第 6 章曲面上的曲线：测地线与协变变化

在地球仪上，从北京到巴黎画一条“尽量短”的路线，为什么它通常不是地图上的水平直线？把曲线当作空间曲线，它的加速度有一部分指向球心；把曲线当作球面上的路径，又要区分它是在曲面内拐弯，还是因为球面本身弯曲才产生了这部分加速度。

这一章把这两个角度分开。法曲率描述曲面在所选方向上的外在弯曲，测地曲率描述曲线相对于曲面内部的转弯。协变导数只保留切向变化，Christoffel 符号则把这种切向变化写成坐标方程。测地线就是测地曲率为零的曲面曲线；在球面上，它们正是大圆的弧段。

曲面上的曲线与加速度分解

设 $r(u,v)$ 是 $C^2$ 正则参数化，曲面上的 $C^2$ 曲线写成

\alpha(t)=r(u(t),v(t)).

只要 $\alpha'(t)\neq0$ ，可以用弧长 $s$ 作为局部参数。速度为

\frac{d\alpha}{dt}=r_u\dot u+r_v\dot v,\qquad \frac{ds}{dt}=|\alpha'(t)|.

单位切向量定义为

T=\frac{d\alpha}{ds}=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}.

沿曲线选定单位法向 $N$ ，再定义切平面内与 $T$ 正交的单位向量

J(T)=N\times T.

这里的 $J(T)$ 依赖曲面的定向；换成 $-N$ 时， $J(T)$ 也换成相反方向。

因为 $\langle T,T\rangle=1$ ，对弧长求导可得

0=\frac{d}{ds}\langle T,T\rangle =2\left\langle\frac{dT}{ds},T\right\rangle.

所以 $dT/ds$ 垂直于 $T$ 。在三维空间中，垂直于 $T$ 的平面由 $J(T)$ 与 $N$ 张成，于是存在唯一的两个数 $k_g,k_n$ ，使得

\frac{dT}{ds}=k_gJ(T)+k_nN.

定义

$k_g$ 为测地曲率，它是加速度在曲面切平面内的分量；
$k_n$ 为法曲率，它是加速度沿曲面法向的分量。

第 6 章教学图 1

图示说明：曲面上的曲线有单位切向 $T$ ，切平面内的转弯方向 $J(T)$ ，以及曲面法向 $N$ 。

若使用任意参数 $t$ ，不必先求出弧长函数。因为

\frac{dT}{ds} =\frac1{|\alpha'|}\frac{dT}{dt},

而 $N$ 与 $\alpha'$ 垂直，所以

k_n=\left\langle\frac{dT}{ds},N\right\rangle =\frac{\langle\alpha''(t),N\rangle}{|\alpha'(t)|^2}.

对 $k_g$ 同样处理：

k_g=\left\langle\frac{dT}{ds},J(T)\right\rangle =\frac{\langle\alpha''(t),J(T)\rangle}{|\alpha'(t)|^2}.

这里的分母不能漏掉。直接用 $\langle\alpha'',N\rangle$ 只在曲线已经用单位速度参数化时才等于法曲率。

第 6 章教学图 2

图示说明：空间曲线的加速度分解为切平面内的测地分量和法向的曲面弯曲分量。

协变导数：只看切向变化

设 $X(t)$ 是沿 $\alpha(t)$ 的切向量场。它可以写成

X(t)=X^1(t)r_u+X^2(t)r_v.

把它当作 $\mathbb R^3$ 中的向量场求普通导数，得到

\frac{dX}{dt}=\frac{dX^i}{dt}r_i+X^i\frac{dr_i}{dt},

其中采用重复指标求和约定， $r_1=r_u,r_2=r_v$ 。这个导数可能包含法向分量；曲面内部的观察者无法把法向分量当作沿曲面的变化。于是定义协变导数

\nabla_{\dot\alpha}X=\left(\frac{dX}{dt}\right)^{\top},

即普通导数在切平面上的正交投影。

若 $\alpha$ 用弧长参数化， $X=T$ ，则

\nabla_TT=k_gJ(T).

