第3章 磁介质、磁化与铁磁质

把一枚铁钉放进通电线圈，线圈的吸力会明显增强；切断电流后，铁钉上的大部分磁性又很快消失。换成一块永久磁体，外加电流早已撤去，它却还保留着清楚的南北极。更有意思的是，铜、铝、玻璃也并非对磁场“毫无反应”，只是变化小得不容易察觉。

如果只用真空中的电流来解释，这些现象会互相打架：同一个线圈的自由电流没有变，为什么换一种芯材，磁场就变了？外加场已经撤去，永久磁体的磁性又从哪里来？本章要追踪的正是材料内部那一部分贡献。我们会从微观磁矩出发，建立磁化强度 $\mathbf M$，再把材料产生的磁化电流与自由电流分开，引入磁场强度 $\mathbf H$，最后用磁畴和磁滞回线解释铁磁材料为什么既能“放大”磁场，又能“记住”过去。

3.1 从许多微小磁矩到宏观磁化

在上一章中，面积为 $S$、电流为 $I$ 的平面载流线圈可用磁矩

描述，其中 $\mathbf n$ 的方向由电流方向按右手螺旋关系确定。磁矩置于外磁场中会受到磁力矩

相应的磁势能为

因此，若没有其他扰动，磁矩倾向于转到与磁场同向的位置。这个线圈模型给了我们一种有用的语言：原子和分子也可能具有磁矩。电子的轨道磁矩与自旋磁矩、原子核磁矩以及它们在原子中的组合，共同决定一个微观粒子的净磁矩。这里要特别谨慎：把电子画成绕核转动的小电流环，只是帮助建立等效磁矩的图像；真实的自旋不是一颗小球在经典意义上的自转。

先看下面这张图。不要急着背箭头方向，试着用右手判断：若等效电流沿图示方向环绕，磁矩应该指向哪一侧？

材料中存在海量微观磁矩。若它们取向杂乱，在一个足够小但仍包含大量粒子的体积元 $\Delta V$ 内，矢量和可能接近零；外磁场使这些磁矩的大小或取向发生有序变化，材料就被磁化。我们用单位体积内微观磁矩的矢量和定义磁化强度：

这个“趋于零”仍需满足宏观连续介质条件：$\Delta V$ 要远小于所研究的宏观尺度，却远大于原子尺度。$\mathbf M$ 的国际单位是安培每米，写作 $\mathrm{A/m}$。它描述材料被磁化的程度和方向，不是磁感应强度，单位也不是特斯拉。

你可能会把“磁矩倾向于顺着外场”理解成所有物质都会加强外场。注意，这里藏着一个陷阱：有些原子或分子本来具有永久磁矩，外场主要改变它们的取向统计；有些体系的净永久磁矩为零，外场却能改变电子运动，诱导出与外场反向的附加磁矩。不同机制导致不同方向的 $\mathbf M$，所以材料可能增强外场，也可能微弱削弱外场。

先用一个只针对顺磁质的直观模型观察“取向统计”。把外场调为零时，磁偶极箭头不必每个都静止不动，关键是它们的平均投影接近零；增大外场后，再提高热扰动，看看两种作用怎样竞争。

模拟揭示的是统计偏向，而不是“外场一开，所有磁矩立刻排成一条直线”。热运动越强，取向越难整齐；在有限温度和不太强的磁场下，顺磁质的平均磁化通常很弱。这个模型也不能拿来解释抗磁质，因为抗磁性主要来自外场诱导的磁矩，更不能直接替代铁磁质的磁畴模型。

3.2 磁化电流：材料内部的磁贡献怎样进入安培定理

一块均匀磁化的圆柱体，从外面看很像一个密绕螺线管：一端表现为磁北极，另一端表现为磁南极，周围有闭合磁感应线。可圆柱侧面没有接电源，也没有通常意义上沿导线漂移的传导电流。怎样把许多微观电流环的总体效果算进宏观磁场？

