第2章 安培环路定理、洛伦兹力与安培力

上一章从电流元出发，用毕奥—萨伐尔定律把各小段电流产生的磁场一份份叠加起来。这个办法很普遍，可一遇到无限长导线、长螺线管之类的系统，积分就会显得有些“杀鸡用牛刀”：我们明明看得出磁场具有高度对称性，还要不要老老实实从每个电流元算起？

再看另一个看似不相干的问题。电子射入磁场后会转弯，通电导线放进磁场也会受力。前者谈单个电荷，后者谈一整段电流，它们究竟是两条独立规律，还是同一件事在微观与宏观层面的两种说法？

本章就沿着这两个疑问展开：先用安培环路定理把高对称磁场“整圈结算”，再从洛伦兹力追踪单个带电粒子，最后把许多载流子的磁力汇总成安培力和载流线圈的磁力矩。

绕一圈为什么比逐段相加更快

想象一根无限长直导线垂直穿过桌面，电流向上。以导线为中心画许多同心圆，磁感线正好沿这些圆的切线方向。半径相同的位置没有谁比谁特殊，所以同一圆周上的磁感应强度大小相等。此时沿圆走一圈，$\boldsymbol B$ 与每一小段有向线元 $\mathrm d\boldsymbol l$ 都平行，积分立刻化成“场强乘周长”。

读图时先把两种方向分开：拇指所指的是电流方向，弯曲四指给出磁场环绕方向；沿闭合路径行进的方向则是我们为积分选定的正方向。路径方向一旦选定，穿过它所围曲面的电流正负也随之确定，不能在算到一半时随意翻转。

对真空中的稳恒电流，安培环路定理写成

其中 $C$ 是任意闭合路径，$I_{\mathrm{enc}}$ 是穿过以 $C$ 为边界的任一曲面的电流代数和。按照右手关系，右手四指沿 $C$ 的正向弯曲，拇指穿出曲面的方向就是电流取正的方向；反向穿过的电流取负。

这里有三个容易混在一起的词：经过路径附近、穿过路径围成的面、被路径圈住。右边只统计穿过所选曲面的稳恒电流。某根导线即使离路径很近，只要没有穿过曲面，就不计入 $I_{\mathrm{enc}}$；但它产生的磁场仍可能出现在左边的总场 $\boldsymbol B$ 中。外部电流的贡献不是“没有磁场”，而是在整圈积分中正负相消。

这和静电场的高斯定理有一点相似：定理本身对任意合适的闭合路径都成立，可它并不保证你能从一个积分值恢复路径上每一点的磁场。要把 $B$ 从积分号中提出，还需要场源具有足够对称性，使路径上 $B$ 的大小和它与 $\mathrm d\boldsymbol l$ 的夹角容易确定。

现在先做一个判断：一根有限长直导线旁画一个圆，能否因为“圆看起来很对称”就写 $B(2\pi r)=\mu_0 I$？

答案是否定的。关键是有限直线段不能单独构成稳恒电流回路，还必须有回流路径。有限直线段自身的磁场贡献，在与它共轴的同一圆周上确实大小相等且沿切向；但不能把这一部分场的环量单独等同于 $\mu_0 I$。稳恒形式的安培环路定理约束的是完整电流回路产生的总场，回流段的场也必须计入，而总场通常不再具有直接求解所需的对称性。只保留直线段的毕奥—萨伐尔贡献，却套用完整回路的环路定理，才是这里的偷换。

环量还不能和磁通量混为一谈。磁通量计算磁场穿过一个面的法向份额，写成 $\int\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol S$；环量计算磁场沿闭合曲线的切向份额，写成 $\oint\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol l$。一个使用面积元，一个使用线元，几何对象和单位都不同。无限长直电流的磁场恰好沿圆周切向，因此环量能直接“看见”电流的旋绕效应；若误把 $\mathrm d\boldsymbol l$ 当成面元，整个物理意义都会颠倒。

同一条边界可以配上许多形状不同的曲面，为什么穿过电流没有歧义？把其中一张曲面翻转后与另一张拼成闭合面。稳恒电流意味着电荷不在某处持续堆积，穿入这个闭合面的总电流等于穿出总电流，因此两张曲面统计到的有向净电流相同。若电流随时间变化并伴随电荷积累，单靠这里的稳恒形式就不够了；后续章节会用位移电流补全这条规律。

