第7章 电阻测量与串并联电路应用

实验桌上有一只没有标明阻值的电阻。只看外形，我们无法知道它对电流的阻碍作用有多大；手边也没有能直接读出阻值的仪表，只有电源、电流表、电压表、滑动变阻器和导线。能不能让电阻自己“说出”阻值？

上一章学过欧姆定律 $I=U/R$。把公式变形为 $R=U/I$，思路就出现了：让电阻接入电路，同时测出它两端的电压和通过它的电流，再用电压除以电流。这不是把公式换一种写法那么简单，而是把一个看不见、不能直接读出的物理量，转化成两个能够测量的量。本章先把这项实验真正做清楚，再用同一条定律解释串联为什么分压、并联为什么分流。

人工复核：本图用于识别器材与整体摆放。滑动变阻器左下接线柱附近的导线落点仍不够清楚，电流表极性路径也不宜据图判定；实际接线请以正文“电流表串联、电压表并联、滑动变阻器一上一下、正接线柱流入”的原则和交互实验为准。

1. 伏安法：用电压和电流求电阻

这种用电压表和电流表测量电阻的方法叫伏安法测电阻，原理是

$R=\frac{U}{I}$

式中，$U$ 必须是待测电阻两端的电压，$I$ 必须是同一时刻通过待测电阻的电流。若电压测的是电源两端，电流却来自另一条支路，即使数值都读得很准，计算结果也没有意义。

电路中每件器材各做什么

待测定值电阻记作 $R_x$。电流表与 $R_x$ 串联，因为它要测通过 $R_x$ 的电流；电压表与 $$ ，因为它要测 两端的电压。电源提供电压，开关控制电路通断。滑动变阻器也串联在电路中，它有两个任务：闭合开关时先用较大电阻限制电流、保护电路；实验过程中改变接入电路的电阻，从而改变 两端的电压和通过它的电流，获得多组数据。

器材通常包括电源、开关、待测定值电阻、滑动变阻器、电流表、电压表和导线。指针式电流表、电压表在接线前应先观察指针是否对准零刻度；若未对零，应在断电、未测量的状态下用机械调零螺丝调零，不能把带电时的非零示数误当成零点偏移。选量程时先根据电源电压和估计电流判断；没有把握时先用较大量程试触，观察指针偏转是否合适，再决定是否换用较小量程。量程过小可能使指针超过刻度范围，量程过大则指针偏转太小，读数不够精细。

读指针式电表时，先确认所接量程，再看该量程对应的分度值，最后读取指针位置。视线应正对表盘，避免斜看产生视差。电流表和电压表的正、负接线柱也不能接反；若指针反向偏转，应立即断开开关，检查电源正极到电表正接线柱的连接方向。

从摆器材到取得数据

连接电路前，开关必须断开。先按电路图安排器材位置，可以从电源正极出发，依次连接开关、滑动变阻器、电流表、待测电阻，回到电源负极，最后把电压表并联在 $R_x$ 两端。连接滑动变阻器时要采用“一上一下”的接法，让滑片确实能够改变接入电路的电阻。

线路接好后不要急着闭合开关。沿电流方向复查：两只电表在未通电时指针是否仍指零，是否形成短路，电流表是否串联，电压表是否并联，正负接线柱和量程是否合适，滑动变阻器是否处在使接入电阻最大的安全位置。确认后短暂试触，若电表指针偏转正常，再正式实验。

闭合开关，调节滑片，使电表指针落在便于读数的位置；待示数稳定后，同时记录一组 $U$ 和 $I$。接着可以在通电时间较短且操作安全的情况下继续调节滑片，也可以先断开开关、改变滑片位置后重新闭合，再记录另外两组。每一组都计算 $R=U/I$，最后求三次阻值的平均值作为测量结果。实验结束后先断开开关，再整理器材。

下面的模拟实验提供约 $10\ \Omega$ 的待测定值电阻。先调节、后记录，亲手完成三组数据并检查平均值；模拟中的轻微波动代表测量不可能每次完全相同。

假设三次测得的数据如下：

三个比值相同，说明在误差允许范围内，这只定值电阻的阻值不随两端电压改变。真实读数可能得到 $9.8\ \Omega$、$10.1\ \Omega$、$10.0\ \Omega$ 这样的结果，取平均值是为了减小读数波动等偶然误差的影响。不能先把三次电压和三次电流随意交叉组合，也不能只挑最接近预想值的一组。

三组数据也不应挤在几乎相同的读数附近。只让电流从 $0.20\ \mathrm{A}$ 变到 $0.21\ \mathrm{A}$，虽然做了三次记录，改变的范围太小，难以检验结果是否稳定。应在不超过电表量程和器材允许范围的前提下，让待测电阻两端电压有较明显的低、中、高三个状态。调节滑片以后，要等两表指针稳定再同时读数；记录表的表头写清物理量和单位，数据格中只写数值，既整洁又能避免把伏、安、欧混在计算里。