想象相邻的微观电流环紧密排列。两个相邻环在公共边上的电流方向相反，宏观平均后内部贡献互相抵消；位于材料边界的电流没有邻居与它抵消，于是表现为沿表面流动的等效电流。这种由磁化产生的宏观等效电流称为磁化电流，它与外电路输送的自由电流不同。

对连续磁化介质，磁化体电流密度和磁化面电流密度分别为

其中 $\mathbf n$ 是介质表面的外法线。$\mathbf J_{\mathrm M}$ 的单位是 $\mathrm{A/m^2}$，$\mathbf K_{\mathrm M}$ 的单位是 。若圆柱体内 均匀且沿轴线，体内 ；在端面上 与 平行或反平行，所以 ；在侧面上二者垂直，因而 ，方向绕轴线环流。

现在自己判断一下：把 $\mathbf M$ 的方向完全翻转，侧面磁化电流会怎样？它的大小不变而环流方向反转，因为叉乘中的第一个矢量反向了。下面的探索器允许你翻转磁化方向并改变观察视角。先按右手关系作出预测，再看侧面箭头是否吻合。

这里最容易错的有两点。第一，$\mathbf K_{\mathrm M}=\mathbf M\times\mathbf n$，不能把叉乘次序颠倒；第二，$\mathbf J_{\mathrm M}=0$ 只说明均匀磁化时没有体磁化电流，并不说明整个物体没有磁化电流，表面仍可能有 $$。磁化电流是一种等效宏观描述，它能产生磁场，却不能被接线柱抽取出来当作自由传导电流使用。

3.3 为什么还要引入磁场强度 $\mathbf H$

磁感应强度 $\mathbf B$ 对运动电荷和电流产生力，它当然是可直接联系实验效应的基本量。在稳恒情形下，安培环路定理需要计入自由电流与磁化电流：

但实际装置中，我们通常知道线圈匝数和通入的自由电流，却不先知道材料内部的磁化电流。于是定义

也就是

把磁化电流的贡献吸收到 $\mathbf M$ 中，稳恒场的安培环路定理便写成

其微分形式为 $\boldsymbol\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}$。这里下标 $\mathrm f$ 强调自由电流。$\mathbf H$ 与 $\mathbf M$ 的单位都是 $$， 的单位是特斯拉。无论是否存在磁介质，磁场还始终满足

它表达磁感应线没有起点和终点。

图中 H、M 的单位是安培每米，B 的单位是特斯拉；三者箭头各按独立量程绘制，长度不可跨量直接比较。

对均匀、线性、各向同性磁介质，在场强不超出其线性响应范围时，实验上常有

其中无量纲量 $\chi_{\mathrm m}$ 称为磁化率。于是

且

这组式子看起来像简单代数，适用条件却很重要。它要求线性、各向同性，并且讨论的是局部材料关系。铁磁质的 $\mathbf B$ 与 $\mathbf H$ 往往非线性，还取决于磁化历史，不能给它随手塞进一个不变的 $\mu_{\mathrm r}$。此外，$\mathbf H$ 也不是“比 $\mathbf B$ 弱一点的磁场”；它是把自由电流与介质响应分账后定义的辅助场量，两者单位不同，不能直接比较数值大小。

例1　线圈里的自由电流与材料响应

一根足够长、每米 $800$ 匝的螺线管中通有 $0.50\ \mathrm A$ 电流，内部充满磁化率 $\chi_{\mathrm m}=2.5\times10^{-3}$ 的均匀线性介质。忽略边缘效应，求介质中的 $$、 和 。

下面把这笔账做成可调实验。先选一种弱磁材料，预测 $\chi_{\mathrm m}$ 的符号会让 $M$ 与 $H$ 同向还是反向，再查看 $B$ 相对真空值 $\mu_0H$ 是略增还是略减。