下面的交互把三种真正高对称的电流构型放在一起。先别动滑块，先预测哪一段路径上 $B$ 能作为常量提出，再改变半径和电流，看左、右两边是否始终相等。

你应当看到两层结论。第一层是定律层：无论怎样改变路径，只要正确计算积分和穿过电流，两边相等。第二层是方法层：只有场源对称性恰好让 $B$ 与路径几何配合时，环路定理才成为直接求 $B$ 的捷径。不要把“定理总成立”误说成“任意画圈都容易算”。

三类典型对称场：直导线、螺线管与环形螺线管

先回到无限长直导线。取半径为 $r$ 的同心圆为安培环路，圆周上 $B$ 大小相同并沿切向，于是

得到

这个结果和毕奥—萨伐尔定律一致，却更快暴露了 $B\propto I$、$B\propto 1/r$ 的结构。若把积分路径方向反转，左边整体变号，右边的 $I_{\mathrm{enc}}$ 也随右手约定变号，物理场本身并不会因此改变。

若导线不是理想细线，而是半径为 $R$、电流密度在截面内均匀的长圆柱导体，半径 $r<R$ 的环路只包围部分电流：

因此导体内部

而外部仍为

在轴线上 $B=0$，向外先线性增大，在表面达到最大，再按 $1/r$ 减小。你可能会凭直觉认为“越靠近电流越强”，但在粗导线内部，越靠近轴线，环路包围的电流也越少；这正是必须先算 $I_{\mathrm{enc}}$ 的原因。

长直螺线管则利用另一种对称性。设单位长度匝数为 $n$，每匝电流为 $I$。理想无限长螺线管内部磁场平行轴线且近似均匀，外部场近似为零。选一条长边在管内、另一条长边在管外的矩形环路，长度为 $l$，便有

所以

有限长螺线管在端部会出现边缘场，外部也不真正为零。上式是“足够长、考察点远离端部”的理想化结果，不能把一个短线圈也当成无限长螺线管。

环形螺线管可以看成把长螺线管首尾弯接。设总匝数为 $N$，在绕组内部取半径为 $r$ 的同心圆环路，每一匝都穿过环路所围曲面一次，于是

即

只适用于绕组所在的环形区域。理想紧密绕制时，中心空孔与绕组外侧的同心环路所包围的净电流为零，并结合对称性得到 $B\approx0$；真实线圈仍有漏磁场。

图中两类线圈都能把大部分磁场限制在一定区域，但它们的“均匀”含义不同：长直螺线管远离端部的内部场近似处处相同；环形螺线管内部的场方向沿圆周，大小还随 $r$ 按 $1/r$ 变化。把两者都背成“内部匀强、外部为零”，环形线圈一题就会露馅。

磁场如何推一个运动电荷

让一束带正电粒子向东运动，磁场竖直向上。粒子会向南偏还是向北偏？许多人会立刻摆出右手，却忘了右手先给出的是 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$，还要再乘电荷的正负号。

电荷量为 $q$、速度为 $\boldsymbol v$ 的粒子在电场和磁场中受到的总电磁力是

其中磁场部分

就是洛伦兹磁力。其大小为

$\theta$ 是 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol B$ 的夹角。正电荷受力沿 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$；负电荷方向相反。若粒子静止，或速度平行、反平行于磁场，磁力为零；速度垂直磁场时，磁力最大。

读这种方向图有一套稳妥顺序：先暂时把粒子当成正电荷，用右手判断 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$；最后查看 $q$ 的符号，若 $q<0$ 再把方向反过来。直接用“左手判电子、右手判正电荷”容易在速度或磁场反向时把规则搅成一团。

磁力有一个非常特别的性质：它始终垂直于瞬时速度，所以瞬时功率

因此单独的静磁场不能改变粒子的速率和动能，只能改变速度方向。注意，“不能改变速度”是错的，因为速度是矢量；圆周运动中速度方向时时变化。正确说法是磁力不做功，速率保持不变。

