关系与函数：把集合中的元素连起来

上一章里，我们已经会用集合收纳对象，也会用笛卡尔积 $A\times B$ 列出“一个来自 $A$、一个来自 $B$”的所有有序对。现在往前走一步：如果我们只从这些有序对中挑出一部分，会得到什么？

答案是关系。它可以记录“谁选了哪门课”“哪个整数整除哪个整数”“哪项任务必须先于哪项任务”。如果再要求每个输入恰好对应一个输出，关系就收紧成了函数。

这两个概念真正难的地方不在符号，而在量词。自反、对称、反对称、传递，单射、满射、双射，每个名字背后都是一句带“任意”或“存在”的完整判断。学习本章时，我们会把这些判断逐句拆开，也会把证明前的思路直接写出来：要证明什么？该任取谁？反例又要找什么？

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二元关系就是一批被选中的有序对

设 $A$、$B$ 是集合。从 $A$ 到 $B$ 的二元关系 $R$ 是笛卡尔积 $A\times B$ 的一个子集：

$$R\subseteq A\times B$$

若 $(a,b)\in R$，我们常写成 $aRb$，读作“$a$ 与 $b$ 满足关系 $R$”。这里的“关系”没有附带日常语言里的亲近感，它只是在回答一个是非问题：有序对 $(a,b)$ 有没有被放进 ？

例如，令

$$A=\{a,b,c\},\qquad B=\{1,2,3\}$$

并规定

$$R=\{(a,1),(a,3),(b,2),(c,2)\}$$

那么 $aR1$、$aR3$ 和 $cR2$ 都成立，$bR1$ 不成立。注意，$a$ 可以同时连向 $1$ 和 $3$， 与 也可以共同连向 。关系允许一个左侧元素连向零个、一个或多个右侧元素。

定义域、值域与像

说“$R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的关系”时，$A$、$B$ 是我们事先指定的两侧集合。真正至少发出一条关系箭头的元素组成关系的有效定义域：

$$\operatorname{Dom}(R)=\{a\in A\mid \exists b\in B,\ aRb\}$$

真正至少接到一条箭头的元素组成关系的值域：

$$\operatorname{Ran}(R)=\{b\in B\mid \exists a\in A,\ aRb\}$$

给定 $S\subseteq A$，从 $S$ 中任意元素出发能到达的所有右侧元素，叫作 $S$ 在 $R$ 下的像：

$$R[S]=\{b\in B\mid \exists a\in S,\ aRb\}$$

在上面的例子里，$R[\{a,c\}]=\{1,2,3\}$。这里的关键是“存在一个 $a\in S$”，所以要把从 $a$ 和 $c$ 发出的箭头终点合在一起。

逆关系与关系复合

把每条箭头反向，就得到逆关系 $R^{-1}$：

$$R^{-1}=\{(b,a)\in B\times A\mid (a,b)\in R\}$$

因此，$bR^{-1}a$ 当且仅当 $aRb$。逆关系永远存在，因为反转有序对不会要求“唯一对应”。这一点和后面讲的反函数很不一样：函数只有在双射时才有反函数。

关系也可以接力。若 $R\subseteq A\times B$，$S\subseteq B\times C$，那么

$$S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists b\in B,\ aRb\land bSc\}$$

读这个式子时从右向左：先沿 $R$ 从 $a$ 到某个 $b$，再沿 $S$ 从 $b$ 到 $c$。中间的 $b$ 只要存在一个就够了，不必唯一。函数复合会沿用完全相同的顺序。

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用矩阵和有向图看关系

关系写成有序对最精确，但元素一多就不容易看出结构。有限关系常用另外两种表示。

设

$$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\},\qquad B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$$

关系 $R\subseteq A\times B$ 的关系矩阵 $M_R$ 是一个 $m\times n$ 的 $0$- 矩阵：

$$(M_R)_{ij}= \begin{cases} 1,&(a_i,b_j)\in R,\\ 0,&(a_i,b_j)\notin R. \end{cases}$$

矩阵的第 $i$ 行管左侧元素 $a_i$，第 $j$ 列管右侧元素 $b_j$。格子里出现 $1$，就表示箭头 存在。

当 $A=B$ 时，$R$ 叫作 $A$ 上的关系。这时可以把 $A$ 的元素画成顶点，把 $xRy$ 画成从 $x$ 指向 $y$ 的有向边；若 ，就画一条从 回到自己的自环。