操作后应抓住这个理想长螺线管模型的求解次序：装置的自由电流结合对称性先给出 $H$，材料的本构关系给出 $M$，最后由 $B=\mu_0(H+M)$ 得到作用于电荷和电流的总磁感应强度。这个次序是处理简单介质磁场问题最稳的路线，但遇到铁磁质时，第二步必须换成实际磁化曲线，不能再用常量磁化率。 对有限尺寸、非均匀或有明显退磁场的样品，仅有 $\boldsymbol\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_{\mathrm f}$ 还不能唯一确定局部 ；必须同时满足边界条件和材料关系，不能把 推广到任意几何形状。

3.4 抗磁、顺磁和铁磁：符号相同不等于机制相同

把同样形状的不同材料放在同一外磁场中，测到的变化通常可按响应分成三类。抗磁质的磁化方向与 $\mathbf H$ 反向，$\chi_{\mathrm m}<0$；顺磁质的磁化方向与 $\mathbf H$ 同向，$\chi_{\mathrm m}>0$；铁磁质也可产生同向的强磁化，但其响应强烈、非线性并有历史依赖，不能只凭“”就把它当成放大版顺磁质。

抗磁性来自外场对电子运动状态的影响，诱导出的附加磁矩总是反抗外场造成的变化，因此 $\mathbf M$ 与 $\mathbf H$ 反向。它通常很弱，磁化率为负，在常见温度范围内对温度不太敏感。所有物质都存在抗磁贡献，只是在具有永久磁矩的材料中，它可能被更强的顺磁或铁磁贡献遮住。

顺磁质的原子或分子具有净永久磁矩。没有外场时，热运动使磁矩取向近似杂乱，宏观 $\mathbf M$ 近零；施加外场后，低势能取向略占优势，于是出现与场同向的弱磁化。外场想让它们更有序，热运动却不断打乱取向，所以不少理想化顺磁体系在一定温区和弱场条件下近似满足居里定律

这不是所有顺磁材料、所有温度和所有场强下都精确成立的万能式。它忽略了磁矩之间的相互作用，也要求远离饱和区；实际材料可能需要更合适的经验关系。

铁磁质的关键不同在于微观磁矩之间存在很强的协同作用。在低于某一特征温度时，即使外场为零，局部区域也能形成自发磁化；材料的宏观状态还会受到磁畴结构与磁化历史影响。正因为如此，铁磁质可以产生远强于普通顺磁质的响应，也会出现饱和、剩磁和磁滞。

现在判断三个说法：①$\mu_{\mathrm r}<1$ 的一定是抗磁响应；②$\mu_{\mathrm r}>1$ 的都可用恒定 $\mu_{\mathrm r}$ 计算；③升高温度通常会削弱理想顺磁质的取向磁化。在线性弱磁质范围内，①成立；②不成立，因为铁磁质的相对磁导率不是普遍常量；③成立。下面的比较器分别用适合弱磁质和铁磁质的纵轴量程展示响应，并把铁磁质明确标成非线性、有历史的特殊情形。

比较之后再回看符号：抗磁与顺磁的 $|\chi_{\mathrm m}|$ 通常都很小，差别首先是方向；铁磁质的重点不是“正数更大”，而是磁畴参与、非线性、饱和与记忆效应。考试中若只根据材料被磁铁吸引就断言它一定是铁磁质，也容易出错，因为顺磁质同样会受到指向较强场区的微弱作用，只是通常很难凭肉眼观察。

3.5 铁磁质为什么会“记住”外场

一块未磁化的铁磁材料，宏观磁矩可以接近零，却不意味着每个原子的磁矩都消失了。低于居里温度时，量子力学起源的交换作用使邻近微观磁矩倾向于协同排列，形成许多具有自发磁化的小区域，称为磁畴。不同磁畴的磁化方向可能各不相同，整体矢量和因而很小。