现在想一想：同一粒子在同一磁场中速度加倍，磁力加倍，轨道会不会因此弯得更厉害？先保留你的判断，我们马上用运动方程检查。

圆周不是唯一答案：把速度拆成两部分

若 $\boldsymbol v\perp\boldsymbol B$，洛伦兹力大小恒定且总指向圆心，充当向心力：

由此得到轨道半径

角频率和周期为

所以刚才的答案是：速度加倍，半径也加倍，轨迹反而更“平缓”；虽然磁力变大了，但维持相同半径所需的向心力随 $v^2$ 增长得更快。非相对论范围内，周期与速率和轨道半径无关，只由粒子的荷质比和磁场决定。

若入射速度既不平行也不垂直磁场，把它分解为

平行分量不受磁力，保持匀速；垂直分量产生匀速圆周运动。两者叠加得到以磁感线为轴的等距螺旋线，半径和螺距分别为

图里半径由 $v_{\perp}$ 决定，沿轴每转一圈走多远则由 $v_{\parallel}$ 决定。改变电荷符号只会反转绕行方向，不会改变半径、周期和螺距的大小。若你看到一条螺旋线半径逐圈缩小，那通常意味着还有能量损失、非均匀磁场或其他力，不能用这里的理想模型解释。

下面让参数真正动起来。先预测把 $B$ 加倍后半径、周期和螺距各怎样变化，再用数值读数验证。特别留意只反转电荷符号时，哪些量变、哪些量不变。

模拟给出的证据应与公式一致：$B$ 加倍，$r$、$T$ 和 $h$ 都减半；增大 $v_{\perp}$ 只放大半径，不改周期；增大 $v_{\parallel}$ 只拉长螺距。最常见的失分点是把总速率 不加分解地代入半径公式，或在分母保留带符号的 ，算出“负半径”。半径和周期是几何大小，必须用 ；旋向再由 的符号单独判断。

电场管快慢，磁场管弯曲：复合场中的粒子

磁场不做功，想让粒子加速或按速度筛选，就常常要加入电场。设粒子速度、匀强电场和匀强磁场两两垂直，并让电场力与磁场力方向相反。粒子直线通过的条件是

因此

这就是速度选择器的核心。速率偏大时磁力占优，偏小时电场力占优，只有特定速率的粒子不偏转。负电荷的两种力会同时反向，平衡条件仍然不变；但装置的几何方向必须保证两力相反，不能只看 $E/B$ 的数值就宣布“能选速”。

通过选速器的粒子若再进入另一片垂直于速度的纯磁场 $B_2$，轨道半径为

代入 $v=E/B_1$，可以得到

于是只要读出轨迹半径，就能区分荷质比不同的粒子。相同电荷量和速度下，质量越大，半径越大；相同质量下，电荷量绝对值越大，轨迹弯曲越明显。

图中的第一段不是让粒子“完全不受力”，而是电场力与磁场力恰好抵消；第二段撤去电场后，磁力才单独改变运动方向。两个区域的磁场可以不同，做题时不要把 $B_1$ 与 $B_2$ 无条件写成同一个量。

先在下面选择粒子电性并预测偏转方向，再让它通过分析区。试着仅改变质量，观察第一段是否受影响；然后固定质量、改变电荷量绝对值，看第二段半径如何变化。

第一段的通过速度与质量、电荷量绝对值都无关，因为两种力都含同一个 $|q|$；第二段半径却直接记录 $m/|q|$。这正是复合场装置的分工：先把“速度不同”这一干扰变量筛掉，再让半径只反映荷质比。

同样的周期关系还支撑回旋加速器的经典模型。带电粒子在两个半圆形电极内部受磁力转弯，每次穿越狭缝时由交变电场加速；非相对论条件下回旋周期不随速率改变，因此交变电压可以保持同步。速度升高后半径变大，粒子逐圈向外。若速率接近光速，相对论效应使周期改变，简单同步条件就不再适用。本章只要求理解这种分工，不展开加速器工程。

霍尔电压：一块样品告诉你谁在导电

一块长方形样品中沿长度方向通电，再加一个垂直样品表面的磁场，样品两侧会出现横向电势差。奇怪的是，金属和某些半导体在相同的常规电流与磁场方向下，横向电压的正负可能不同。磁场没有做功，为什么还能“制造电压”？

原因是载流子先被洛伦兹力横向推开，样品两侧逐渐积累异号电荷。电荷分离产生横向霍尔电场 $\boldsymbol E_H$，它越来越强，直到横向电场力与磁力平衡：

所以

这里 $\boldsymbol v_d$ 是载流子的漂移速度，不一定与常规电流同向。若只有一种载流子，电流密度满足

$n$ 是载流子数密度。设常规电流沿 $+x$、磁场沿 $+z$，样品沿 $y$ 的宽度为 $w$、沿 $z$ 的厚度为 $d$。取 $$、，并定义 ；此时 ，得到带符号的霍尔电压关系