矩阵和有向图各有擅长的事：

• 矩阵适合逐格检查、计数和运算。
• 有向图适合观察自环、双向边与两步路径。
• 有序对集合适合严谨地写出关系本身。

三种表示可以互相翻译。真正要避免的是只凭“图看着差不多”就下结论；性质的判断最终仍要回到定义。

下面的交互页把矩阵、有向图和性质判断连在一起。点击任意格子，就是在加入或删除一个有序对；观察一条箭头怎样改变四个性质。

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四个性质：先把量词翻成检查任务

从这里开始，$R$ 都是集合 $A$ 上的关系，也就是 $R\subseteq A\times A$。四个基本性质看起来只差几处符号，实际问的是四件不同的事。

自反：每个元素都要认自己

$R$ 是自反的，意思是每个元素都和自己有关：

$$\forall x\in A,\ xRx$$

在矩阵中，主对角线必须全是 $1$；在有向图中，每个顶点都必须有自环。只找到几个自环不能证明自反，因为定义要求覆盖 $A$ 中所有元素。反过来，要否定自反，只需找到一个没有自环的元素。

对称：去得了，也要回得来

$R$ 是对称的，意思是每一条箭头都必须配有反向箭头：

$$\forall x,y\in A,\ xRy\Rightarrow yRx$$

例如，“和……同岁”是对称关系。若甲和乙同岁，那么乙也和甲同岁。矩阵中，对称关系满足 $M_R=M_R^{\mathsf T}$，也就是主对角线两侧互为镜像。

反对称：不同元素不能互相压住

$R$ 是反对称的，意思是：若两条相反方向的箭头同时存在，那么两端其实只能是同一个元素。

$$\forall x,y\in A,\ (xRy\land yRx)\Rightarrow x=y$$

等价地说，对任意两个不同元素 $x\ne y$，不允许 $xRy$ 与 $yRx$ 同时成立。自环不违反反对称，因为定义只禁止不同元素之间的双向关系。

第一次见到“反对称”，最容易把它读成“不对称”。这是错的。我们把三句话摆在一起：

• 对称要求：有 $xRy$，就必须有 $yRx$。
• 反对称要求：若 $x\ne y$ 且有 $xRy$，就不能有 $yRx$。

所以，对称与反对称不是简单的正反面。等号 $=$ 既对称又反对称：$x=y$ 可以反向，而两个不同元素绝不会互相相等。空关系在非空集合上既不是自反的，却同时是对称、反对称和传递的，因为根本没有箭头能构成反例。

传递：两步走得通，就要允许一步直达

$R$ 是传递的，意思是：只要 $x$ 到 $y$、$y$ 到 $z$ 都成立，$x$ 到 $z$ 也必须成立。

$$\forall x,y,z\in A,\ (xRy\land yRz)\Rightarrow xRz$$

传递性检查的是所有长度为 $2$ 的关系链。若前提中的两条箭头没有同时出现，就没有义务补第三条箭头。要否定传递性，必须凑齐一个完整反例：$xRy$ 和 $yRz$ 成立，但 $xRz$ 不成立。

用同一套步骤判断性质

考虑整数集合上的关系 $\le$。证明前先想清楚：自反、反对称、传递要任取元素后推导；否定对称只需一个反例。

练习：在 $A=\{1,2,3,4,6,12\}$ 上定义 $aRb$ 当且仅当 $a\mid b$。判断四个性质。

显示参考答案

自反成立，因为任取 $a\in A$，都有 $a=a\cdot1$，所以 $a\mid a$。对称不成立，例如 $2\mid6$，但 $$。反对称成立：若正整数 且 ，则存在正整数 使 、，于是 ；因为 ，得到 ，从而 ，所以 。传递成立：若 且 ，则 ，所以 。