有同学提出：“既然定值电阻不变，只测一次不就够了吗？”一次测量确实能算出一个阻值，但无法判断这次估读是否碰巧偏大或偏小。改变电压后重复测量，既能用平均值减小偶然误差，又能检查各组 $U/I$ 是否接近。若三次结果差异很大，不应急着求平均，而要先检查量程、接触、温度和数据配对；把明显的错误数据混入平均值，不会让结果更可靠。

2. 误差不是“算错”，故障也有证据

测量值与真实值之间总会有差别。电表分度有限、估读有细小偏差、接线柱接触不够稳定、导线和接触处本身有少量电阻，都会影响结果。规范读数、让接点牢靠、多测几次取平均值，可以减小部分影响，却不能保证误差完全消失。若公式代错、单位没换、表盘量程看错，那属于错误，应当纠正，不能称为正常误差。

实验中还应尽量在示数稳定后迅速读取，避免较大电流长时间通过电阻使它温度升高。每次调节都要同时记录电压和电流，不把前一次的电压与后一次的电流拼成一组。

排查故障时，先断开开关，再根据现象缩小范围：

• 两表都无示数，可能是电源、开关、主电路导线或电流表所在处断路，也可能是接触不良。
• 电流表几乎无示数，而电压表接在 $R_x$ 两端时示数接近电源电压，在电源及电表正常时，常提示电压表两接线点所跨区域内断路，例如 $R_x$ 自身或这两点之间的连接处断路。电压表虽不能让正常大小的电流通过，却可能测出断点两端的电压。
• 电流表示数很大而电压表示数接近零，可能是 $R_x$ 被导线短接；应立即断开开关。

故障现象不是唯一答案的暗号。同一种现象可能由不同位置的断路造成，因此先观察两表，再分段检查连接，不能只凭一句口诀直接更换器材。

还可以用“改变一个条件，看现象是否跟着变”的办法继续判断。例如在正常调节滑片的过程中，若电流和待测电阻两端电压都能平稳改变，说明滑动变阻器至少正在发挥调节作用。若实验过程中被动观察到示数忽有忽无，应立即断开开关；随后只在断电状态下检查并紧固接线柱和导线，确认无误后再通电复测，不能靠通电时主动触碰、摇动或拔插接线来找故障。排故的完整思路是“记录现象—提出可能原因—立即断电—检查紧固—重新验证”，而不是凭运气把整套器材重接一遍。

在诊断台中选择一个故障，再预测两表和滑片会出现什么现象。提交判断后沿电流路径寻找证据。

3. 串联电路为什么会分压

把 $R_1$、$R_2$ 串联，电流只有一条路径，因此

$I=I_1=I_2$

电源电压等于两电阻两端电压之和：

$U=U_1+U_2$

对每只电阻用欧姆定律，有 $U_1=IR_1$、$U_2=IR_2$。两式相除，公共的电流 被约去：

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}$

这就是串联分压规律：串联电路中，各电阻分得的电压与其阻值成正比。电阻越大，在相同电流下需要的电压越大；若 $R_1=2R_2$，就有 $U_1=2U_2$。这句话只适用于串联关系，不能看到“大电阻”就不看电路结构地断言它电压一定大。

若想用一只电阻 $R_{\text{串}}$ 替代 $R_1$、$R_2$，替代后在相同总电压下，总电流不变，这只电阻就叫它们的等效电阻。由

$U=U_1+U_2=IR_1+IR_2=I(R_1+R_2)$

得到

$R_{\text{串}}=R_1+R_2$

多个电阻串联时，总电阻等于各电阻之和。串联相当于让电流依次通过更多阻碍，所以总电阻比其中任何一个电阻都大。$n$ 个相同电阻 $R$ 串联，总电阻为 $nR$。

例题　$R_1=10\ \Omega$、$R_2=20\ \Omega$ 串联接在 $6\ \mathrm{V}$ 电源上，求总电流及两电阻两端电压。

调节下面的两只电阻，先根据阻值比预测电压比，再接通电路。观察总电阻增大时总电流怎样变化，以及总电压怎样被两只电阻分配。

串联分压可用于在总电压中取得一部分电压。例如两只电阻串联接在电源两端，从其中一只电阻两端取出电压；改变两电阻的比值，取出的电压随之改变。但实际装置还要考虑用电器接入后会不会改变原来的连接关系，初中阶段只分析题目给出的简单电阻电路。

分压关系还提供了一种不必先求电流的快捷判断。若两只串联电阻之比为 $2:3$，总电压就被分成 $2+3=5$ 份，前者分得总电压的 $2/5$，后者分得 $3/5$。这种“按份数分配”必须建立在串联电流相同的基础上。若题目给出其中一只电阻或一段导线被短接，连接结构已经改变，就要重新识别电路，不能继续沿用原来的比例。