具体哪一侧电势高，要连同电流、磁场、端子标号和 $q$ 的符号一起判断。公式中的正负不能脱离测量端子的定义。霍尔系数的符号能帮助判断主要载流子类型，大小在单一载流子近似下还能估算浓度。

看图时不要把电子漂移方向画成常规电流方向。电子带负电，$\boldsymbol v_d$ 与 $\boldsymbol J$ 反向；洛伦兹力还要再乘一个负号。连续做两次“反向”后，才得到实际偏转方向。最稳妥的做法始终是写 $q\boldsymbol v_d\times\boldsymbol B$，而不是凭图形记某侧永远为正。

现在让样品自己回答。先固定常规电流方向，分别选择正载流子和电子，预测同一测量端子的电压符号；再反转磁场或电流，看结果是否都随之反号。

实验的核心证据是：只反转 $I$ 或只反转 $B$，霍尔电压都反号；两者同时反转，电压符号恢复；载流子电性改变，$R_H$ 的符号改变。增大厚度会减小同电流下的霍尔电压，因为相同总电流被分摊到更大的横截面。实际材料可能存在多种载流子，此时 $R_H=1/(nq)$ 的简单模型未必成立；基础题若使用该式，通常会明确单一载流子近似。

从一个电荷到一段电流：安培力从哪里来

通电导线本身通常电中性，为什么放进磁场还会受力？因为电流由大量定向运动的载流子构成，载流子受到洛伦兹力后把动量传递给晶格，宏观上就表现为导线受到磁力。

可以把这个联系算出来。设导线横截面积为 $S$，单位体积内有 $n$ 个载流子，漂移速度为 $\boldsymbol v_d$。长度为 $\mathrm dl$ 的导线段中含有 $nS\,\mathrm dl$ 个载流子，它们受到的磁力总和为

又因为 $\boldsymbol J=nq\boldsymbol v_d$，把 $\mathrm d\boldsymbol l$ 的方向规定为常规电流方向，便有 $I\mathrm d\boldsymbol l=nq\boldsymbol v_dS\,\mathrm dl$，上式就化成 。即使载流子是电子也不会多出一个遗漏的负号：电子的 ，漂移方向又与常规电流反向，两者已经共同包含在 的定义里。

一小段有向电流元 $I\mathrm d\boldsymbol l$ 在外磁场中受到的安培力为

对处于匀强磁场中的直导线，若长度矢量 $\boldsymbol L$ 按常规电流方向取向，则

大小为

若导线弯曲或磁场不均匀，就必须沿导线积分：

对任意形状的闭合载流线圈置于匀强磁场，有

但合力为零不等于每段导线不受力，更不等于合力矩为零。下一节会看到，恰恰是大小相等、方向相反、作用线不同的两股力形成力偶，使线圈转动。

还要留意上式中的 $\boldsymbol B$ 是作用在导线上的外磁场。不能把导线自身产生的磁场直接代入，再说导线被自己整体推走。实际导线内部的电流元之间当然存在磁相互作用，它们属于系统内力并可能造成机械应力；讨论导线整体在给定磁场中的平动和转动时，应把外场与自场分清。

两根相距 $d$ 的无限长平行直导线载有电流 $I_1$、$I_2$。导线1在导线2处产生

导线2单位长度受到的力为

方向由 $I\boldsymbol L\times\boldsymbol B$ 决定：同向电流相互吸引，反向电流相互排斥。

不要把“同向相吸”当成孤立口诀。应先用导线1的电流判断它在导线2处的磁场，再用导线2的电流叉乘该磁场判断受力。交换两根导线重复一次，会得到等大反向的一对力，符合牛顿第三定律。

下面先预测吸引还是排斥，再反转一根导线的电流；随后改变间距，观察力是否按 $1/d$ 变化。

当一根电流反向时，受力方向翻转而大小不变；距离加倍，单位长度受力减半。历史上两平行电流间的力曾参与定义安培，但现行国际单位制从2019年起固定元电荷 $e$ 的数值来定义安培，$\mu_0$ 不再是人为固定的精确值。基础计算仍常使用 $\mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N\,A^{-2}}$。

