第7章 早期量子论、光子与光的量子性

把一根铁丝放进炉中，温度不太高时它只让人觉得烫；继续加热，它先暗红，再橙黄，最后接近白亮。颜色会随温度改变，这件事似乎很适合用经典电磁波理论来解释。可当物理学家真的把各个波长上的辐射能量测出来，经典理论却在短波端算出了一个荒唐结果：波长越短，辐射越强，而且总能量会趋于无穷大。

更麻烦的现象还在后面。紫外光照到某些金属上，电子几乎立即逸出；把光调得再亮，如果频率不够，电子仍然一个也不出来。X射线照射物质后，散射光的波长还会随散射角发生确定的改变。它们像是在提醒我们：光当然会干涉、衍射，但光与物质交换能量和动量时，不能总被看成一片连续摊开的波。

本章不急着把“量子”解释成神秘词语。我们从三组实验事实出发，看经典理论究竟卡在哪里，再让普朗克的能量量子、爱因斯坦的光子和康普顿的碰撞图像逐一登场。你会发现，量子论最初不是凭空构造出来的哲学猜想，而是实验数据把旧理论逼到墙角之后产生的新语言。

热物体发光：先看它把能量分给了哪些波长

任何温度高于绝对零度的物体都会以电磁波形式向外辐射能量，这叫热辐射。室温物体的辐射主要在红外波段，人眼看不见；温度升高后，短波成分逐渐增强，才会出现暗红、黄白等可见光色彩。描述热辐射不能只说“总共辐射多少”，还要问单位时间、单位面积向各个波长范围分配了多少能量。

真实物体的吸收和辐射能力与材料、表面状态有关。为了把材料细节从问题中暂时拿掉，我们定义黑体：在任意温度下，能完全吸收入射到它上面的各种波长电磁辐射的理想物体。这里的“黑”说的是吸收本领，不是说高温时看起来仍是黑色；理想黑体被加热后一样可以发出很强的可见光。

实验室中常用带小孔的恒温空腔逼近黑体。辐射从小孔进入后在腔内多次反射，很难再逃出，因此小孔表现出很强的吸收能力；热平衡时从小孔射出的辐射又能代表空腔温度所决定的黑体辐射。先观察下图：不要只盯峰顶高度，还要同时看峰的位置和曲线覆盖的面积。

温度升高时，谱线的峰值向短波方向移动，曲线整体也显著抬高。这意味着“更热”包含两个变化：总辐射功率变大，能量分配的中心也向更高频率移动。炉火由暗红变黄白，并不是原来的红光简单加亮，而是不同波长成分的比例发生了改变。

黑体单位面积向半空间发出的总辐射功率满足斯忒藩—玻尔兹曼定律

其中 $M^{0}$ 的单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}}$，$\sigma=5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$。温度必须用开尔文温度。若绝对温度增为原来的2倍，辐出度不是增为2倍，而是增为16倍。

峰值波长满足维恩位移定律

所以温度越高，$\lambda_{\max}$ 越小。太阳表面温度约为 $5800\ \mathrm K$，由此估得峰值波长约 $5.0\times10^{-7}\ \mathrm m$，落在可见光附近；人体温度约 $$，峰值波长约 ，主要位于红外区。

现在先做一个预测：把黑体温度由 $2000\ \mathrm K$ 调到 $4000\ \mathrm K$，峰值波长、峰值高度和曲线下方面积分别怎样改变？再到下面的实验室拖动温度，打开经典曲线看看短波端发生什么。

结果应当是：峰值波长减为原来的一半，总辐出度增为原来的16倍，峰值也明显升高。注意，维恩定律只给峰的位置，斯忒藩—玻尔兹曼定律给全部波长积分后的总量；不能拿其中一条替代另一条。