4. 并联电路为什么会分流

把 $R_1$、$R_2$ 并联，它们两端接在相同的两个节点上，因此

$U=U_1=U_2$

干路电流在分支处分开，又在汇合处相加：

$I=I_1+I_2$

由 $I_1=U/R_1$、$I_2=U/R_2$ 可得

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}$

并联分流规律是：各支路电流与该支路电阻成反比。低阻支路电流大，高阻支路电流小。特别注意比值中的电阻位置与电流相反：若 $R_1=2R_2$，则 $I_1=I_2/2$。

设并联等效电阻为 $R_{\text{并}}$。把总电流关系写成欧姆定律：

$\frac{U}{R_{\text{并}}}=\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}$

约去共同的 $U$，得到

$\frac{1}{R_{\text{并}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

两只电阻并联时还可写为

$R_{\text{并}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

并联增加了电流可以通过的路径，因此总电阻比任何一条支路的电阻都小。两只 $10\ \Omega$ 电阻并联，等效电阻不是 $20\ \Omega$，而是 $5\ \Omega$。$n$ 个相同电阻 $R$ 并联，等效电阻为 $R/n$。

例题　$R_1=6\ \Omega$、$R_2=3\ \Omega$ 并联接在 $6\ \mathrm{V}$ 电源上，求两支路电流、干路电流和等效电阻。

并联是生活中最常见的用电器连接方式之一。各用电器两端能获得相同电压，一条支路断开时，其他支路仍可能工作；接入的新支路越多，等效电阻越小，在电源电压一定时干路总电流越大。这里先认识连接规律，家庭电路中的过载与安全问题将在后面的章节专门学习。

为什么并联电阻比最小的支路还小？不妨先保留原来的一条支路：在电压不变时，它的电流并没有因另一条支路接入而减少；新增支路还会再通过一部分电流，所以干路总电流一定增大。由 $R=U/I$ 看，在总电压不变、总电流增大的情况下，电源“看到”的等效电阻自然变小。这一解释比死记“并联越并越小”更能应对变化题。

分流比例也可按“导电容易程度”理解。同样电压下，电阻为 $5\ \Omega$ 的支路电流是电阻为 $10\ \Omega$ 支路的两倍。求解时可以先算每条支路，也可以用反比例分配，但最后都要满足干路电流等于各支路电流之和。若计算出高阻支路电流反而更大，或者干路电流小于某一支路电流，应立即检查比值是否写反。

用分流实验台改变两个支路电阻，观察箭头粗细和电流表示数。把其中一条支路断开，再比较总电阻与干路电流的变化。

5. 先认结构，再选规律

电路计算最稳妥的入口不是立即套 $U/I$，而是看清连接关系。串联看“是否只有一条电流路径”，并联看“各元件两端是否接在相同两个节点”。图画得弯曲、元件位置被移动，都不会改变节点关系。

确定结构后，把不变量写在图旁：串联写 $I$ 相等、$U$ 相加；并联写 $U$ 相等、$I$ 相加。需要总量时再求等效电阻，需要分配关系时再用分压或分流。最后做范围检查：串联总电阻应大于任一电阻，并联总电阻应小于任一支路电阻；总电压、总电流也应满足相加关系。

到这里再看中考常见设问，测量题重点往往落在电表连接、滑动变阻器作用、数据处理和故障证据；计算题重点不在繁琐运算，而在识别串并联、找准各电流电压所对应的对象。把这些关系从欧姆定律一步步推出，比单背“串正并反”可靠得多。

课后练习

1. 电表连接

用伏安法测定值电阻，某同学把电压表串联在主电路中，把电流表并联在待测电阻两端。指出错误并说明正确接法。

显示答案

电压表测的是待测电阻两端的电压，应与待测电阻并联；电流表测的是通过待测电阻的电流，应与待测电阻串联。本题的两种错误同时存在：串联在主电路中的电压表电阻很大，会把主电路电流限制得很小；并联在 $R_x$ 两端的电流表又形成低电阻旁路，使电流主要绕过 $R_x$，因此测量完全失效。不能据此断言本题中的电流表一定通过过大电流，因为串联电压表已经限制了整个回路的电流。但一般情况下，把电流表错误并联在支路两端，尤其近似直接跨接电源且主电路其余部分正常时，可能造成过大电流并损坏电流表。发现接错不能闭合开关；若已通电应立即断开，改线也必须在断电状态下进行。