施加外场后，与外场方向较接近的磁畴会扩展，畴壁发生移动；场继续增强时，磁畴磁化方向还会转动并逐渐趋向外场。最终大部分可调整的磁矩已接近同向，再增大 $H$，$B$ 的增长就主要剩下真空项的贡献，这就是接近磁饱和。撤去外场时，畴壁会被晶格缺陷、应力等“卡住”，系统不会完全沿原路返回，于是产生磁滞。

把一块起初未磁化的样品放入逐渐增强的磁场，得到从原点出发的初始磁化曲线；达到正向饱和后减小 $H$，当 $H$ 回到零，$B$ 仍保留非零值 $B_{\mathrm r}$，称为剩余磁感应强度，简称剩磁。继续施加反向场，直到 $B$ 降为零，所需反向磁场强度的绝对值 $H_{\mathrm c}$ 称为。再经历负向饱和并返回，轨迹形成闭合的 磁滞回线。

注意，“$H=0$ 时有剩磁”不等于没有磁场来源；材料内部仍保留了有序磁化。“$B=0$ 时到达矫顽点”也不等于所有微观磁矩都变为零，因为定义式 $\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)$ 中，反向 可以与仍存在的 抵消。

让铁磁质经历一个完整磁化周期，外界对材料所做的净功会转化为内能。单位体积、每一周期的磁滞损耗等于 $B-H$ 回线包围面积所对应的能量，量纲为 $\mathrm{J/m^3}$。几何上可取闭合积分面积的正值；若要得到功率，还必须再乘每秒循环次数。把“每周期能量”直接写成瓦特，是常见的量纲错误。

下面的实验台会记录你实际走过的磁化历史。不要只来回拖动很小的 $H$ 就期待完整回线；先让材料到达正饱和，再反向越过矫顽点到负饱和，最后返回。比较软磁和硬磁时，观察回线的宽窄、剩磁和矫顽力，而不是只比较某一个瞬时 $B$ 值。

完整走一周后，你会发现“同一个 $H$ 对应哪个 $B$”还取决于此前是升场还是降场，这就是历史依赖。因而对铁磁质，单写 $B=\mu H$ 并把 $\mu$ 当成材料常数，往往会丢掉最关键的信息。只有在指定工作点附近、明确小信号或近似条件时，才可以引入相应的增量磁导率等量来描述局部斜率。

3.6 软磁、硬磁与材料选择

工程上并不存在“磁性越强越好”的统一答案。变压器铁芯每秒要经历许多次磁化反转，希望材料容易磁化也容易退磁，并尽量减少每周期损耗；永久磁体却希望外场撤去甚至遭受一定反向扰动后，仍能保持磁化状态。这两种任务对应不同的磁滞回线。

软磁材料通常矫顽力小、回线窄、磁导率较高，适合变压器铁芯、电机铁芯和电磁铁等需要反复磁化的部件。回线窄意味着磁滞损耗较小，但交流铁芯的总损耗还包括涡流损耗，二者不能混为一谈。叠片铁芯或高电阻率磁性材料主要帮助抑制涡流，选用窄回线材料则着眼于降低磁滞损耗。

硬磁材料矫顽力较大，通常具有较强的剩磁和较宽的回线，不容易被反向场退磁，适合制作永久磁体和需要保持磁状态的器件。硬磁材料的“硬”指磁状态难以改变，不等同于机械硬度。

温度也会改变材料选择。铁磁质升温到居里温度以上时，热扰动破坏长程自发磁化，材料转为顺磁状态。这里不能简单说“一超过居里温度，所有微观磁矩瞬间消失”；改变的是维持铁磁有序的协同状态。冷却后能否恢复原来的宏观磁化，还取决于材料、外场和磁畴重新形成的过程。

磁屏蔽也是一个容易被口号带偏的应用。高磁导率软磁材料可为磁通提供较低磁阻的路径，使待保护区域的场减弱，但普通材料并不保证内部 $B$ 严格为零，屏蔽效果还取决于几何形状、缝隙、材料是否饱和以及外场频率。若解题时写成“铁壳内磁场必为零”，就是把静电屏蔽结论生硬搬到了磁场中。