经典理论为什么会在短波端失控

经典物理把空腔中的电磁场分解成许多驻波模式，再按能量均分定理给每个模式分配平均能量 $kT$。这样得到瑞利—金斯公式。它在长波、低频区域与实验符合得不错，却预言短波处的谱分布随波长减小而急剧增大。把它对全部波长积分，总能量发散，这就是后来所说的“紫外灾难”。

问题不在某个常数差一点，也不在实验仪器漏测了巨大能量。根源是两件事同时出现：空腔允许的高频模式越来越密，而经典能量均分又默认每个模式都能连续、平等地获得能量。高频模式数量快速增加，理论却没有任何机制阻止能量源源不断地流进去。

普朗克选择动摇第二个前提。他设想空腔壁上频率为 $\nu$ 的微观振子，其能量不能连续取任意值，而只能取

这里 $h=6.62607015\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ 是普朗克常量。在这一早期模型中，振子发射或吸收能量也不是“拧开水龙头”式连续交换，而是以 $h\nu$ 为基本单位成份地完成：

图中的台阶不是说能量在空间里一层层摆放，而是说允许状态的能量值离散。频率越高，一个能量子 $h\nu$ 越大；在给定温度下，要激发高频振子就越困难。这样，高频模式虽然很多，却不再都能轻易分到 $kT$ 那么多能量，短波端便被压低下来。

普朗克分布按波长表示可写成

$M_\lambda^{0}(T)\,\mathrm d\lambda$ 表示单位面积在波长 $\lambda$ 到 $\lambda+\mathrm d\lambda$ 范围内的辐出度。这个公式在长波极限回到经典结果，在短波端因指数因子迅速衰减，既拟合实验谱线，也消除了发散。对它求峰值可得到维恩位移关系，对全部波长积分可得到 $T^4$ 规律。

这里还藏着一个读图陷阱：同一份辐射既可以按波长分组，也可以按频率分组，$M_\lambda$ 与 $M_\nu$ 的横轴刻度不是简单互换，因为相同宽度的 $\mathrm d\lambda$ 对应的 $\mathrm d\nu$ 并不相同。于是“按波长画出的峰值波长”和“按频率画出的峰值频率”不能直接用 $$ 配成一对峰值。本章使用维恩常量 时，默认讨论按波长表示的谱。考试若明确给出按频率分布的曲线，应从题目所给函数或数据重新找峰，而不能强套 。

热辐射也不能与所有发光混为一谈。灯丝的连续谱主要由高温产生，属于热辐射；低压气体放电、发光二极管等还涉及离散能级跃迁，其颜色不能只靠物体温度和黑体公式解释。黑体模型的价值是隔离出“只由温度决定”的基准谱，不是宣布所有光源都是黑体。

你可能会问：既然 $h$ 极小，量子台阶为什么日常生活里不明显？关键看 $h\nu$ 与系统涉及的能量尺度相比有多大。低频、宏观系统中，台阶非常密，连续近似好用；高频辐射与微观交换中，台阶不能忽略。下面把频率和量子数都调一调，先判断一次跃迁是吸收还是发射，再看能量差是否真能任意取值。

如果初态和末态量子数确定，$\Delta E$ 必须是 $h\nu$ 的整数倍；$n_f>n_i$ 对应吸收，$n_f<n_i$ 对应发射。容易混淆的是“状态能量量子化”和“能量始终不能连续变化”并不是一句无条件适用于所有系统的话。这里的结论针对模型中的振子及其辐射交换，不能把台阶图机械套给任意宏观物体。

从能量子到光子：光携带能量，也携带动量

普朗克最初主要把量子化放在物质振子的能量交换上。爱因斯坦向前多走了一步：传播中的光也具有粒子式的能量单元，后来称为光子。频率为 $\nu$、真空波长为 $\lambda$ 的单个光子具有

频率越高，单个光子能量越大；光强越大，通常表示单位时间、单位面积通过的光子总能量更多。对频率不变的单色光，增强光强主要意味着光子到达率增大，并不意味着每个光子的能量变大。

