第6章　电流与电压、电阻的关系及欧姆定律

同一只小灯泡接一节干电池时不太亮，多接一节干电池后会亮一些。亮度变化说明通过灯丝的电流变了，可电流为什么会变？是因为灯泡两端电压变了，还是因为灯丝电阻变了？如果两个因素一起变化，只看一次亮暗，我们没法把原因分清。

这一章要做的，正是把纠缠在一起的量一个个分开研究。我们先从真实实验得到电流与电压、电阻的关系，再把关系写成欧姆定律，并学会在条件合适时用它进行基础计算。你会发现，公式 $I=\dfrac{U}{R}$ 虽然很短，但真正重要的是知道每个量指向谁、单位是否统一、结论在什么条件下成立。

人工审查：这张生成图只用于识别电源、开关、电表、定值电阻和滑动变阻器，不能作为规范接线图使用。按图中从电源正极出发的电流路径检查，电流实际会先进入两只电表的黑色负接线柱，电表正负接线与电源极性不匹配；图中还有导线中途变色，不能按颜色追踪接点。正确接法以本章正文和下方交互电路图为准。

一次只让一个因素改变

假设我们研究一段定值电阻中的电流 $I$。它可能同时受这段电阻两端的电压 $U$ 和电阻大小 $R$ 影响。若第一次把 $U$、$R$ 都改了，第二次测得的电流也变了，就无法判断是哪一个因素起主要作用。因此要采用控制变量法。

• 探究电流与电压的关系时，保持同一只定值电阻不变，只改变它两端的电压，比较各次电流。
• 探究电流与电阻的关系时，保持定值电阻两端的电压不变，更换不同阻值的定值电阻，比较各次电流。

这里的“保持不变”必须落实到操作中。第一组实验始终使用同一只定值电阻；第二组实验每换一只电阻，都要重新调节滑动变阻器，使电压表的示数回到约定值，再读取电流表。只把控制变量法写在实验报告上，却没有在电路中真正控制，是无效实验。

两组实验可以使用同一套基本电路。电源提供电压，开关控制通断，定值电阻是研究对象；电流表与定值电阻串联，测通过它的电流；电压表与定值电阻并联，测它两端的电压；滑动变阻器串联在电路中，用来调节定值电阻两端的电压，同时限制电流，保护电路。

连接电路时先断开开关，按电流方向从电源正极出发连接串联部分，再把电压表并联到定值电阻两端。电流要从两只电表的正接线柱流入、负接线柱流出，量程要根据可能的最大示数选择；不能确定时，先选较大量程试触。闭合开关前，还要把滑动变阻器的滑片移到接入电路的阻值最大的位置。这里不能死记“滑片放最左端”或“最右端”，因为接入的下接线柱不同，最大阻值位置也会改变。

保持电阻不变，电流怎样随电压改变

选一只 $5\ \Omega$ 的定值电阻，检查电路无误后闭合开关。移动滑片，让电压表依次显示若干容易读取的数值，每次等示数稳定后，同时记录电压表和电流表的示数。可以得到如下接近理想的数据：

先横向比较数据：电阻一直是 $5\ \Omega$，电压从 $0.5\ \text{V}$ 增大到 $1.0\ \text{V}$，变为原来的 2 倍，电流也从 $0.10\ \text{A}$ 增大到 $0.20\ \text{A}$，同样变为 2 倍；电压变为原来的 3 倍时，电流也约为原来的 3 倍。再计算每组的 $U/I$，结果都约为 。这不是只凭一组数据猜出的结论，而是多次改变、测量和比较后发现的稳定关系。

把电压 $U$ 作为横轴、电流 $I$ 作为纵轴描点。各点应分布在一条经过坐标原点的直线附近。真实测量点不一定分毫不差地落在直线上，读数误差、接触状况和仪表精度都会带来小偏离；只要整体趋势清楚，就应依据多组数据分析，而不是删掉所有“不够漂亮”的点。

于是，对同一导体，在电阻保持不变时，可以表述为：通过导体的电流与导体两端的电压成正比。“成正比”比“电压越大，电流越大”更严格，它还要求两个量变化的倍数相同，图像是经过原点的直线。

保持电压不变，电流怎样随电阻改变

接下来研究电阻的影响。把定值电阻两端电压约定为 $3.0\ \text{V}$。先接入 $5\ \Omega$ 的电阻，调节滑动变阻器，使电压表示数为 $3.0\ \text{V}$，记录电流。断开开关，换成 $10\ \Omega$ 的电阻后，先别急着读数：电路中的电阻分配已经改变，定值电阻两端电压通常也会改变。必须再次调节滑片，让电压表示数恢复到 $3.0\ \text{V}$，然后才记录电流。其余电阻同样处理。

电阻从 $5\ \Omega$ 增大到 $10\ \Omega$，变为 2 倍，电流从 $0.60\ \text{A}$ 减小到 $0.30\ \text{A}$，变为原来的二分之一；电阻变为原来的 3 倍，电流约为原来的三分之一。每组的 $IR$ 都约等于 $3.0\ \text{V}$。因此，在电压保持不变时，通过导体的电流与导体的电阻成反比。