因为 $dT/ds=k_gJ(T)+k_nN$ ，投影去掉的恰好是 $k_nN$ 。所以

\nabla_TT=0\quad\Longleftrightarrow\quad k_g=0.

这给出了测地线的几何定义：曲线沿自身前进时，不在曲面的切平面内转弯。

第 6 章教学图 3

图示说明：普通导数先在空间中计算，再投影回曲面切平面，剩下的就是协变导数。

Christoffel 符号的来源

为了把协变导数写成坐标公式，设 $q^1=u,q^2=v$ ，并记

g_{ij}=\langle r_i,r_j\rangle,\qquad (g_{ij})=\begin{pmatrix}E&F\\\\F&G\end{pmatrix}.

由于 $r_{ij}$ 是空间向量，它可以唯一分解为切向部分和法向部分：

r_{ij}=\Gamma^k_{ij}r_k+b_{ij}N,

其中

b_{11}=e,\qquad b_{12}=b_{21}=f,\qquad b_{22}=g.

系数 $\Gamma^k_{ij}$ 称为 Christoffel 符号。它们不是张量的分量，而是坐标基底 $r_i$ 随位置变化时出现的连接系数。

对度量系数求导：

\partial_i g_{j\ell} =\partial_i\langle r_j,r_\ell\rangle =\langle r_{ij},r_\ell\rangle+\langle r_j,r_{i\ell}\rangle.

写出另外两式：

\partial_j g_{i\ell} =\langle r_{ji},r_\ell\rangle+\langle r_i,r_{j\ell}\rangle,

\partial_\ell g_{ij} =\langle r_{\ell i},r_j\rangle+\langle r_i,r_{\ell j}\rangle.

$C^2$ 条件给出混合偏导相等： $r_{ij}=r_{ji}$ 、 $r_{i\ell}=r_{\ell i}$ 、 $r_{j\ell}=r_{\ell j}$ 。把前两式相加再减去第三式，交叉项两两抵消，剩下

\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij} =2\langle r_{ij},r_\ell\rangle.

将分解式代入右端。因为 $N\perp r_\ell$ ，

\langle r_{ij},r_\ell\rangle=\Gamma^k_{ij}\langle r_k,r_\ell\rangle=\Gamma^k_{ij}g_{k\ell}.

所以

2\Gamma^k_{ij}g_{k\ell} =\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}.

第一基本形式正定，矩阵 $(g_{ij})$ 有逆矩阵 $(g^{ij})$ 。两边乘以 $g^{m\ell}$ ，利用 $g_{k\ell}g^{m\ell}=\delta^m_k$ ，得到

\boxed{\Gamma^m_{ij}=\frac12g^{m\ell} \left(\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}\right).}

这个推导同时说明了三个事实： $\Gamma^m_{ij}=\Gamma^m_{ji}$ 来自混合偏导相等；它们只由第一基本形式及其一阶导数决定；正定性保证求逆这一步合法。

第 6 章教学图 4

图示说明：坐标基向量 $r_u,r_v$ 沿曲面移动时会发生切向和法向变化，Christoffel 符号记录其中的切向部分。

协变导数的坐标表达

沿 $\alpha(t)$ 的切向量场写成 $X=X^jr_j$ 。由上面的分解式，普通导数的切向部分为

\left(\frac{dX}{dt}\right)^{\top} =\left(\frac{dX^k}{dt}+\Gamma^k_{ij}\dot q^iX^j\right)r_k.

因此

\boxed{(\nabla_{\dot\alpha}X)^k=\frac{dX^k}{dt}+\Gamma^k_{ij}\dot q^iX^j.}

如果 $X=\dot\alpha=\dot q^jr_j$ ，则

(\nabla_{\dot\alpha}\dot\alpha)^k =\ddot q^k+\Gamma^k_{ij}\dot q^i\dot q^j.