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等价关系把集合分成互不重叠的类

如果我们想表达“虽然不是同一个对象，但在当前标准下可以看成同一类”，需要的正是自反、对称和传递。

集合 $A$ 上的关系 $\sim$ 若满足下面三条，就叫作等价关系：

$$\text{自反}+\text{对称}+\text{传递}$$

三条各自管一件事。自反保证每个元素有归属；对称保证“同类”不依赖叙述方向；传递保证类别不会沿着一条关系链裂开。

等价类不是随手圈出来的一组元素

给定 $a\in A$，与 $a$ 等价的所有元素组成 $a$ 的等价类：

$$[a]=\{x\in A\mid x\sim a\}$$

等价类的代表元不是唯一的。同一个类里任何元素都可以给这个类命名。如果 $a\sim b$，那么 $[a]=[b]$；如果 $a\not\sim b$，那么 $[a]\cap[b]=\varnothing$。

这不是一个需要死记的结论。我们把“两个等价类一旦碰到就完全相同”证明一遍。

等价关系与划分是一件事的两种说法

集合 $A$ 的一个划分，是一组非空子集，满足：

• 每个 $A$ 中元素都落入某一块。
• 任意两块要么相同，要么没有公共元素。
• 所有块的并集正好是 $A$。

等价关系的所有不同等价类恰好构成 $A$ 的一个划分。为什么每个元素都有归属？因为自反性给出 $a\sim a$，所以 $a\in[a]$。为什么两块不重叠？刚才已经证明，两类一旦有公共元素就必须完全相同。

反过来也成立。先把 $A$ 划成若干块，再规定“$x\sim y$ 当且仅当 $x$、$y$ 在同一块”，这个关系一定自反、对称、传递。因此：

$$\text{等价关系}\quad\longleftrightarrow\quad\text{集合的划分}$$

模 $n$ 同余：最值得吃透的例子

在整数集合上定义

$$a\equiv b\pmod n$$

当且仅当 $n\mid(a-b)$，其中 $n$ 是正整数。证明它是等价关系时，不要只写“显然”。每个性质都能从整除定义推出。

下面可以改变模数，观察有限窗口里的整数怎样重新归类。窗口虽然只显示一段整数，但每个等价类在完整整数集合中都会无限延伸。

还有一种很实用的等价关系来源。若 $f:A\to B$ 是函数，定义

$$x\sim_f y\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=f(y)$$

那么 $\sim_f$ 一定是等价关系，因为等号本身自反、对称、传递。每个等价类收集了所有“被 $f$ 看成同一个输出”的输入。以后遇到“按某个特征分类”，可以先试着把特征写成函数，再比较函数值是否相等。

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偏序把元素组织成层次，而不强迫它们排成一列

等价关系在回答“谁和谁属于同一类”，偏序关系在回答“谁在谁之前、谁包含于谁、谁整除谁”。

集合 $A$ 上的关系 $\preceq$ 若同时满足自反、反对称、传递，就叫作偏序关系；$(A,\preceq)$ 叫作偏序集。

$$\text{自反}+\text{反对称}+\text{传递}$$

典型例子包括数集上的 $\le$、集合族上的 $\subseteq$、正整数上的整除关系，以及任务之间的“必须不晚于”关系。

“偏”字意味着允许不可比

偏序不要求任意两个元素都能比较。若既没有 $x\preceq y$，也没有 $y\preceq x$，就说 $x$ 与 $y$ 不可比。

例如在整除偏序中，$4\mid12$、$6\mid12$，但 $4\nmid6$ 且 $6\nmid4$，所以 $4$ 和 $$ 不可比。它们都在 的下方，却没有谁必须排在谁前面。

若偏序中任意两个不同元素都可比，这种更强的偏序叫作全序或线序。整数上的 $\le$ 是全序，幂集上的 $\subseteq$ 通常不是全序，因为 $\{a\}$ 与 $\{b\}$ 互不包含。

严格偏序与非严格偏序

从非严格偏序 $\preceq$ 中去掉相等情形，可以定义

$$x\prec y\quad\Longleftrightarrow\quad x\preceq y\land x\ne y$$

关系 $\prec$ 是传递且反自反的，也就是不存在 $x\prec x$。反过来，给定严格偏序 $\prec$，把相等情形补回来，就得到非严格偏序。$<$ 与 $\le$、$\subsetneq$ 与 $\subseteq$，就是这两种写法的成对例子。

