点 $(0,2)$ 处的 Jacobian，并写出北图中 $\partial_u$ 变成南图基的结果。

写 $a=u/r^2,b=v/r^2$ ，其中 $r^2=u^2+v^2$ 。在 $(0,2)$ 处， $J_q=\begin{pmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{pmatrix}$ 。因此 $\partial_u=(1/4)\partial_a$ ，而 $\partial_v=-(1/4)\partial_b$ 。这里的系数不是单位向量长度，而是坐标基按过渡映射导数后的分量。

练习 4（迁移）

设 $M\subset\mathbb R^3$ 是球面的开片， $f(x,y,z)=x+2y-z$ 。在 $p=(1,0,0)$ 处，给出 $df_p$ 作用于切向量 $X=(0,3,2)$ 的结果，并说明这种写法与导子定义如何对应。

练习 5（理解）

判断：若两个余切向量在一张坐标图中的分量相同，那么它们在另一张坐标图中的分量也必然相同。说明理由。

练习 6（迁移）

设 $F:S^1\to\mathbb R^2$ 是标准嵌入 $F(x,y)=(x,y)$ 。解释 $dF_p$ 对切向量的作用，并说明它为什么是单射。

对 $X\in T_pS^1$ ， $dF_p(X)$ 是把导子作用到目标坐标函数 $h_1(x,y)=x,h_2(x,y)=y$ 后得到的环境平面向量；等价地，它就是圆在 $p$ 处切线方向的三维表示。若 $dF_p(X)=0$ ，则 $X(x)=X(y)=0$ ，而圆上的局部光滑函数由 $x,y$ 的限制生成一阶信息，所以 $X=0$ 。因此 $dF_p$ 单射，标准嵌入是浸入。