这就是测地线方程的左侧。注意这里的 $q^i$ 是曲面坐标，不是空间中的笛卡尔坐标。

测地线方程与参数条件

若参数 $t$ 是仿射参数，例如弧长参数或常速参数，测地线满足

\boxed{\ddot q^k+\Gamma^k_{ij}\dot q^i\dot q^j=0,\qquad k=1,2.}

为什么需要“仿射参数”这个条件？同一条几何曲线换成任意非线性参数后，速度会变化，普通的二阶方程会多出沿切向量的项。几何上，测地线的正确条件是

\nabla_TT=0

或 $k_g=0$ ；若使用任意参数，应允许

\nabla_{\dot\alpha}\dot\alpha=\lambda(t)\dot\alpha

其中 $\lambda$ 只反映参数速度的改变。选择仿射参数可以令 $\lambda=0$ ，于是得到上面的标准方程。

由 $\nabla_TT=0$ 和加速度分解还可见，测地线的空间加速度只有法向分量：

\frac{dT}{ds}=k_nN.

它通常不是 $\mathbb R^3$ 中的直线。平面上的测地线碰巧是直线，是因为平面的法向不随位置改变；在球面上，大圆弧是测地线，但它在空间中是圆而不是直线。

第 6 章教学图 5

图示说明：测地线方程抵消坐标基底变化造成的假加速度，使协变加速度为零。

完整例题：球面上的纬线与大圆

考虑单位球面 $\mathbb S^2$ 的参数化

r(\theta,\varphi)=(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi),

其中 $0<\varphi<\pi$ 。求固定余纬度 $\varphi=\varphi_0$ 的纬线的法曲率与测地曲率，并判断它什么时候是测地线。

方法选择

题目要求区分法曲率和测地曲率，直接把纬线写成空间曲线并使用加速度分解最清楚。若只解 Christoffel 方程，可以判断测地性，却不容易看见曲线的空间加速度怎样分成两个方向。算出曲率后，再用坐标方程验证大圆是同一个结论。

固定 $0<\varphi_0<\pi$ ，记 $s_0=\sin\varphi_0$ 、 $c_0=\cos\varphi_0$ ，纬线为

\alpha(t)=(s_0\cos t,s_0\sin t,c_0).

求速度与加速度：

\alpha'(t)=(-s_0\sin t,s_0\cos t,0),\qquad |\alpha'(t)|=s_0,

\alpha''(t)=(-s_0\cos t,-s_0\sin t,0).

因为 $0<\varphi_0<\pi$ ， $s_0>0$ ，所以这条纬线是正则曲线。

曲面取外向法向时，单位球面上的法向就是位置向量： $N=\alpha(t)$ 。因此

\langle\alpha'',N\rangle =(-s_0\cos t)(s_0\cos t)+(-s_0\sin t)(s_0\sin t) =-s_0^2.

用任意参数的法曲率公式并除以 $|\alpha'|^2=s_0^2$ ，得到

k_n=-1.

球面上所有方向的法曲率都是 $-1$ ，与它的半径为 1 相符；法向反向时数值变为 $1$ 。

单位切向量为

T=\frac{\alpha'}{|\alpha'|}=(-\sin t,\cos t,0).

由 $J(T)=N\times T$ ，直接计算得

J(T)=(-c_0\cos t,-c_0\sin t,s_0).

与加速度取内积：

\langle\alpha'',J(T)\rangle=s_0c_0(\cos^2t+\sin^2t)=s_0c_0.

所以

k_g=\frac{s_0c_0}{s_0^2}=\cot\varphi_0.

测地曲率的符号取决于定向和行进方向；它的绝对值为 $|\cot\varphi_0|$ 。

纬线是测地线当且仅当 $k_g=0$ 。在 $0<\varphi_0<\pi$ 内， $\cot\varphi_0=0$ 当且仅当 $\varphi_0=\pi/2$ ，也就是赤道。赤道所在的平面经过球心，所以它是大圆；其他纬线所在的平面不经过球心，虽然也是空间圆，却不是测地线。

用 Christoffel 方程复核赤道

球面的第一基本形式来自上一章：

g_{\theta\theta}=\sin^2\varphi,\qquad g_{\theta\varphi}=0,\qquad g_{\varphi\varphi}=1.