Hasse 图为什么可以删掉那么多边

有限偏序若按完整有向图来画，会充满自环和由传递性推出的边。Hasse 图只保留不能再压缩的“紧邻层级”。

若 $x\prec y$，并且不存在 $z$ 使

$$x\prec z\prec y$$

就说 $y$ 覆盖 $x$。Hasse 图只连接覆盖关系，并约定较大的元素画在上方，因此不用箭头。

在 $A=\{1,2,3,4,6,12\}$ 上画整除偏序，可以按下面的思路做。

极小元不一定是最小元

偏序中，“没有谁严格在我下面”和“我在所有人下面”不是一回事。

• $m$ 是极小元：不存在 $x$ 满足 $x\prec m$。
• $m$ 是最小元：对所有 $x\in A$，都有 $m\preceq x$。

极小元或极大元可以有多个；最小元或最大元若存在，只能有一个。最小元一定是极小元，但极小元可能因为和另一条分支不可比，无法成为最小元。

例如在集合 $\{2,3,4,6,12\}$ 的整除偏序中，$2$ 与 $3$ 都是极小元，却没有最小元：$2\nmid3$，$3\nmid2$。图的底部出现两个互不相连的起点，正好把这种差别画了出来。

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函数是每个输入恰好一条箭头的关系

关系允许一个输入没有输出，也允许一个输入连向多个输出。函数把这两扇门都关上。

本教程采用常见约定：函数 $f:A\to B$ 必须给每个 $a\in A$ 指定唯一的 $b\in B$。写成量词就是

$$\forall a\in A,\ \exists!b\in B,\ f(a)=b$$

$\exists!$ 读作“存在唯一”。它包含两半：

• 存在性：每个输入至少有一个输出。
• 唯一性：每个输入至多有一个输出。

有些资料把只满足“至多一个输出”的关系叫作部分函数，再把处处有定义的函数叫作全函数。无论采用哪套术语，看到 $f:A\to B$ 时都要先确认当前约定。本教程后文的“函数”都指每个 $A$ 中元素恰好有一个输出的全函数。

定义域、陪域和值域不能混在一起

在 $f:A\to B$ 中：

• $A$ 是定义域，列出允许输入的全部元素。
• $B$ 是陪域，列出声明允许输出的全部元素。
• 真正出现的输出组成值域，也叫 $A$ 在 $f$ 下的像：

$$f[A]=\{f(a)\mid a\in A\}$$

一定有 $f[A]\subseteq B$，但不一定相等。公式本身不能完整确定一个函数，定义域和陪域也是函数的一部分。例如同样写 $f(x)=x^2$，若定义域是 $\mathbb R$，$1$ 有两个原像 $$ 与 ；若定义域是 ， 只有一个原像。若陪域从 改成 ，满射性也会改变。

给定 $S\subseteq A$，其像是

$$f[S]=\{f(x)\mid x\in S\}$$

给定 $T\subseteq B$，其原像是

$$f^{-1}[T]=\{x\in A\mid f(x)\in T\}$$

原像对任何函数、任何 $T\subseteq B$ 都有定义。这里的 $f^{-1}[T]$ 是集合记号，不表示 $f$ 已经有反函数。

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单射、满射与双射在检查不同方向

设 $f:A\to B$ 是函数。单射盯着“不同输入会不会撞车”，满射盯着“陪域有没有空位”，双射要求两边都刚刚好。

单射：输出相同就能追回输入相同

$f$ 是单射，若

$$\forall x,y\in A,\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$$

这一定义最适合证明。做题时任取 $x,y$，假设 $f(x)=f(y)$，再通过代数或结构推到 $x=y$。

它的逆否命题更接近箭头图：

$$x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)$$

要否定单射，只要找到两个不同输入 $x\ne y$，却有 $f(x)=f(y)$。

满射：从任意目标倒着构造输入

$f$ 是满射，若

$$\forall b\in B,\ \exists a\in A,\ f(a)=b$$

证明满射的标准动作是：任取陪域中的 $b$，根据方程 $f(a)=b$ 倒着构造一个合法的 $a\in A$。只写“令 $a=f^{-1}(b)$”通常不合格，因为反函数是否存在正是尚未证明的事。