若以 $R$ 为横轴、$I$ 为纵轴，图像是一条随电阻增大而逐渐下降的曲线，不是直线。一条下降曲线本身只能说明 $R$ 增大时 $I$ 减小，不能仅凭“向下走”就判定二者成反比；要确认反比关系，还应检查各组数据的 $IR$ 是否近似不变，或改以 $1/R$ 为横轴、$I$ 为纵轴，看图像是否接近一条经过原点的直线。也不能把“反比”误画成一条倾斜的 直线；读图时先把横轴究竟表示什么看清。

为什么要选定值电阻而不是小灯泡来完成第一组探究？灯丝温度会随发光情况明显改变，灯丝电阻也会跟着改变。这样一来，调高电压时，电阻并没有保持不变，实验就混入了第二个变化因素。定值电阻在允许电流范围内电阻较稳定，更适合建立这条规律。

让多次测量真正形成证据

这里的多次测量不是为了“求平均值”。测同一个物理量时，多测几次取平均可以减小偶然误差；而本实验主动改变电压或电阻，得到的是不同条件下的不同电流，不能把这些电流求平均。多测几组的目的，是查看两个量之间是否始终保持同一种倍数关系，让结论不依赖某一次巧合。

实验中还应让自变量在安全范围内有明显变化。例如探究 $I$ 与 $U$ 时，可以从较小电压逐渐增大，测量点不要全挤在很窄的区间；探究 $I$ 与 $R$ 时，所选电阻值应有一定差别。每次读数都要先看量程和分度值，视线正对刻度，记录时把数值和单位分别写进表头。绘图时先选合适刻度，使数据点尽量分散在坐标纸的主要区域，再用平滑直线或曲线表示整体趋势。图线不必强行穿过每一个点，但也不能无理由忽略偏离较大的点。

如果全班各小组使用不同阻值的定值电阻完成 $I-U$ 实验，会得到多条都接近经过原点的直线。阻值较小的电阻，在相同电压下电流更大，因此图线更陡；阻值较大的电阻图线更缓。这既与第一组实验一致，也和“电压相同时，电流随电阻增大而减小”的第二组实验互相印证。

把两个实验合在一起：欧姆定律

两个结论说的是同一段电路中的三个量。德国物理学家欧姆通过研究发现：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。这就是欧姆定律，写成公式为

$I=\frac{U}{R}$

公式中，$I$ 是通过这段导体的电流，单位用安培（A）；$U$ 是这段导体两端的电压，单位用伏特（V）；$R$ 是这段导体的电阻，单位用欧姆（$\Omega$）。当三者都采用这些国际单位时，可以直接代入。由此也能看出

$1\ \text{A}=\frac{1\ \text{V}}{1\ \Omega}$

欧姆定律研究的是同一段导体、同一时刻状态中的三个量。不能拿电源电压去除以某一只电阻，除非那只电阻两端电压确实等于电源电压；也不能把甲导体的电压和乙导体的电阻拼进同一个式子。对于电阻会因温度等因素明显改变的元件，要先确认所取状态下的 $R$，不能把它当成永远不变的常数。本章只讨论初中所学的电路部分欧姆定律，不涉及电源内部电阻等高中模型。

把公式作代数变形，可以得到

$U=IR,\qquad R=\frac{U}{I}$

$U=IR$ 可以在已知电流和电阻时求导体两端电压；$R=U/I$ 可以根据同一状态下的电压、电流求电阻值。但后一式绝不表示“电阻由电压和电流决定”。导体的电阻是导体本身的一种性质，与材料、长度、横截面积和温度等有关。在条件不变时，即使把导体两端电压降为零、通过它的电流也为零，导体的电阻并不会跟着变成零；此时只是不能用 $0/0$ 去计算它。

三个基础计算，先把对象和单位写在式子前

例1：求电流。 一只 $20\ \Omega$ 的定值电阻两端电压为 $6\ \text{V}$，通过它的电流是多少？

例2：求电压。 通过一只 $12\ \Omega$ 电阻的电流为 $0.25\ \text{A}$，它两端的电压是多少？由 $U=IR$ 得

$U=0.25\ \text{A}\times12\ \Omega=3.0\ \text{V}$

这里求的是这只电阻两端电压，不应擅自写成“电源电压”。只有电路连接和题目条件能够说明二者相等时，才可以这样替换。

例3：求电阻。 某导体两端电压为 $3.6\ \text{V}$，通过它的电流为 $300\ \text{mA}$。先把 $300\ \text{mA}=0.300\ \text{A}$，再算

$R=\frac{U}{I}=\frac{3.6\ \text{V}}{0.300\ \text{A}}=12\ \Omega$

若忘记把毫安换成安培，直接用 300 代入，就会得到差 1000 倍的错误结果。常用换算是 $1\ \text{A}=1000\ \text{mA}$，因此毫安化安培要除以 1000。