光子静质量为零，却携带动量。由相对论能量—动量关系可得

这两条关系把光的波动描述量 $\nu$、$\lambda$ 与粒子描述量 $E$、$p$ 连在一起。不要把光子画成一颗沿正弦曲线飞行的小球：正弦曲线通常表示场量随位置或时间的变化，不是粒子的空间轨迹。也不要把“光子有动量”误写成“光子有经典静质量 $p/c$”；光子的静质量为零，它的能量和动量仍满足 $E=pc$。

例如，波长 $500\ \mathrm{nm}$ 的光子能量约为

动量约为 $1.33\times10^{-27}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。电子伏特是能量单位，$1\ \mathrm{eV}=1.602176634\times10^{-19}\ \mathrm J$；它不是电势，也不是电荷单位。

光电效应：更亮为什么救不了低频光

把光照到洁净金属表面，电子可能从表面逸出，这就是外光电效应。实验装置中，光照阴极，逸出的光电子向阳极运动形成光电流；外加电压既可以加速电子，也可以反向阻碍电子。改变电压并记录电流，就能从伏安特性中读出光电子的最大初动能。

实验事实可以先不背结论，顺着四个问题看：

• 光频率固定且高于某个限度时，增大光强，饱和光电流增大；
• 对同一种金属，光电子的最大初动能随入射光频率增大而增大，却与光强基本无关；
• 入射频率低于截止频率 $\nu_0$ 时，无论怎样增强普通单色光的光强，都观察不到光电子发射；
• 频率高于阈值后，光电子发射几乎没有可测的等待时间。

经典波动图像会自然猜想：更强的光把更多能量连续送给单个电子，电子应当获得更大动能；弱光则需要电子积累一段时间才能逃出。可实验正好否定了这两点。真正有效的账本不是“一片波慢慢给一个电子攒能量”，而是一个电子一次吸收一个光子的整体能量 $h\nu$。

金属表面电子逸出至少需要能量 $W$，称为逸出功。在最有利情况下，剩余能量成为光电子最大初动能：

这就是爱因斯坦光电方程。若用反向电压刚好使最快的光电子也到不了阳极，电流降为零，这个电压大小称为遏止电势 $U_s$，满足

此处 $U_s$ 表示遏止电势的正数大小；若伏安曲线横轴把加速方向记为正，真正对应的电压坐标为 $U=-U_s$。把“遏止电势大小”与“负的遏止电压坐标”混为一谈，是符号错误的常见来源。

只有 $h\nu\ge W$ 才可能发生通常的单光子光电发射，因此

$\nu_0$ 是截止频率的下限，$\lambda_0$ 是截止波长的上限。说“超过红限”时必须说明比较的是频率还是波长：频率要高于阈值，波长却要短于阈值。

先根据图线做判断：保持金属与频率不变，只增强光强，哪一项变化——饱和电流还是遏止电势？若提高频率，遏止电势怎样变化？比较饱和电流时还需说明保持的是辐射功率还是光子到达率。然后在虚拟实验中分别只动一个控制量，别一次把频率、光强和电压全改掉。

观察会把两条因果线分开：单个光子的能量由频率决定，所以频率改变 $K_{\max}$ 和 $U_s$；单位时间到达的光子数影响被打出的电子数，所以在收集充分时，光强改变饱和电流。图中不同频率曲线若画成相同的饱和电流，还隐含光子到达率与量子效率相同的条件；固定辐射功率时，光子到达率反而与频率成反比，饱和电流不能直接视为不变。实际电子在金属中的状态和逸出过程不同，光电子初动能有分布，$K_{\max}$ 只是上限，不是每个电子都具有同一动能。