要否定满射，则找一个明确的 $b\in B$，证明不存在 $a\in A$ 使 $f(a)=b$。

双射：每个输出恰好对应一个输入

函数既单射又满射，就叫双射。换成箭头语言：定义域中每个点恰好发出一箭，陪域中每个点恰好接到一箭。于是双射建立了两个集合之间的一一对应。

下面用 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$，$f(n)=2n+1$ 练习完整判断。

有限集合的基数给出快速判断

设 $A$、$B$ 是有限集合。

• 若存在单射 $f:A\to B$，必有 $|A|\le|B|$。
• 若存在满射 $f:A\to B$，必有 $$。

第一条就是抽屉原理的函数版本：输入比输出位置多时，至少两个输入必撞到同一输出。第二条也很直观：每个输入只有一个输出，若输入比陪域位置少，就不可能覆盖所有位置。

当 $A$、$B$ 有相同的有限元素个数时，情况更紧：任意单射 $A\to B$ 自动是满射，任意满射也自动是单射。无限集合不能照搬这个结论。例如 $f:\mathbb Z_{\ge0}\to\mathbb Z_{\ge0}$， 是单射，却漏掉 ，所以不是满射。

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函数复合：把两步对应接成一步

若 $f:A\to B$、$g:B\to C$，先做 $f$ 再做 $g$，得到复合函数

$$g\circ f:A\to C$$

定义为

$$(g\circ f)(a)=g(f(a))$$

符号顺序从右向左读：$g\circ f$ 是“先 $f$，后 $g$”。这个顺序不能靠字母表猜，只要盯住括号 $g(f(a))$ 就不会反。

复合前先检查集合能否接上

复合要求 $f$ 的输出能成为 $g$ 的合法输入。写成函数类型，就是中间的集合要对接：

$$A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$$

若只知道 $f:A\to B$ 与 $g:C\to D$，而没有 $f[A]\subseteq C$，那么 $g($ 可能没有意义，不能贸然写 。

复合满足结合律。若还有 $h:C\to D$，那么

$$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$

证明不需要移动符号。任取 $a\in A$，分别计算两边：

$$\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(a)=h(g(f(a)))$$ $$\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(a)=h(g(f(a)))$$

两个函数定义域相同，且对每个输入取值相同，所以它们是同一个函数。

单射和满射怎样穿过复合

复合保留一些性质：

• 若 $f$、$g$ 都是单射，则 $g\circ f$ 是单射。
• 若 $f$、$g$ 都是满射，则 $g\circ f$ 是满射。

证明第一条时，假设 $(g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)$。先用 $g$ 的单射性从 $g(f(x))=g(f(y))$ 推出 ，再用 的单射性推出 。证明顺序和函数执行顺序相反，像沿箭头一步步往回消去。

还有两个常用结论：若 $g\circ f$ 是单射，那么 $f$ 必是单射；若 $g\circ f$ 是满射，那么 $g$ 必是满射。但不能据此断言 $g$ 必单射或 $f$ 必满射，因为复合可能只观察了 的一部分。

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反函数：只有一一对应才能真正倒着走

设 $f:A\to B$。若存在函数 $f^{-1}:B\to A$，使

$$f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A$$

并且

$$f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B$$

那么 $f^{-1}$ 叫作 $f$ 的反函数。恒等函数 $\operatorname{id}_A$ 不改变输入：

$$\operatorname{id}_A(a)=a$$

两个复合等式分别保证：从 $A$ 出发走过去再回来，回到原输入；从 $B$ 出发倒着走再回来，也回到原目标。少任何一边都可能不够。

为什么可逆一定推出双射

先别直接背“可逆当且仅当双射”，看证明怎样从两条复合等式长出来。

为什么双射一定能造出反函数

现在反过来假设 $f$ 是双射。对任意 $b\in B$，满射性保证至少有一个 $a\in A$ 满足 $f(a)=b$；单射性保证这样的 $a$ 至多一个。因此，这个 存在且唯一，可以放心定义

$$f^{-1}(b)=a$$

这样定义出来的 $f^{-1}$ 对每个 $b$ 都有唯一输出，确实是从 $B$ 到 $A$ 的函数，而且两个复合自然都是恒等函数。因此：

$$f\text{ 可逆}\quad\Longleftrightarrow\quad f\text{ 是双射}$$

这里把存在性和唯一性分给满射、单射，正是证明的核心。以后遇到“定义一个逆操作”，都可以照这个顺序问：每个目标找得到原对象吗？找到了会不会有两个？

求反函数时别忘了核对定义域

设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，$f(x)=3x-5$。令 $y=3x-5$，解得

$$x=\frac{y+5}{3}$$

所以候选反函数是

$$f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}$$

最后要核对两边：

$$f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x$$ $$f(f^{-1}(y))=3\cdot\frac{y+5}{3}-5=y$$