线圈合力为零，为什么还会转

把矩形载流线圈放进匀强磁场，若线圈平面没有处在特殊方向，两条相对边上的安培力大小相等、方向相反，却不在同一直线上，于是形成力偶。描述线圈朝向最方便的量是磁矩：

其中 $N$ 是匝数，$A$ 是单匝面积，$\boldsymbol n$ 是按右手螺旋关系由电流方向确定的面积单位法向。磁矩单位为 $\mathrm{A\,m^2}$。

均匀磁场对线圈的磁力矩为

大小为

$\theta$ 是 $\boldsymbol\mu$ 与 $\boldsymbol B$ 的夹角。线圈的磁势能可以写成

当 $\theta=0$ 时，力矩为零且势能最低，是稳定平衡；当 $\theta=\pi$ 时，力矩同样为零却势能最高，是不稳定平衡。只看“力矩为零”不能判断稳定性，还要看稍微偏离后力矩把它推回还是推远，或比较势能的极小与极大。

图中的面积法向不是随手画的，它由电流方向用右手确定；反转电流，$\boldsymbol\mu$ 也反向，线圈受到的力矩随之反向。匀强场中线圈合力为零但可以有力矩；在非均匀场中，各段力的大小不再完全抵消，还可能出现把磁偶极子拉向强场或弱场区域的净力。

在下面把夹角从 $0$ 转到 $\pi$。先查看力矩读数，找出零力矩的角度；再结合势能图，判断哪些零点稳定。最后反转电流，观察磁矩、力矩和稳定方向怎样一起翻转。

你会发现最大力矩出现在 $\theta=90^\circ$，而不是势能最高或最低的位置；平行与反平行时力矩都为零，稳定性却相反。这是期末题最爱设置的概念陷阱之一。另一个陷阱是把线圈平面与磁场的夹角直接代入 $\sin\theta$，而公式中的 $\theta$ 是面积法向（磁矩）与磁场的夹角。

把本章方法串成一条判断链

本章看似有许多右手规则，其实可以压缩成几条稳定的思考顺序。

遇到“电流产生磁场”，先问场源是否具有球、柱、平移或旋转对称；本章的安培环路定理在稳恒条件下成立，但只有对称性足够时才便于求局部 $B$。选好环路后，再用右手关系统一路径正向与穿过电流的符号。

遇到“电荷在场中运动”，先写完整的

再分别处理电场力与磁场力。方向问题先按正电荷判断叉积，再处理 $q$ 的符号；轨道大小用 $|q|$，旋向用 $q$。只要磁力单独作用，就立刻想到它不做功、速率不变。

遇到“导线或线圈受力”，把安培力看成载流子洛伦兹力的宏观合成。直导线用 $I\boldsymbol L\times\boldsymbol B$，弯导线回到积分；闭合线圈在匀强场中合力为零，但要继续检查力矩 $\boldsymbol\mu\times\boldsymbol B$。

这条链也为下一章埋下了一个问题：如果空间不是真空，而是放入顺磁、抗磁或铁磁材料，磁场为什么会改变？到那时，仅统计自由电流还不够，我们要引入磁化强度和磁场强度，把物质内部的微观磁矩纳入描述。

课后练习

练习1：环路定理的对象（单选）

在真空稳恒磁场中，闭合路径 $C$ 附近存在多根载流导线。下列说法正确的是哪一项？

A. $\oint_C\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol l$ 只由路径上各点附近的导线决定
B. 只要 $I_{\mathrm{enc}}=0$，路径上每一点的磁场必为零 C. 右边只计穿过所围曲面的电流代数和，左边的 是所有电流产生的总场 D. 任意选一条闭合路径，都能把 直接提出积分号

练习2：均匀载流圆柱内部的磁场（计算）

半径 $R=2.0\ \mathrm{mm}$ 的无限长实心导线中均匀分布着电流 $I=8.0\ \mathrm A$。求离轴线 $r=1.0\ \mathrm{mm}$ 和 $r=4.0\ \mathrm{mm}$ 处的磁感应强度大小。