为什么测到的是一个“最大值”？金属内部不同电子在逃到表面前可能经历不同碰撞，也可能从不同初始状态出发；有些电子会损失一部分能量，有些则近乎以最有利的方式逸出。反向电压逐渐增大时，较慢电子先被挡回，最后连最快电子也到不了阳极，此刻才定义遏止电势。它不是让阴极停止发射电子，而是使发出的电子不能贡献阳极电流。若把“电流为零”理解成“一个光电子也没产生”，就会误读实验过程。

把光电方程变成一张不会串账的表

计算光电效应时，最稳妥的方法是先统一能量单位。若用电子伏特，常用

于是入射波长以纳米计时，$E_\gamma=1240/\lambda\ \mathrm{eV}$。例如某金属逸出功为 $2.00\ \mathrm{eV}$，用 $400\ \mathrm{nm}$ 光照射，单光子能量为 $3.10\mathrm{e}\mathrm{V}$，所以

数值恰好相同不是说电子伏特与伏特是同一单位，而是因为 $1\ \mathrm{eV}$ 正是电荷量为 $e$ 的粒子跨越 $1\ \mathrm V$ 电势差时对应的能量。

下面的计算器把每一份能量都摆在台面上。先把波长调到截止波长两侧，预测有没有光电子；再把光强增大数倍，看最大初动能会不会改变。

如果计算器显示光子能量小于逸出功，正确结论是“在该模型下不发生光电发射”，不能把负的 $h\nu-W$ 解释成负动能。若题目给出遏止电势随频率的实验直线

斜率给出 $h/e$，横轴截距给出 $\nu_0$，纵轴截距为 $-W/e$。实验测普朗克常量时，单位检查尤其有用：$U_s$ 对 的斜率单位为 ，乘以 才是 。

在期末或考研题中，光电效应失分往往不是不会代公式，而是控制变量被混在一起：把饱和电流当最大初动能，把截止波长的方向写反，或者忘记遏止电势测的是最快电子。先写“光子能量—逸出功—最大初动能”三项账本，再讨论电流，通常能避开这些陷阱。

康普顿散射：光子的动量留下了可测痕迹

光电效应说明光的能量交换具有量子性，但若光子真的像粒子那样参与相互作用，它还应当在碰撞中携带动量。康普顿用X射线照射石墨等物质，测量不同方向的散射光，发现散射谱中除原波长成分外，还出现波长变长的成分；波长改变量主要由散射角决定。

把原子中束缚较弱的电子近似看成碰撞前静止的自由电子。入射光子动量为 $\boldsymbol p$，散射光子动量为 $\boldsymbol p'$，与原方向夹角为 $\theta$，反冲电子动量为 $\boldsymbol p_e$。这不是“光波被介质拖慢”造成的普通折射，因为散射光回到真空后波长改变仍然存在，而且改变量服从两粒子碰撞的能量、动量守恒。

全过程的能量守恒和动量守恒分别为

电子反冲后可能达到相对论速度，因此不能无条件写 $K_e=p_e^2/(2m_e)$。使用相对论关系

再由动量三角形得到

把 $p=h/\lambda$、$p'=h/\lambda'$ 代入并消去电子能量，最终得到康普顿位移公式

这一消元过程的物理骨架比代数细节更值得记住。动量守恒必须写成矢量，所以散射角通过 $\cos\theta$ 进入；能量守恒必须把电子静能和反冲能量一起算入，所以要用相对论能量—动量关系。若只写一维标量式 $p=p'+p_e$，相当于擅自假定三者共线，除 $0^\circ$ 或 等特殊情形外都不成立；若又用非相对论动能从头硬推，所得关系在高能X射线下也不会准确。

定义电子的康普顿波长

便有 $\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)$。它与入射波长无关，也与散射材料种类无关，但这个简洁结论建立在电子自由或可近似自由、碰撞前近似静止的模型上。

$\theta=0$ 时，$\Delta\lambda=0$；$\theta=90^\circ$ 时，$\Delta\lambda=\lambda_C$； 时达到最大值 。散射角越大，光子转交给电子的能量和动量通常越多，散射光子能量越低、波长越长。反冲电子动能可直接由光子能量差得到