实验没有“理想数据”时，怎样判断问题

实验桌上真正棘手的时刻，常常不是计算，而是闭合开关后电表没有按预想工作。故障判断不能靠背一句“没示数就是断路”，而要联合两只电表和电路现象寻找证据。

• 电表指针向零刻度左侧偏转，通常说明正、负接线柱接反，应立即断开开关改接。
• 电流表迅速满偏，可能是量程太小、滑动变阻器接入阻值太小，或电路中出现短路，必须马上断电排查。
• 电流表无示数，而接在定值电阻两端的电压表示数接近电源电压，说明串联主回路已经中断。只有当电压表两接线点所跨区域内发生断路，同时其余电路仍完好，使电压表能经其他完好部分与电源两极相接时，才会出现这种“电流表为零、电压表接近电源电压”的组合现象。
• 电流表有示数而定值电阻两端电压接近零，可能是定值电阻被短路，也可能是电压表接线接触不良。要再观察滑片移动是否能改变电流、检查导线连接，不能只凭一个现象下唯一结论。
• 移动滑片时两只电表示数都不变，常见原因是滑动变阻器同时接了上面两个接线柱，或同时接了下面两个接线柱：前者相当于接入一段近似为零的电阻，后者相当于接入固定的全部电阻，都失去了调节作用。

数据本身也会说话。探究 $I$ 与 $U$ 的关系时，若只有一组数据，无法说明成正比；若多组数据的 $U/I$ 接近同一数值，证据更充分。探究 $I$ 与 $R$ 的关系时，若换电阻后电压表示数没有恢复到同一值，这组数据就没有实现控制变量，应重新调节并测量。若某一个点偏离整体趋势很明显，先核查读数、量程、接线和记录，不要为了让图像好看直接改数据。

规律讲清以后，再看中考怎样问

中考对本章的考查通常落在四处。第一是控制变量：题目会问研究 $I$ 与 $R$ 时为什么每次都调节滑动变阻器，完整回答应是“保持定值电阻两端电压不变”，不能只写“保护电路”。第二是读图：看到过原点直线要先确认横纵轴；看到 $I-R$ 下降曲线只能先判断“$R$ 增大时 $I$ 减小”，还要根据 $IR$ 近似不变，或 $$ 图像接近经过原点的直线，才能确认反比关系。第三是故障：把电流表、电压表和用电器现象联合起来推断，不靠单一口诀。第四是计算：先统一 A、V、，再使用同一段导体的 、、。

还有两句话尤其值得辨析。“导体两端电压越大，电阻越大”是错误的，电压增大时，在电阻近似不变的条件下是电流随之增大；“通过导体的电流越小，导体电阻越大”也缺少电压相同这一前提。题目故意拿走控制条件时，要敢于回答“无法仅据此判断”。

练习与完整解析

第7题　单位换算与电阻计算

某导体两端电压为 $6\ \text{V}$，通过的电流为 $200\ \text{mA}$。求导体电阻。

第8题　补全探究步骤

在探究电流与电阻关系时，小明依次接入 $5\ \Omega$、$10\ \Omega$、$15\ \Omega$ 的定值电阻。他换上 $10\ \Omega$ 电阻后直接读取电流表示数。指出问题并写出正确操作。

第9题　光敏传感器测试

技术人员测试楼道自动照明装置中的光敏传感器。保持光照强弱和温度不变时，传感器内检测电阻的 $I-U$ 图像是一条经过原点的直线，其中一点坐标为 $U=2.4\ \text{V}$、$I=0.30\ \text{mA}$。求此时检测电阻的阻值；把它两端电压调到 $4.0\ \text{V}$ 后，通过它的电流是多少？若控制模块规定电流不小于 $0.45\text{ mA}$ 时输出检测信号，此时能否输出信号？

第10题　实验故障与数据辨析

在探究 $I$ 与 $U$ 关系的实验中，电源电压为 $3\ \text{V}$。闭合开关后电流表无示数，接在定值电阻两端的电压表示数接近 $3\ \text{V}$。排除电表损坏后，最可能的故障是什么？修好后获得三组数据：$(0.8\ \text{V},0.16\ \text{A})$、$(1.6\text{ V},0.32\text{ A})$、，可以得到什么结论？

答：导体电阻为 $30\ \Omega$。若直接把 200 代入，会漏掉“毫”与基本单位之间的 1000 倍关系。

在测试条件不变时，$R$ 近似不变。电压为 $4.0\ \text{V}$ 时，

$I'=\frac{U'}{R}=\frac{4.0\ \text{V}}{8000\ \Omega}=0.00050\ \text{A}=0.50\ \text{mA}$

因为 $0.50\ \text{mA}\ge 0.45\ \text{mA}$，所以控制模块能够输出检测信号。答：此时检测电阻为 $8.0\ \text{k}\Omega$，调压后的电流为 $0.50\ \text{mA}$，模块能够输出信号。读图时必须选同一个点的横、纵坐标；应用欧姆定律时还要保留“光照和温度不变”这一条件。