若换成 $f(x)=x^2$，仅仅“交换 $x,y$ 再开方”会漏掉问题：在 $\mathbb R\to\mathbb R$ 上它既不单射也不满射，没有反函数；限制为 $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 后才成为双射，反函数是 。反函数不是纯粹的代数变形，定义域与陪域决定它是否存在。

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从定义出发组织证明

这一章出现的定义很多，但证明动作其实很稳定。与其背结论，不如把量词翻译成开场方式。

证明一个全称性质

自反、对称、反对称、传递、单射都以“任取”开头。不要挑一个顺眼的数代进去，而应任取定义要求的元素，再把前提写全。

例如证明反对称，骨架是：

$$\text{任取 }x,y\in A,\quad \text{假设 }xRy\text{ 且 }yRx,\quad \text{推出 }x=y$$

证明传递，骨架是：

$$\text{任取 }x,y,z\in A,\quad \text{假设 }xRy\text{ 且 }yRz,\quad \text{推出 }xRz$$

把骨架写对，后面才是在具体关系中代入“整除”“包含”“同余”等含义。

否定性质时找最小反例

否定一个全称命题，不需要讨论所有情况，只需给出一组完整见证：

• 不是自反：找 $x$ 使 $xRx$ 不成立。
• 不是对称：找 $x,y$ 使 $xRy$ 成立而 $yRx$ 不成立。
• 不是反对称：找不同的 $x,y$，使 与 同时成立。

反例必须同时满足“前提成立、结论失败”。只说“图上缺了一条边”并不能自动否定传递；还要指出这条缺边前面有哪两步路径。

证明存在唯一时拆成两半

函数定义和反函数证明都会遇到 $\exists!$。最稳妥的写法是分开证明：

1. 存在：构造一个对象，并验证它满足条件。
2. 唯一：假设有两个对象都满足条件，再证明它们相等。

双射之所以能产生反函数，恰好就是满射负责“存在”，单射负责“唯一”。这条联系把关系、函数和证明方法接在了一起。

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综合练习

关系性质与等价类

在 $A=\{1,2,3\}$ 上定义

$$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}$$

判断 $R$ 是否为等价关系；若是，写出不同的等价类。

显示参考答案

$R$ 是等价关系。三个自环都在 $R$ 中，所以自反。唯一涉及不同元素的箭头是 $1\to2$ 与 $2\to1$，它们成对出现，所以对称。传递性可按两个小块检查：$1$、$2$ 之间的所有两步路径都能在 $\{$ 内直达， 只和自己相关，因此没有传递反例。不同等价类是 与 。

偏序与极小元

在 $A=\{2,3,4,6,8,12,24\}$ 上用整除关系作偏序。找出所有极小元，并判断是否存在最小元。

显示参考答案

极小元是 $2$ 和 $3$。集合中没有不同于 $2$ 的元素整除 $2$，也没有不同于 $3$ 的元素整除 $3$。不存在最小元，因为最小元必须整除集合中每个元素；$2\nmid3$，而 $$，两位极小元彼此不可比。

单射、满射与陪域

设 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$，$f(n)=n+5$。证明 $f$ 是双射，并写出反函数。

显示参考答案

任取 $m,n\in\mathbb Z$，若 $f(m)=f(n)$，则 $m+5=n+5$，所以 ，单射成立。任取 ，令 ，则 且 ，满射成立。因此 是双射。由 解得 ，所以 ；代入可验证两个方向的复合都是恒等函数。

复合函数的性质

设 $f:A\to B$、$g:B\to C$，并且 $g\circ f$ 是单射。证明 $f$ 是单射。

显示参考答案

任取 $x,y\in A$，假设 $f(x)=f(y)$。对等式两边应用 $g$，得到 $g(f(x))=g(f(y))$，也就是 。由于 是单射，所以 。因此 是单射。注意，这个证明没有要求 本身是单射。