先想一想：若入射波长加倍而散射角保持 $90^\circ$，波长改变量会不会也加倍？下面的实验室允许分别改变 $\lambda$ 和 $\theta$，别让“末态波长改变”掩盖了“位移只由角度决定”。

入射波长加倍时，同一散射角下的 $\Delta\lambda$ 不变，但相对变化量 $\Delta\lambda/\lambda$ 变小。康普顿效应因此在波长与 $\lambda_C$ 同量级的X射线、伽马射线中较明显；对可见光，绝对位移仍是皮米量级，相对变化太小，不容易分辨。

实验中出现未改变波长的成分也不矛盾。若光子与束缚很紧的电子相互作用，反冲可能由整个原子承担；原子质量远大于电子，按 $h/(Mc)$ 估计的位移很小，于是看起来仍在原波长附近。不能把“有未位移谱线”当作康普顿公式失效，也不能说一次碰撞中光子只损失了一部分却没有产生散射光子；正确图像是入射光子消失，产生一个能量较低、方向改变的散射光子，同时电子获得反冲。

同一束光，为什么既有波动证据又有粒子证据

干涉、衍射需要相位关系和叠加原理，说明光在传播中具有波动性；光电效应和康普顿散射则显示，光与物质交换能量和动量时呈现一个个不可随意分割的量子事件。两类证据都可靠，舍掉任何一类都无法描述完整实验。

所谓光的波粒二象性，不是说光在真空中一会儿变成经典水波、一会儿又变成经典小球，也不是说仪器没看清它究竟是哪一个。它说的是：经典“波”和经典“粒子”各自抓住了一部分表现，却都不是光的完整模型。波长、频率能描述传播和相位，$E=h\nu$、$p=h/\lambda$ 又决定一次量子交换的能量和动量。

一个很有冲击力的实验是把光强降得很低，让探测屏上的响应一个个出现。每次探测是局域事件，像粒子到达；许多事件积累后却形成干涉条纹，分布又受相位控制。这并不允许我们偷偷给每个光子画一条确定的正弦轨道，而是提示经典轨迹语言已经不够。如何描述这种统计规律，将在下一章借助物质波、波函数和不确定关系继续展开。

从复习角度看，本章的证据链可以压缩成三问：黑体辐射为什么逼出能量量子化？光电效应如何证明能量交换依赖单光子频率？康普顿效应如何用守恒定律证明光子携带动量？若只背三个公式而说不清对应实验事实，换一种设问就很容易失分；反过来，只讲现象却不写阈值条件、遏止电势或散射角关系，也无法完成定量分析。

本章小结

• 黑体是完全吸收入射辐射的理想模型。黑体谱随温度升高而整体增强，峰值向短波移动；总辐出度满足 $M^0=\sigma T^4$，峰值满足 $\lambda_{\max}T=b$。
• 经典能量均分导致瑞利—金斯公式在短波端发散。普朗克用 的能量量子化假设得到与实验相符的谱分布。

课后练习

1. 黑体峰值与温度

某恒星表面可近似看成温度为 $5800\ \mathrm K$ 的黑体。估算其辐射谱峰值波长，并判断峰值位于紫外、可见还是红外区域。

2. 升温后的总辐出度

两个可视为黑体的表面温度分别为 $300\ \mathrm K$ 和 $600\ \mathrm K$，求它们单位面积总辐出度之比；同时写出峰值波长之比。

3. 振子的量子跃迁

频率为 $6.0\times10^{13}\ \mathrm{Hz}$ 的普朗克振子由 $n=5$ 跃迁到 $n=2$。问它吸收还是发射能量？能量变化的大小是多少？相当于几个该频率的能量子？