到这里，材料内部的磁贡献已经能被有条理地纳入磁场计算：微观磁矩形成 $\mathbf M$，空间变化或边界产生等效磁化电流，$\mathbf H$ 负责追踪自由电流，$\mathbf B$ 汇总最终磁效应。下一章将让磁场随时间变化。届时真正困难的不再是材料如何响应一个既定磁场，而是变化的磁通量怎样在空间中建立电动势——这会把电与磁的联系推进到新的层次。

课后练习

4．长螺线管中的线性磁介质

一根足够长的螺线管每米有 $1200$ 匝，电流为 $0.25\ \mathrm A$，内部充满 $\chi_{\mathrm m}=4.0\times10^{-3}$ 的均匀线性介质。忽略边缘效应，求 $$、、，并说明 由哪类电流决定。

5．由 $B$ 与 $H$ 反推材料响应

某均匀线性各向同性介质中，测得 $H=2.00\times10^3\ \mathrm{A/m}$，$B=2.50\times10^{-3}\ \mathrm T$。求磁化强度 、磁化率 与相对磁导率 ，并判断它表现为抗磁还是顺磁响应。

6．表面磁化电流的方向与大小

半径为 $R$ 的长圆柱体均匀磁化，$\mathbf M=M_0\mathbf e_z$。求体磁化电流密度，并求圆柱侧面和两个端面的面磁化电流密度大小；从 $+z$ 方向俯视，说明侧面电流的环流方向。

7．顺磁质的温度变化

某理想顺磁材料在弱场、适用温区内近似满足居里定律。在外加 $H$ 不变时，温度从 $300\ \mathrm K$ 升到 $450\ \mathrm K$。磁化率和磁化强度分别变为原来的多少？

8．从磁滞回线选择材料

材料甲的 $B-H$ 回线狭窄、矫顽力小，材料乙的回线较宽、剩磁和矫顽力都较大。现要分别制作工频变压器铁芯和永久磁体，应怎样选择？还需要分别关注哪些非磁滞因素？

9．读一条完整磁化历史

一块铁磁样品从未磁化态开始，先增大 $H$ 到正向饱和，再逐渐减小到零，继续施加反向场直到 $B=0$，随后达到负向饱和，最后完成一周。回答：$H$ 第一次回到零时的 $B$ 表示什么？反向场使 $B$ 第一次为零时，材料的 $M$ 是否必为零？若回线包围面积增大，单位体积每周期损耗怎样变化？

因此

若把 $H$ 也乘一次 $\mu_0$ 后再与 $M$ 相加，会把单位不同的量相加；正确关系是 $B=\mu_0(H+M)$。

于是

$\chi_{\mathrm m}<0$，所以磁化与 $H$ 反向，表现为抗磁响应。也可以先比较 $B$ 与真空参考值 $\mu_0H\approx2.513\times10^{-3}\ \mathrm T$，本题 $B$ 略小，与抗磁判断一致。

大小为 $M_0$。在两个端面上，外法线与 $\mathbf e_z$ 平行或反平行，叉乘均为零。从 $+z$ 方向俯视，$+\mathbf e_\varphi$ 是逆时针方向。这里的方向结论必须由坐标基矢的右手关系判断，不能把“俯视”方向忽略。

又因弱场线性关系 $M=\chi_{\mathrm m}H$ 且 $H$ 不变，所以 $M_2/M_1=2/3$。结论依赖居里定律和线性弱场条件，不能外推到铁磁质或接近磁饱和的情形。

回线面积对应单位体积每周期磁滞损耗，面积越大，每周期损耗越大。若频率为 $f$，在回线形状近似不随频率改变的理想比较下，磁滞损耗功率密度才约为“每周期损耗乘 $f$”；面积本身不是功率。