练习3：长螺线管与环形螺线管（概念辨析）

判断并说明理由：理想长直螺线管与理想环形螺线管内部都可以一概称为“处处相同的匀强磁场”。

练习4：质子轨道的半径和周期（计算）

质子以 $v=3.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 垂直射入 $B=0.50\ \mathrm T$ 的匀强磁场。取质子质量 $$，电荷量 。求轨道半径和周期。

练习5：斜入射粒子的螺距（参数推理）

同一种正粒子以 $v_{\perp}=2.0\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$、$v_{\parallel }=1.0\times {10}^{}$ 进入匀强磁场。若磁场加倍而两个速度分量不变，轨道半径、周期、螺距和旋向分别怎样变化？

练习6：速度选择器与分析磁场（综合计算）

单价正离子通过速度选择器，电场强度为 $E=3.0\times10^4\ \mathrm{V\,m^{-1}}$，磁场为 $B_1=0.20\ \mathrm T$。随后垂直进入 的分析磁场，测得轨道半径 。求通过速度和离子质量。

练习7：磁场会不会让粒子变快（多选）

一个带电粒子只受静磁场作用。下列结论中正确的是哪些？

A. 粒子的动能保持不变
B. 粒子的速度矢量一定保持不变
C. 磁力的瞬时功率为零
D. 在非均匀磁场中，粒子的速率也可能保持不变

练习8：霍尔数据判断（数据解释）

一块厚度 $d=0.50\ \mathrm{mm}$ 的样品在 $I=20\ \mathrm{mA}$、$B=0.80\ \mathrm T$ 时测得 $U_H=-2.0\ \mathrm{mV}$。采用本节的方向与端子约定：电流沿 ，磁场沿 ，。求霍尔系数，并在单一载流子近似下判断主要载流子电性和数密度。

练习9：弯导线在匀强磁场中的合力（推导）

一段任意形状的导线从点 $A$ 连到点 $B$，载有恒定电流 $I$，完全处在匀强磁场 $\boldsymbol B$ 中。证明这段导线受到的总安培力只与端点位移有关，并写出结果。

练习10：平行电流的力（计算与方向）

两根相距 $d=5.0\ \mathrm{cm}$ 的长直平行导线分别载有 $I_1=10\ \mathrm A$ 和 $I_2=15\ \mathrm A$ 的同向电流。求每米导线受到的力，并说明方向。若第二根电流反向，结果怎样？

练习11：磁矩、力矩与稳定性（综合）

一个 $N=50$ 匝、面积 $A=4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ 的线圈通有 $I=0.20\ \mathrm A$ 电流，放在 的匀强磁场中。磁矩与磁场夹角为 。求磁矩大小、磁力矩大小和以 对应 为基准的磁势能；并判断 与 的稳定性。

对 $r>R$，包围全部电流：

两点数值碰巧相同，但变化规律不同：导体内随 $r$ 线性增大，导体外随 $1/r$ 减小。若把内点也直接套细直导线公式，会错算为 $1.6\times10^{-3}\ \mathrm T$。

半径用给定速率，周期与速率无关。单位检查可用 $r=mv/(qB)$，结果应是长度而不是时间。

可知三者都变为原来的一半。粒子电性与磁场方向没有改变，所以旋向不变。不要因为螺距含 $v_{\parallel}$ 就忘记它还通过 $T$ 依赖磁场。

再用纯磁场圆周运动：

第一段的 $B_1$ 负责选速，第二段的 $B_2$ 负责按荷质比分轨，不能混用。结果约为 $40$ 个原子质量单位，数量级合理。

负号说明在本题端子与方向约定下主要载流子为负电荷。单一载流子近似给出

若材料有多种载流子，不能把这个 $n$ 简单理解成所有可动电荷的总数密度。

因此在匀强场中，弯曲细节不影响总力。若导线闭合，$A=B$，便有合力为零；若磁场不均匀，则不能把 $\boldsymbol B$ 提出，结论不再成立。

同向电流相互吸引，所以每根导线受力指向另一根，二力等大反向。第二根电流反向后，大小仍为 $6.0\times10^{-4}\ \mathrm{N\,m^{-1}}$，方向改为相互排斥。只写“吸引”而不说明两根导线分别受力的方向，物理表达不完整。

磁势能

$\theta=0$ 时势能 $-\mu B$ 最低，是稳定平衡；$\theta=\pi$ 时势能 $+\mu B$ 最高，是不稳定平衡。两处力矩都为零，不能仅凭“力矩为零”判断稳定性。