2. 实验准备

连接正确后，闭合开关前还要完成哪些关键检查？至少写出四项，并说明滑动变阻器应处于什么状态。

显示答案

应检查开关处于断开状态；指针式电流表、电压表在未通电时是否指零，未对零要先机械调零；电流表串联、电压表并联；两表正负接线柱、量程和分度值正确；线路没有短路或断路；滑动变阻器采用“一上一下”接法。滑片应放在使接入电路电阻最大的位置，这样闭合开关时电流较小，能够保护电阻和电表。没有把握时可在检查后用较大量程试触，正式读数时视线要正对表盘。

3. 数据处理

三次测得待测定值电阻的数据分别为：$1.2\ \mathrm{V}$、$0.12\ \mathrm{A}$；$2.0\ \mathrm{V}$、$0.20\ \mathrm{A}$；$2.8\ \mathrm{V}$、$0.28\ \mathrm{A}$。求每次阻值和最终测量结果。

显示答案

分别用同一组的 $R=U/I$。第一次 $R_1=1.2/0.12\ \Omega=10\ \Omega$；第二次 $R_2=2.0\mathrm{/}0.20\mathrm{\Omega }=10\mathrm{\Omega }$；第三次 。平均值为 。三组比值一致，也说明这只定值电阻在该实验范围内阻值基本不变。

4. 故障判断

在电压表并联于 $R_x$ 两端的正确电路中，闭合开关后电流表几乎无示数，电压表示数接近电源电压，移动滑片现象不变。最可能的故障是什么？为什么？

显示答案

在电源及电表正常时，最可能是电压表两接线点所跨区域内断路，例如待测电阻 $R_x$ 或这两点之间的连接处断路。主电路断开，所以通过电流表的电流几乎为零；电压表跨接在断点两端，可能测得接近电源电压。不能仅说“电流表坏了”，因为电压表接近电源电压为断路位置提供了进一步证据。应先断开开关，再检查 $R_x$ 两端接线。

5. 串联分压

两电阻 $R_1=8\ \Omega$、$R_2=12\ \Omega$ 串联接在 $10\ \mathrm{V}$ 电源上。求总电阻、电流以及 、 两端电压。

显示答案

总电阻 $R=R_1+R_2=20\ \Omega$。串联电流 $I=U/R=10/20\ \mathrm{A}=0.5\ \mathrm{A}$。，。检查：，且 。

6. 由电压比找电阻

两只电阻串联，$R_1$ 两端电压为 $3\ \mathrm{V}$，$R_2$ 两端电压为 $6\ \mathrm{V}$，已知 $$。求 和电源电压。

显示答案

串联分压满足 $U_1/U_2=R_1/R_2$，所以 ，解得 。串联总电压等于各部分电压之和，。易错点是把电压比与电阻比写反；串联中二者成正比。

7. 并联等效电阻

把 $6\ \Omega$ 和 $3\ \Omega$ 两只电阻并联，求等效电阻。若它们接在 $6\ \mathrm{V}$ 电源上，再求两支路电流和干路电流。

显示答案

$R=R_1R_2/(R_1+R_2)=6\times3/(6+3)\ \Omega=2\ \Omega$。并联支路电压都为 ，所以 ，，干路电流 。等效电阻 小于较小的支路电阻 ，范围合理。

8. 并联分流

两电阻并联，通过 $R_1$ 的电流为 $0.3\ \mathrm{A}$，通过 $R_2$ 的电流为 $0.6\ \mathrm{A}$，已知 $$。求 和干路电流。

显示答案

并联分流满足 $I_1/I_2=R_2/R_1$，所以 ，得 。干路电流 。结果中 较小而它的电流较大，符合并联分流规律。

9. 增加一条支路

一只 $12\ \Omega$ 电阻接在电压不变的电源上。现在再并联一只 $12\ \Omega$ 电阻。等效电阻和干路电流怎样变化？若电源电压为 $6\ \mathrm{V}$，求变化前后的干路电流。

显示答案

两只相同电阻并联，等效电阻为 $R/2=6\ \Omega$，比原来的 $12\ \Omega$ 小。在电源电压不变时，由 $I=U/R$ 可知干路电流增大。原电流 $I_0=6/12\ \mathrm{A}=0.5\ \mathrm{A}$；并联后 ，恰为原来的两倍。每条支路仍通过 。

10. 选择连接方式

有两只 $10\ \Omega$ 电阻，将这两只电阻同时接入电路且均不被短接，可以得到哪些等效电阻？分别说明连接方法。若需要得到比 $10\ \Omega$ 更大的电阻和更小的电阻，应各选哪一种？

显示答案

两只串联时，$R_{\text{串}}=10\ \Omega+10\ \Omega=20\ \Omega$，得到比单只更大的电阻；两只并联时，$R_{\text{并}}=10\ \Omega/2=5\ \Omega$，得到比单只更小的电阻。因此两只均接入且不被短接时可得到 或 。判断也可用范围规律检查：串联总电阻大于任一个，并联等效电阻小于任一个。