4. 光子的能量与动量

计算波长为 $500\ \mathrm{nm}$ 的光子的能量（分别用焦耳和电子伏特表示）及动量。

5. 截止频率和截止波长

某金属逸出功为 $2.20\ \mathrm{eV}$。求其光电效应截止频率与截止波长。

6. 光电方程与遏止电势

用波长 $400\ \mathrm{nm}$ 的单色光照射逸出功为 $2.00\ \mathrm{eV}$ 的金属。求光电子最大初动能、遏止电势大小和最大初速度。电子质量取 $m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$。

7. 光强和频率的控制变量

同一金属先后接受两束单色光照射。甲光频率高于截止频率且光强较弱；乙光频率低于截止频率但光强是甲的100倍。分别判断是否产生通常的单光子光电效应。若把甲光强增为原来的4倍，饱和光电流和遏止电势怎样变化？

8. 从实验直线估算普朗克常量

以下为同一金属的光电效应教学模拟数据：

由数据估算普朗克常量 $h$，并估算金属逸出功。

9. $90^\circ$ 康普顿散射

波长为 $0.0710\ \mathrm{nm}$ 的X射线被近似自由且静止的电子散射，散射角为 $90^\circ$。求散射光波长和反冲电子获得的动能。

10. 位移只由散射角决定

两束入射波长分别为 $0.050\ \mathrm{nm}$ 和 $0.100\ \mathrm{nm}$ 的X射线，都在近似自由电子上发生 $120^\circ$ 康普顿散射。求两束光的波长改变量，并比较相对改变量 $\Delta\lambda/\lambda$。

11. 用证据选择模型

判断下列现象主要检验光的哪一方面，并说明理由：①杨氏双缝条纹；②低于截止频率时增强光强仍无光电子；③光电子最大初动能随频率线性增大；④X射线散射波长随角度改变；⑤极弱光逐个记录，长时间积累后形成干涉分布。

即 $\lambda_{\max}\approx500\ \mathrm{nm}$，位于可见光区域。这里求的是按波长表示的黑体谱峰值，不应把摄氏温度代入，也不能由峰值位置断言恒星只发出这一种波长。

由 $\lambda_{\max}\propto1/T$，

升温一倍时，总辐出度增至16倍，峰值波长减半。两条规律描述的是不同特征，不能把“峰值减半”误当成“所有辐射波长都减半”。

这相当于3个能量为 $h\nu$ 的能量子。若把 $|\Delta E|$ 写成一个 $h\nu$，就漏掉了量子数变化 $|\Delta n|=3$。

换算为电子伏特：

动量为

注意波长必须先从纳米换成米；光子动量不能用 $mv$ 计算。

发生光电效应的条件是 $\nu\ge\nu_0$，等价地写成 $\lambda\le\lambda_0$。截止波长是允许的最长波长。

把动能换为焦耳后，用非相对论公式：

这里只是最大初速度；实际光电子速度有分布。

因此

将 $\nu=6.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$、$U_s=0.48\ \mathrm V$ 代回，若以电子伏特计，

模拟数据按给定精度取整，故由表中斜率估计的结果与公认 $h$ 不必完全相同。斜率只等于 $h/e$，不能直接把它的数值和单位写成 $h$。

电子动能等于光子能量减少量：

用 $hc=1240\ \mathrm{eV\,nm}$ 得

不要把 $\Delta\lambda$ 当作能量损失；波长与能量成反比，必须分别计算倒数。

两束光的绝对波长改变量相同。相对改变量分别为

所以入射波长较短时，相同的绝对位移占原波长的比例更大。把 $\Delta\lambda$ 说成与入射波长成正比，违背康普顿位移公式。

⑤最能提醒我们不要把两种性质割裂：单次探测是局域量子事件，许多事件的概率分布却呈现干涉结构。它既不能由经典小球独立飞行解释，也不能由连续经典波在探测屏上任意分割能量完整解释，而要求统一的量子描述。下一章将进一步讨论这种描述怎样扩展到实物粒子。