由 Christoffel 公式可以算出与本题相关的非零系数

\Gamma^\theta_{\theta\varphi}=\Gamma^\theta_{\varphi\theta}=\cot\varphi,\qquad \Gamma^\varphi_{\theta\theta}=-\sin\varphi\cos\varphi.

赤道取 $\theta=t,\varphi=\pi/2$ ，于是 $\dot\theta=1,\dot\varphi=0$ 。

$\theta$ 方程为 $\ddot\theta+2\cot\varphi\,\dot\theta\dot\varphi=0$ ，代入后是 $0+0=0$ 。
$\varphi$ 方程为 $\ddot\varphi-\sin\varphi\cos\varphi\,(\dot\theta)^2=0$ ，代入后是 $0-1\cdot0\cdot1=0$ 。

两条方程都成立，和 $k_g=0$ 的几何判断一致。这次复核还说明：赤道的测地性不是因为它在空间中“看起来最平”，而是因为球面度量下的协变加速度为零。

第 6 章教学图 6

图示说明：球面上一条大圆由过球心的平面截出；其切向加速度指向球面法向，因此没有切平面内的转弯。

第 6 章教学图 7

图示说明：赤道是大圆并且 $k_g=0$ ，一般纬线是小圆且 $|k_g|=|\cot\varphi_0|>0$ 。

交互可以让曲线在球面上从赤道移动到不同纬度，并实时分解加速度。操作前先预测：球面半径固定时 $k_n$ 是否改变，以及哪一个量会在赤道处变成零；观察时分别核对法向分量和切平面分量，而不是只看总加速度大小。

交互可以从球面上一点改变初始切向方向，观察由测地线方程产生的轨迹。尝试让初始方向指向经线方向、赤道方向和一般斜方向，预测哪些轨迹会闭合为大圆，并用“轨迹所在平面是否经过球心”检查结果。

练习

练习 1：测地曲率的含义

下列哪一项等价于一条正则曲面曲线是测地线？

哪一项等价于曲线是测地线？

练习 2：分解一条单位速曲线的加速度

某曲面曲线已经用弧长参数化，在某点满足 $k_g=3,k_n=4$ 。求该点的 $|dT/ds|$ ，并说明 $dT/ds$ 是否一定沿曲面法向。

练习 3：Christoffel 符号的读取

在某坐标点，度量矩阵为 $g_{ij}=\operatorname{diag}(4,9)$ ，且该点附近所有 $g_{ij}$ 都是常数。求该点的 Christoffel 符号，并写出测地线方程。

答案：因为所有 $\partial_i g_{j\ell}=0$ ，Christoffel 公式给出所有 $\Gamma^m_{ij}=0$ 。因此测地线方程为

\ddot q^1=0,\qquad \ddot q^2=0.

解为 $q^1(t)=a_1t+b_1,q^2(t)=a_2t+b_2$ ，说明局部常系数正交度量下，仿射坐标中的测地线是直线。这里说的是坐标图中的直线，不是任意嵌入曲面的空间直线。

练习 4：球面上的小圆

单位球面上固定余纬度 $\varphi_0=\pi/4$ 的纬线，求其法曲率和测地曲率的绝对值，并判断它是否是测地线。

练习 5：迁移到任意参数

一条曲面曲线用参数 $t$ 表示，速度为 $|\alpha'(t)|=2$ ，且 $\langle\alpha''(t),N\rangle=-8$ 。求法曲率，并说明若误把 $-8$ 当作法曲率会错在哪里。

第 6 章教学图 8

“测地线是曲面上的直线”只能作为直觉，不能当定义。可靠的判定是 $k_g=0$ ，或在仿射参数下检查 $\ddot q^k+\Gamma^k_{ij}\dot q^i\dot q^j=0$ 。球面大圆在空间中有圆形加速度，却仍然是球面上的测地线；普通纬线则相反，空间上也是圆，但在球面内部有非零的测地转弯。